שאלות פתוחות: שברים אלגבריים: צמצום ותחום הצבה - כיתה ט'

צמצום שברים אלגבריים ומציאת תחום הצבה, שאלות פתוחות לכיתה ט'. בכל שאלה מפרקים מונה ומכנה לגורמים, כותבים אילו ערכים אסור להציב ורק אז מצמצמים. יש גם שאלות שבהן מוצאים מתי שבר שווה ל-0, שבר עם פרמטר k במונה, ומשחק קלפים שבו משווים בין שברים אלגבריים. השאלות מגיעות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. אפשר להרכיב מהן מבחן או דף עבודה ולהוריד ל-Word, כשלכל שאלה מצורף פתרון מלא.

27 שאלותרמה א': 11רמה ב': 7מצוינות: 9

שאלה 1 · פירוק, תחומי הצבה וצמצום, וכפל של שני שבריםשאלת ביניים · רמה א'

פרקו לגורמים, כתבו תחומי הצבה וצמצמו:

א.

x+2x2+4x+4\frac{x+2}{x^2+4x+4}x2+4x+4x+2​

ב.

2a2−324−a\frac{2a^2-32}{4-a}4−a2a2−32​

ג.

x2−5x+6x2−4⋅x+2x−3\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\cdot\frac{x+2}{x-3}x2−4x2−5x+6​⋅x−3x+2​

שאלה 2 · תחום הצבה וצמצום בעזרת גורם משותףשאלה קצרה · רמה ב'

בכל סעיף רשמו אילו ערכים אסור להציב במקום xxx. אחר כך הוציאו גורם משותף מהמונה ומהמכנה, וצמצמו את השבר.

א.

x2+8x2x+16\frac{x^2+8x}{2x+16}2x+16x2+8x​

ב.

10x25x2−15x\frac{10x^2}{5x^2-15x}5x2−15x10x2​

שאלה 3 · לאילו ערכים של $k$ השבר מצטמצם?שאלת ביניים · מצוינות

נתון השבר x2+kx+15x2−25\frac{x^2+kx+15}{x^2-25}x2−25x2+kx+15​, כאשר kkk הוא מספר.

א.

הציבו k=−8k=-8k=−8. כתבו אילו ערכים אסור להציב במקום xxx, וצמצמו את השבר.

ב.

מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם אפשר לצמצם את השבר. הסבירו.

ג.

עבור k=8k=8k=8 טען נדב: "המונה מתאפס כאשר x=−5x=-5x=−5 וכאשר x=−3x=-3x=−3, ולכן השבר שווה ל-000 בשני הערכים האלה." האם נדב צודק? נמקו, וכתבו את השבר המצומצם עבור k=8k=8k=8.

שאלה 4 · דו-איבר בסדר הפוך, ומחובר שאסור לצמצםשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף פרקו לגורמים לפני הצמצום, וכתבו את הערכים שאסור להציב במקום xxx.

א.

צמצמו את השבר 12−4xx2+4x−21\frac{12-4x}{x^2+4x-21}x2+4x−2112−4x​.

ב.

הילה צמצמה כך:
x2+4xx2−16=4x−16=−x4\frac{x^2+4x}{x^2-16}=\frac{4x}{-16}=-\frac{x}{4}x2−16x2+4x​=−164x​=−4x​

הציבו x=2x=2x=2 בשבר הנתון ובתוצאה של הילה, והסבירו מה הטעות שלה. אחר כך צמצמו נכון.

שאלה 5 · פירוק, צמצום ובדיקה בהצבהשאלת ביניים · רמה ב'

נתון השבר x2−7x+104x−8\frac{x^2-7x+10}{4x-8}4x−8x2−7x+10​.

א.

פרקו לגורמים את המונה ואת המכנה, ורשמו אילו ערכים אסור להציב במקום xxx.

ב.

צמצמו את השבר.

ג.

הציבו x=8x=8x=8, ואחר כך x=2x=2x=2, גם בשבר הנתון וגם בשבר המצומצם. מה קיבלתם? הסבירו את ההבדל בין שתי ההצבות.

שאלה 6 · תחום הצבה וצמצום של שלושה שבריםשאלת ביניים · מצוינות

כתבו את תחום ההצבה של xxx וצמצמו את השברים:

א.

x3+3x2+3x+1x2−1\frac{x^3+3x^2+3x+1}{x^2-1}x2−1x3+3x2+3x+1​

ב.

6x+89x2+24x+16\frac{6x+8}{9x^2+24x+16}9x2+24x+166x+8​

ג.

x2+2x+1x2−1\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}x2−1x2+2x+1​

שאלה 7 · מתי שבר אלגברי שווה ל- $0$ שאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף מצאו את כל ערכי xxx שבעבורם ערך השבר שווה ל-000. נמקו.

א.

x2−5xx+2\frac{x^2-5x}{x+2}x+2x2−5x​

ב.

x2−x−12x2−16\frac{x^2-x-12}{x^2-16}x2−16x2−x−12​

שאלה 8 · משחק קלפים: ערכים אסורים וצמצוםשאלה מלאה · רמה ב'

במשחק בכיתה יש ארבעה קלפים, ועל כל קלף כתוב שבר אלגברי:
קלףהשבר
1114xx2+3x\frac{4x}{x^2+3x}x2+3x4x​
222x2−25x2+5x\frac{x^2-25}{x^2+5x}x2+5xx2−25​
3334x−8x2+x−6\frac{4x-8}{x^2+x-6}x2+x−64x−8​
4445x+5x2+2x+1\frac{5x+5}{x^2+2x+1}x2+2x+15x+5​

קלף	השבר
$1$	$\frac{4x}{x^2+3x}$
$2$	$\frac{x^2-25}{x^2+5x}$
$3$	$\frac{4x-8}{x^2+x-6}$
$4$	$\frac{5x+5}{x^2+2x+1}$

א.

לכל קלף פרקו את המכנה לגורמים, ורשמו אילו ערכים אסור להציב במקום xxx.

ב.

צמצמו את השבר שעל כל קלף.

ג.

אחרי הצמצום שני קלפים נראים אותו דבר. אילו קלפים אלה? האם בשני השברים שעל הקלפים האלה אסור להציב אותם ערכים?

ד.

הציבו x=0x=0x=0, ואחר כך x=2x=2x=2, בשבר שעל קלף 111 ובשבר שעל קלף 333. אם לשבר אין ערך באחת ההצבות, ציינו זאת.

ה.

שירן אמרה: "שני שברים שמצטמצמים לאותו שבר שווים זה לזה בכל ערך של xxx." האם שירן צודקת? הסבירו בעזרת סעיף ד.

שאלה 9 · מהגרף אל השברשאלה מלאה · מצוינות

בסרטוט שלפניכם מוצג הגרף של הביטוי x2+bx+cx+2\frac{x^2+bx+c}{x+2}x+2x2+bx+c​, כאשר bbb ו-ccc הם מספרים.
הגרף מונח על הישר שעובר דרך הנקודות (0,−1)(0,-1)(0,−1) ו-(3,2)(3,2)(3,2), וחסרה בו נקודה אחת של הישר (מסומנת בעיגול ריק).
(0,-1)(3,2)

א.

מצאו את משוואת הישר. הסבירו למה בגרף חסרה דווקא הנקודה של הישר שבה x=−2x=-2x=−2, ומצאו את שיעור ה-yyy שלה.

ב.

מצאו את bbb ואת ccc.

ג.

נתון הביטוי x2+x−2x−1\frac{x^2+x-2}{x-1}x−1x2+x−2​ (אותו מונה, מכנה אחר). כתבו אילו ערכים אסור להציב בו, צמצמו אותו ותארו את הגרף שלו.

ד.

הראו שבכל xxx ששני הביטויים, x2+x−2x+2\frac{x^2+x-2}{x+2}x+2x2+x−2​ ו-x2+x−2x−1\frac{x^2+x-2}{x-1}x−1x2+x−2​, מוגדרים בו, ערכו של השני גדול ב-333 מערכו של הראשון. האם יש xxx שבו ערכי שני הביטויים שווים? נמקו.

ה.

מצאו ביטוי MMM כך שהגרף של x2+x−2M\frac{x^2+x-2}{M}Mx2+x−2​ יהיה הישר y=1y=1y=1 שחסרות בו בדיוק שתי נקודות. מהן שתי הנקודות החסרות?

שאלה 10 · הגרף של שבר אלגברי לעומת הגרף של הביטוי המצומצםשאלה קצרה · רמה א'

שרטטו על מערכת צירים את הגרפים של הביטויים: x2−9x+3\frac{x^2-9}{x+3}x+3x2−9​   x−3x - 3x−3

הסבירו מהו ההבדל בין שני הגרפים.

עוד 11 שאלות על שברים אלגבריים: צמצום ותחום הצבה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

ערך אסור לעומת ערך שמאפס את השבר (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונים השברים $A=\frac{x+3}{x-5}$ , $B=\frac{4x}{x+1}$ , $C=\frac{x-2}{6}$ .
חישובים בלי מחשבון בעזרת צמצום (שאלה מלאה · מצוינות)
נתון השבר $A=\frac{x^2-x}{x^2-1}$ . בשאלה זו נשתמש בצמצום של $A$ כדי לחשב בלי מחשבון.
הגובה של אקווריום (שאלת ביניים · רמה א')
אקווריום הוא תיבה. כל המידות בדצימטרים (דצ"מ). הבסיס של האקווריום הוא מלבן שרוחבו $x$ דצ"מ ושטחו $x^2+5x$ דצ"מ רבועים. נפח האקווריום הוא…
צמצום שבר שהמונה והמכנה שלו חד-איברים (שאלה קצרה · רמה ב')
צמצמו כל שבר, וכתבו את הערכים שאסור להציב במקום $x$ .
מפרקים עד הסוף: גורם שאינו מתאפס ואפס שאינו מותר (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף פרקו את המונה ואת המכנה לגורמים ככל האפשר לפני הצמצום.
הגרף של שבר אלגברי: ישר שחסרה בו נקודה (שאלת ביניים · רמה א')
נתון הביטוי $E=\frac{x^2-x-6}{x-3}$ .
שבר שיש בו מספר קבוע שמסומן באות (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו $a$ הוא מספר שונה מ- $0$ , ו- $x$ הוא המשתנה.
מונה אחד, מכנים שונים (שאלה מלאה · רמה א')
לחמשת השברים הבאים יש אותו מונה, $x^2-2x$ , ומכנים שונים: $A=\frac{x^2-2x}{5x}\qquad B=\frac{x^2-2x}{4-2x}\qquad C=\frac{x^2-2x}{x^2-4}$ …
מה קורה לערכים האסורים כשמצמצמים? (שאלה קצרה · מצוינות)
נתון השבר $E=\frac{x^2+4x-12}{2x^2-4x}$ .
מוצאים את הביטוי החסר (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף מצאו את הביטוי שצריך לכתוב במקום $\square$ , כך שהשוויון יתקיים לכל $x$ שמותר להציב. כתבו גם את הערכים שאסור להציב בשבר שבו מופיע…
בודקים את הפירוק לפני הצמצום (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף תלמיד צמצם שבר וטעה. בדקו את העבודה שלו, הסבירו את הטעות, וכתבו צמצום נכון עם הערכים שאסור להציב.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (6)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

צמצום שבר אלגברי בעזרת גורם משותף והפרש ריבועים (שאלה קצרה · רמה ב')
צמצמו כל אחד מן השברים הבאים, ורשמו לאילו ערכי $x$ השבר אינו מוגדר.
צמצום בעזרת פירוק בקבוצות והחלפת סימן (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל אחד מן השברים הבאים אין גורם משותף שרואים מיד. פרקו את המונה ואת המכנה, צמצמו, וציינו את ערכי $x$ שבהם…
תחום הגדרה, צמצום ופתרון משוואה עם שבר (שאלת ביניים · רמה א')
נתון הביטוי $E=\frac{x^2-4x}{x^2-16}$ .
צמצום שבר בעזרת גורם משותף, הפרש ריבועים והחלפת סימן (שאלה קצרה · רמה ב')
צמצמו כל אחד מהשברים הבאים, ורשמו לאילו ערכי $x$ השבר המקורי אינו מוגדר.
צמצום שבר וחישוב ערכו בלי מחשבון (שאלת ביניים · רמה א')
נתון הביטוי $E=\frac{x^3-9x}{x^3+6x^2+9x}$ .
צמצום שבר ומציאת הערכים השלמים שעבורם הוא שלם (שאלת ביניים · מצוינות)
נתון הביטוי $E=\frac{x^2+2x-3}{x^2-1}$ .