מבחן לדוגמה: הפונקציה הריבועית ומשוואות ריבועיות - כיתה ט'

כתבו את $f(x)$ בצורה $f(x)=(x-p)^2$. מאיזו הזזה של הגרף של $y=x^2$ מתקבל הגרף של $f$?

מצאו את קדקוד הפרבולה ואת נקודת החיתוך שלה עם ציר $y$. מצאו גם את הנקודה הסימטרית לנקודת החיתוך עם ציר $y$ ביחס לציר הסימטריה.

באיזה תחום $f$ יורדת? עבור אילו ערכי $x$ הפונקציה חיובית? האם יש ל-$f$ ערכים שליליים? נמקו.

הפרבולה חותכת את ציר ה-$x$ בנקודות $(-8,0)$ ו-$(4,0)$, והקדקוד שלה נמצא מעל ציר ה-$x$. האם הפרבולה פתוחה כלפי מעלה או כלפי מטה? מהו שיעור ה-$x$ של הקדקוד? באיזה תחום הפונקציה יורדת, ובאיזה תחום היא חיובית? נמקו.

הפרבולה חותכת את ציר ה-$x$ בנקודות $(1,0)$ ו-$(7,0)$, ועוברת בנקודה $(0,-5)$. האם הקדקוד שלה נמצא מעל ציר ה-$x$ או מתחתיו? באיזה תחום הפונקציה עולה? נמקו.

בדקו בהצבה אילו מהמספרים $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ הם פתרונות של המשוואה. האם כשמספר הוא פתרון, גם המספר הנגדי לו הוא פתרון? הסבירו בעזרת המשוואה.

דן אמר: "בדקתי את כל המספרים השלמים מ-$-2$ עד $2$, ולכן $2$ הוא הפתרון היחיד." פתרו את המשוואה בנוסחת השורשים, והסבירו מה לא בסדר בטענה של דן.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם הצירים.

מצאו את הקדקוד של הפרבולה. האם הוא נקודת מינימום או נקודת מקסימום? מהו הערך הקטן ביותר של $f$?

כמה נקודות חיתוך יש לגרף של $f$ עם כל אחד מהישרים $y=-16$, $y=-20$ ו-$y=9$? נמקו בעזרת הקדקוד. מצאו את נקודות החיתוך עם הישר שחותך את הגרף בשתי נקודות.

לכל פונקציה כתבו אילו תאים בטבלה אפשר למלא מיד, בלי חישוב, לפי ההצגה שבה היא נתונה. מלאו את התאים האלה.

השלימו בחישוב את שאר התאים בטבלה.

לאילו מהפונקציות יש ערך מינימום, ולאיזו יש ערך מקסימום? מהו ערך הקיצון של כל אחת מהן? איזו מהפונקציות חיובית לכל $x$?

הביעו את $S$ באמצעות $x$ בלבד. לאיזה זוג $S$ הוא הקטן ביותר, ומהו הערך הקטן ביותר של $S$?

שקד טוענת: "יש זוג מספרים שהסכום שלהם $14$ וסכום הריבועים שלהם $90$." האם היא צודקת? נמקו בשתי דרכים: בעזרת סעיף א, ובעזרת מספר הפתרונות של משוואה.

פתרו את המערכת בדרך ההצבה. איזו משוואה התקבלה אחרי ההצבה?

פתרו את המערכת בדרך ההצבה. איזו משוואה התקבלה אחרי ההצבה?

בשתי המערכות שבסעיפים א ו-ב יש פתרון אחד בלבד. הסבירו מה ההבדל בין הסיבות.

נועה טוענת: "אם אחרי ההצבה האיברים הריבועיים מתבטלים, אז למערכת יש בדיוק פתרון אחד".

הראו בעזרת המערכת $x=y$, $x^2-y^2=6$ שהטענה של נועה אינה נכונה.

בלי להציב, היעזרו בפירוק $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ והסבירו למה למערכת $x+y=3$, $x^2-y^2=6$ יש בדיוק פתרון אחד. מצאו אותו.

הראו בדרך אלגברית שלגרף של $y=x^2$ ולישר $y=4x-5$ אין נקודות משותפות. איזה מהשניים נמצא מעל השני בכל מקום? נמקו.

מצאו את כל הנקודות המשותפות לגרף של $y=x^2+1$ ולישר $y=x+3$, ובדקו כל נקודה בשתי המשוואות.