שאלות פתוחות: הזזה אופקית y=a(x−p)² - כיתה ט'

שאלות על הזזה אופקית y=a(x-p)² לכיתה ט' - הזזת פרבולה ימינה או שמאלה ומציאת הקדקוד וציר הסימטריה. יש מציאת a ו-p מתוך גרף עם קדקוד ונקודה, פונקציה שידוע היכן היא עולה ויורדת, השוואה בין f(x)=x² ל-g(x)=(x-3)², וזיהוי x²+10x+25 כהזזה אופקית. השאלות מתחלקות לרמה א', רמה ב' ומצוינות. מכאן אפשר להרכיב בוחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וקובץ Word מוכן.

14 שאלותרמה א': 5רמה ב': 5מצוינות: 4

שאלה 1 · מהגרף לנוסחה $y = a (x - p)^{2}$ שאלה קצרה · רמה א'

לפניכם גרף של פונקציה מהצורה y=a(x−p)2y=a(x-p)^2y=a(x−p)2. הקדקוד של הפרבולה הוא V(2,0)V(2,0)V(2,0), והגרף עובר בנקודה A(0,−4)A(0,-4)A(0,−4).
-3-2-11234567-10-9-8-7-6-5-4-3-2-112VA

א.

מצאו את ppp ואת aaa, וכתבו את הפונקציה.

ב.

עבור אילו ערכי xxx הפונקציה שלילית? באיזה תחום היא עולה?

שאלה 2 · מהזזה לנוסחה ומנוסחה להזזהשאלה קצרה · רמה ב'

כל הפונקציות בשאלה מתקבלות מהפונקציה y=x2y=x^2y=x2 בהזזה אופקית (ימינה או שמאלה).

א.

השלימו את הטבלה.
הפונקציהההזזה של y=x2y=x^2y=x2הקדקודציר הסימטריה
y=(x−6)2y=(x-6)^2y=(x−6)2???
y=(x+1)2y=(x+1)^2y=(x+1)2???
?777 יחידות שמאלה??
??(2.5,0)(2.5,0)(2.5,0)?

הפונקציה	ההזזה של $y=x^2$	הקדקוד	ציר הסימטריה
$y=(x-6)^2$	?	?	?
$y=(x+1)^2$	?	?	?
?	$7$ יחידות שמאלה	?	?
?	?	$(2.5,0)$	?

ב.

נועם אומר: "הגרף של y=(x+4)2y=(x+4)^2y=(x+4)2 מתקבל מהגרף של y=x2y=x^2y=x2 בהזזה של 444 יחידות ימינה, כי בסוגריים כתוב +4+4+4."
האם נועם צודק? הסבירו בעזרת הצבה.

שאלה 3 · הזזה אופקית שעוברת בשתי נקודותשאלה קצרה · מצוינות

מזיזים את הגרף של y=x2y=x^2y=x2 הזזה אופקית בלבד (ימינה או שמאלה).

א.

האם יש הזזה כזאת שאחריה הגרף עובר גם בנקודה A(0,4)A(0,4)A(0,4) וגם בנקודה B(6,16)B(6,16)B(6,16)? אם כן, תארו את ההזזה וכתבו את הפונקציה שמתקבלת.

ב.

הסבירו מדוע אין הזזה אופקית של y=x2y=x^2y=x2 שאחריה הגרף עובר גם בנקודה C(−3,1)C(-3,1)C(−3,1) וגם בנקודה D(5,1)D(5,1)D(5,1).

שאלה 4 · פרבולה מוזזת שעוברת בנקודה נתונהשאלה קצרה · רמה א'

בשאלה עוסקים בפונקציות מהצורה y=(x−p)2y=(x-p)^2y=(x−p)2 ומהצורה y=a(x−p)2y=a(x-p)^2y=a(x−p)2.

א.

מצאו את כל הפונקציות מהצורה y=(x−p)2y=(x-p)^2y=(x−p)2 שהגרף שלהן עובר בנקודה (2,9)(2,9)(2,9). כתבו את הקדקוד של כל אחת מהן.

ב.

האם יש פונקציה מהצורה y=(x−p)2y=(x-p)^2y=(x−p)2 שהגרף שלה עובר בנקודה (3,−18)(3,-18)(3,−18)? ומה לגבי פונקציה מהצורה y=a(x−p)2y=a(x-p)^2y=a(x−p)2 שהקדקוד שלה הוא (6,0)(6,0)(6,0) והגרף שלה עובר ב-(3,−18)(3,-18)(3,−18)? אם יש פונקציה כזאת, מצאו אותה. נמקו.

שאלה 5 · נקודות על הגרף של פרבולה מוזזתשאלה קצרה · רמה ב'

נתונה הפונקציה y=(x+2)2y=(x+2)^2y=(x+2)2.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב.

מצאו את כל הנקודות על הגרף ששיעור ה-yyy שלהן הוא 161616.

שאלה 6 · פרבולה עם נקודת מקסימום וישרים אופקייםשאלת ביניים · מצוינות

הפונקציה f(x)=a(x−p)2f(x)=a(x-p)^2f(x)=a(x−p)2 עולה בתחום x<−1x<-1x<−1 ויורדת בתחום x>−1x>-1x>−1. הגרף של fff עובר בנקודה (1,−12)(1,-12)(1,−12).

א.

מהו ppp? מה הסימן של aaa? נמקו.

ב.

מצאו את aaa וכתבו את הפונקציה.

ג.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הישר y=−27y=-27y=−27. אחר כך קבעו עבור אילו ערכים של kkk הישר y=ky=ky=k חותך את הגרף בשתי נקודות, עבור אילו ערכים בנקודה אחת, ועבור אילו ערכים הוא לא פוגש את הגרף כלל. נמקו.

שאלה 7 · מטרינום ריבועי לפרבולה מוזזתשאלת ביניים · רמה א'

נתונה הפונקציה f(x)=x2+10x+25f(x)=x^2+10x+25f(x)=x2+10x+25.

א.

כתבו את f(x)f(x)f(x) בצורה f(x)=(x−p)2f(x)=(x-p)^2f(x)=(x−p)2. מאיזו הזזה של הגרף של y=x2y=x^2y=x2 מתקבל הגרף של fff?

ב.

מצאו את קדקוד הפרבולה ואת נקודת החיתוך שלה עם ציר yyy. מצאו גם את הנקודה הסימטרית לנקודת החיתוך עם ציר yyy ביחס לציר הסימטריה.

ג.

באיזה תחום fff יורדת? עבור אילו ערכי xxx הפונקציה חיובית? האם יש ל-fff ערכים שליליים? נמקו.

שאלה 8 · טבלת ערכים: מ- $y = x^{2}$ ל- $y = (x - 3)^{2}$ שאלת ביניים · רמה ב'

נתונות הפונקציות f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 ו-g(x)=(x−3)2g(x)=(x-3)^2g(x)=(x−3)2.

א.

השלימו את שתי הטבלאות.
xxx−2-2−2−1-1−1000111222
f(x)f(x)f(x)?????
xxx111222333444555
g(x)g(x)g(x)?????

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	?	?	?	?	?

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$g(x)$	?	?	?	?	?

ב.

השוו בין הטבלאות: איך מתקבלת כל נקודה על הגרף של ggg מנקודה על הגרף של fff? סרטטו את שני הגרפים באותה מערכת צירים, וכתבו את הקדקוד ואת ציר הסימטריה של כל אחד מהם.

ג.

הנקודה (−4,16)(-4,16)(−4,16) נמצאת על הגרף של fff. לאיזו נקודה על הגרף של ggg היא עוברת בהזזה? מצאו גם את הנקודה הסימטרית לנקודה הזאת ביחס לציר הסימטריה של ggg, ובדקו בהצבה ששתי הנקודות על הגרף של ggg.

שאלה 9 · משולש בין הקדקוד לשתי נקודות סימטריותשאלה מלאה · מצוינות

נתונה הפונקציה g(x)=(x−p)2g(x)=(x-p)^2g(x)=(x−p)2, כאשר p>0p>0p>0.
VVV הוא הקדקוד של הפרבולה, BBB היא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר yyy, ו-CCC היא הנקודה על הגרף שסימטרית ל-BBB ביחס לציר הסימטריה של הפרבולה.
בסקיצה מתואר המקרה p=3p=3p=3.
g
VBC

א.

עבור p=3p=3p=3: מצאו את שיעורי הנקודות VVV, BBB ו-CCC.

ב.

עבור p=3p=3p=3: חשבו את שטח המשולש BVCBVCBVC.

ג.

עבור ppp כלשהו (p>0p>0p>0): הביעו באמצעות ppp את שיעורי הנקודות VVV, BBB ו-CCC. הראו שאורך הצלע BCBCBC הוא 2p2p2p, ושהגובה מ-VVV לצלע BCBCBC הוא p2p^2p2.

ד.

מצאו את ppp שעבורו אורך הצלע BCBCBC שווה לגובה מ-VVV לצלע BCBCBC. מה שטח המשולש BVCBVCBVC במקרה זה?

ה.

מצאו את ppp שעבורו הזווית BVCBVCBVC ישרה. נמקו.
הדרכה: סמנו ב-MMM את נקודת המפגש של ציר הסימטריה עם הצלע BCBCBC.

שאלה 10 · שתי נקודות באותו גובה וציר הסימטריהשאלת ביניים · רמה א'

הגרף של פונקציה מהצורה y=(x−p)2y=(x-p)^2y=(x−p)2 עובר בנקודות A(−9,25)A(-9,25)A(−9,25) ו-B(1,25)B(1,25)B(1,25).
AB

א.

מהי משוואת ציר הסימטריה של הפרבולה? נמקו בלי לפתור משוואה. כתבו את הפונקציה.

ב.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר yyy ואת הנקודה הסימטרית לה ביחס לציר הסימטריה.

ג.

מצאו את הנקודות על הגרף ששיעור ה-yyy שלהן הוא 444. האם יש על הגרף נקודה ששיעור ה-yyy שלה הוא −4-4−4? נמקו.

עוד 4 שאלות על הזזה אופקית y=a(x−p)²

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

רמפת סקייטבורד בצורת חצי צינור (שאלה מלאה · רמה ב')
בפארק סקייטבורד יש רמפה בצורת חצי צינור. החתך של הרמפה מתואר בפונקציה $y=\frac{1}{4}(x-4)^2$ , עבור $0\le x\le 8$ . $x$ הוא המרחק האופקי…
ארבע פרבולות מוזזות ודלתון מנקודות החיתוך (שאלה מלאה · מצוינות)
לפניכם ארבע פונקציות וארבעה גרפים של הפונקציות. A, B, C, D, E - נקודות החיתוך של הגרפים. נתון כי $ABCD$ הוא דלתון ברביע הראשון. $y=x^2+1$ …
הישר $y = 9$ והזזות אופקיות של $y = x^{2}$ (שאלה מלאה · רמה א')
נתונים הגרף של $y=x^2$ והישר $y=9$ . מזיזים את הפרבולה הזזות אופקיות שונות, ובכל פעם בודקים איפה היא חותכת את הישר.
מתחומי הירידה והעלייה לנוסחה $y = (x - p)^{2}$ (שאלה קצרה · רמה ב')
הפונקציה $y=(x-p)^2$ יורדת בתחום $x<4$ ועולה בתחום $x>4$ .