שאלות פתוחות: הוצאת גורם משותף - כיתה ט'

$999 \cdot 1001 =$

$\frac{224 \cdot 14 + 224 \cdot 6}{117^2 - 107^2} =$

$142 \cdot 8 + 142 \cdot 2 =$

$25 \cdot 39 + 25 \cdot 61 =$

מספר בן ארבע ספרות בנוי כך שספרת האלפים שווה לספרת העשרות, וספרת המאות שווה לספרת האחדות, למשל $4747$ או $3030$. נסמן ב-$a$ את ספרת האלפים וב-$b$ את ספרת המאות. כתבו את המספר כביטוי בעזרת $a$ ו-$b$, והסבירו בעזרת הוצאת גורם משותף למה כל מספר כזה מתחלק ב-$101$.

מספר בן שש ספרות נוצר כששלוש הספרות הראשונות שלו חוזרות שוב באותו סדר, למשל $285285$. הסבירו למה כל מספר כזה מתחלק ב-$7$, ב-$11$ וב-$13$. היעזרו בכך ש-$7\cdot 11\cdot 13=1001$.

אלון כתב: $12x^3-18x^2+6x=6x(2x^2-3x)$

מיכל כתבה: $-20y^2-8y=-2y(10y-4)$

$5 \cdot 1\frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{2}{3} =$

$5.6 \cdot 27 + 5.6 \cdot 13 - 5.6 \cdot 30 =$

פרקו את הביטוי $xy+6x+3y+18$ למכפלה של שני גורמים: הוציאו גורם משותף מ-$xy+6x$ ומ-$3y+18$, ואחר כך הוציאו גורם משותף שהוא ביטוי בסוגריים. בדקו בפתיחת סוגריים.

דנה חילקה את אותו ביטוי לזוגות אחרים: $xy+3y$ ו-$6x+18$. פרקו גם בדרך הזו. האם התקבלה אותה מכפלה?

הסבירו למה אי אפשר לכתוב את הביטוי $xy+6x+3y+16$ כמכפלה $(x+m)(y+n)$, כאשר $m$ ו-$n$ מספרים.

מצאו את המספר $k$ שעבורו אפשר לכתוב את הביטוי $xy-4x+ky-28$ כמכפלה $(x+m)(y+n)$, כאשר $m$ ו-$n$ מספרים. פרקו את הביטוי עבור ה-$k$ שמצאתם.

נתון הביטוי $xy+px+qy+r$, כאשר $p$, $q$, $r$ מספרים. מצאו תנאי על $p$, $q$, $r$ שבו אפשר לכתוב את הביטוי כמכפלה $(x+m)(y+n)$, וכתבו את המכפלה. הסבירו. בדקו את הכלל שלכם על הביטוי $xy-5x-2y+10$.

פרקו את $E$ לגורמים: הוציאו גורם משותף שהוא ביטוי בסוגריים, כנסו את מה שנשאר, והמשיכו לפרק עד שבאף סוגריים לא יישאר גורם משותף.

חשבו בעזרת הפירוק את הערך של $E$ עבור $x=4$, עבור $x=-1$ ועבור $x=24$.

הסבירו בעזרת הפירוק למה לכל מספר שלם $x$ הערך של $E$ מתחלק ב-$3$.

נועה טוענת שלכל מספר שלם $x$ הערך של $E$ מתחלק גם ב-$9$, כי עבור $x=1$ התקבל $E=-18$. האם נועה צודקת? נמקו.

$-8a^2-20a$

$-6x^2y+15xy^2$

$m^2+23mx-50x^2$

$2a(x-1)-3(1-x)$

חשבו את הסכום עבור $2$, $3$, $4$, עבור $5$, $6$, $7$ ועבור $9$, $10$, $11$. השוו כל תוצאה לריבוע של המספר האמצעי. מה אתם משערים?

נסמן ב-$n$ את המספר הקטן מבין השלושה. כתבו את הסכום כביטוי ב-$n$, הוציאו גורם משותף שהוא ביטוי בסוגריים, והמשיכו לפרק. הסבירו בעזרת הפירוק למה ההשערה נכונה לכל שלושה מספרים שלמים עוקבים.

חשבו בלי מחשבון: $29\cdot 30+30\cdot 31$.

עכשיו מחסרים: מכפלת האמצעי בגדול פחות מכפלת הקטן באמצעי. כתבו ביטוי ב-$n$, פרקו אותו בהוצאת גורם משותף, ונסחו במילים כלל להפרש. חשבו בעזרת הכלל את $63\cdot 64-62\cdot 63$.

רותם בחרה שלושה מספרים שלמים חיוביים עוקבים, חישבה את הסכום כמו בפתיח, וקיבלה $800$. מצאו את שלושת המספרים.