שאלות פתוחות: הזזה משולבת y=a(x−p)²+k: קדקוד וציר סימטריה - כיתה ט'

הזזה משולבת של פרבולה y=a(x-p)²+k לכיתה ט': קדקוד, ציר סימטריה, ערך קיצון ותחומי עלייה וירידה. בשאלות מזיזים את y=x² בשני שלבים, מוצאים פונקציה לפי ערך מקסימלי או מינימלי ונקודת חיתוך, חוקרים משפחת פונקציות y=-(x-p)²+5, ובודקים את הקשר בין הקדקוד לדיסקרימיננטה. יש גם תרגילי סיכום. הרמות: רמה א', רמה ב' ומצוינות. השאלות מתאימות למבחן סוף פרק או לדף עבודה, ומגיעות עם פתרונות מלאים ויצוא ל-Word.

40 שאלותרמה א': 20רמה ב': 10מצוינות: 10

שאלה 1 · פרבולה לפי ערך מקסימלי ותחום עלייה, והזזה אופקית שלהשאלה מלאה · רמה א'

נתונה פונקציה ריבועית f(x)f(x)f(x). גרף הפרבולה עובר דרך הנקודה (−1,12)(-1,12)(−1,12).
הערך המקסימלי שמקבלת הפונקציה הינו 16.
הפונקציה עולה בתחום x<−3x<-3x<−3

א.

כתבו את הביטוי האלגברי המייצג את הפונקציה. נמקו איך מצאתם.

ב.

שרטטו את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

מהו התחום בו הפונקציה f(x)f(x)f(x) חיובית.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4).
• מהן נקודות החיתוך עם ציר x של הפונקציה g(x)g(x)g(x). נמקו
• מהו תחום העלייה של הפונקציה g(x)g(x)g(x)

שאלה 2 · הזזה משולבת של $y = x^{2}$ : מהזזות לנוסחה ובחזרהשאלה קצרה · רמה ב'

מזיזים את הגרף של y=x2y=x^2y=x2 פעמיים: הזזה אופקית אחת והזזה אנכית אחת.

א.

מזיזים את הגרף 555 יחידות שמאלה ו-333 יחידות למטה. כתבו את הפונקציה שמתקבלת, את הקדקוד שלה ואת משוואת ציר הסימטריה.

ב.

נתונה הפונקציה y=(x−6)2+2.5y=(x-6)^2+2.5y=(x−6)2+2.5. תארו את שתי ההזזות של y=x2y=x^2y=x2 שנותנות את הגרף שלה, וכתבו את הקדקוד ואת משוואת ציר הסימטריה.

שאלה 3 · חקר: הדיסקרימיננטה והקדקודשאלה מלאה · מצוינות

בשאלה זו חוקרים את הקשר בין הדיסקרימיננטה לבין הקדקוד של פרבולה.
פונקציה בהצגה f(x)=a(x−p)2+kf(x)=a(x-p)^2+kf(x)=a(x−p)2+k (כאשר a≠0a\neq0a=0) אפשר לכתוב, אחרי פתיחת סוגריים, בצורה f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c. המקדם של x2x^2x2 נשאר aaa.

א.

פתחו סוגריים בכל אחת מהפונקציות, וחשבו את הדיסקרימיננטה b2−4acb^2-4acb2−4ac של המשוואה f(x)=0f(x)=0f(x)=0.
f1(x)=2(x−1)2−8f_1(x)=2(x-1)^2-8f1​(x)=2(x−1)2−8, f2(x)=−(x+3)2+2f_2(x)=-(x+3)^2+2f2​(x)=−(x+3)2+2, f3(x)=3(x+2)2+5f_3(x)=3(x+2)^2+5f3​(x)=3(x+2)2+5

ב.

בכל פונקציה חשבו את המכפלה −4ak-4ak−4ak, כאשר aaa ו-kkk לקוחים מההצגה a(x−p)2+ka(x-p)^2+ka(x−p)2+k. השוו לדיסקרימיננטה שמצאתם בסעיף א, ונסחו השערה.

ג.

הסבירו למה ההשערה נכונה לכל a≠0a\neq0a=0 ולכל ppp ו-kkk.

ד.

היעזרו בסעיף ג: מה צריך להתקיים ל-aaa ול-kkk כדי שלגרף של f(x)=a(x−p)2+kf(x)=a(x-p)^2+kf(x)=a(x−p)2+k יהיו שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx? הסבירו את אותה מסקנה גם בעזרת הקדקוד (p,k)(p,k)(p,k) וסוג נקודת הקיצון.

ה.

בביטוי −4ak-4ak−4ak לא מופיע ppp. הסבירו בעזרת הזזות למה מספר נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-xxx לא תלוי ב-ppp.

שאלה 4 · פרבולה לפי נקודת מינימום ונקודת חיתוך, והזזה אופקית שלהשאלה מלאה · רמה א'

נתונה פונקציה ריבועית f(x)f(x)f(x).
הערך המינימלי של הפונקציה מתקבל בנקודה (4,−16)(4,-16)(4,−16).
ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר x בנקודה (8,0)(8,0)(8,0) ובתחום x>8x>8x>8 הפונקציה חיובית.

א.

כתבו ביטוי אלגברי המייצג את הפונקציה. נמקו.

ב.

שרטטו את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

רשמו את התחום בו הפונקציה f(x)f(x)f(x) שלילית וגם יורדת.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x+2)g(x)=f(x+2)g(x)=f(x+2).
• רשמו את נקודות החיתוך של הפונקציה g(x)g(x)g(x) עם ציר x. נמקו
• רשמו את תחום העלייה של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

שאלה 5 · קדקוד, סוג הקיצון ותחומי עלייה וירידהשאלה קצרה · רמה ב'

לכל אחת מהפונקציות כתבו: לאיזה כיוון הפרבולה פתוחה, מהו הקדקוד, האם הוא נקודת מינימום או נקודת מקסימום, מהו ערך הקיצון, ובאילו תחומים הפונקציה עולה ויורדת.

א.

f(x)=3(x−5)2+1f(x)=3(x-5)^2+1f(x)=3(x−5)2+1

ב.

g(x)=−12(x+4)2−2g(x)=-\frac{1}{2}(x+4)^2-2g(x)=−21​(x+4)2−2

שאלה 6 · שתי פרבולות מוזזות שעוברות באותה נקודהשאלה קצרה · מצוינות

בשאלה עוסקים בפונקציות מהצורה y=−(x−p)2+5y=-(x-p)^2+5y=−(x−p)2+5, כאשר ppp הוא מספר כלשהו.

א.

מצאו את כל הערכים של ppp שעבורם הגרף עובר בנקודה (2,1)(2,1)(2,1). כתבו את הפונקציות ואת הקדקודים שלהן, והסבירו למה יש בדיוק שתי פונקציות כאלה.

ב.

עבור אילו ערכים של ccc יש שתי פונקציות כאלה שהגרף שלהן עובר בנקודה (2,c)(2,c)(2,c)? עבור אילו ערכים של ccc יש פונקציה אחת בלבד, ועבור אילו ערכים אין אף פונקציה? נמקו.

שאלה 7 · שתי פרבולות לפי תכונות: השוואה, הזזה אנכית והזזה אופקיתשאלה מלאה · רמה א'

תרגילי סיכום

א.

א. שרטטו סקיצה אפשרית לפונקציה ריבועית (פרבולה) f(x)f(x)f(x) שקדקודה ב- (1,4)(1,4)(1,4) ונקודות החיתוך שלה עם ציר ה-x הן כאשר x=3x=3x=3 ו- x=−1x=-1x=−1.
ב. שרטטו (באותה מערכת צירים) סקיצה אפשרית לפונקציה ריבועית (פרבולה) g(x)g(x)g(x) שקדקודה ב- (2,−9)(2,-9)(2,−9) ואחת משתי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-x היא כאשר x=5x=5x=5

ב.

שאלות לאחר השרטוט:

כמה פתרונות למשוואה: f(x)=7f(x)=7f(x)=7? ולמשוואה: g(x)=7g(x)=7g(x)=7?

ג.

עבור אילו ערכי x מתקיים:
א. f(x)>0f(x)>0f(x)>0
ב. f(x)<0f(x)<0f(x)<0
ג. g(x)>0g(x)>0g(x)>0
ד. g(x)<0g(x)<0g(x)<0

ד.

ידוע שכאשר x=4x=4x=4 , f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x)
עבור אילו ערכי x מתקיים: א. g(x)<f(x)g(x)<f(x)g(x)<f(x) ב. g(x)>f(x)g(x)>f(x)g(x)>f(x)

ה.

נגדיר פונקציה חדשה המקיימת: h(x)=f(x)−3h(x)=f(x)-3h(x)=f(x)−3
רשמו את שיעורי נקודת הקדקוד של h(x)h(x)h(x).

ו.

נתון כי: m(x)=f(x+2)m(x)=f(x+2)m(x)=f(x+2) רשמו את נקודות האפס של m(x)m(x)m(x)

שאלה 8 · הזזה בשני שלבים ומה קורה לנקודות של הגרףשאלת ביניים · רמה ב'

מזיזים את הגרף של f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 בשני שלבים. קודם מזיזים אותו 555 יחידות ימינה, ומקבלים את הגרף של g(x)g(x)g(x). אחר כך מזיזים את הגרף של ggg 222 יחידות למטה, ומקבלים את הגרף של h(x)h(x)h(x).

א.

כתבו את g(x)g(x)g(x) ואת h(x)h(x)h(x). לכל אחת משלוש הפונקציות כתבו את הקדקוד ואת משוואת ציר הסימטריה.

ב.

הנקודות A(1,1)A(1,1)A(1,1) ו-B(−2,4)B(-2,4)B(−2,4) נמצאות על הגרף של fff. לאילו נקודות על הגרף של hhh הן עוברות אחרי שתי ההזזות? בדקו בהצבה שהנקודות שמצאתם נמצאות על הגרף של hhh.

ג.

מצאו את הנקודות הסימטריות לשתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב ביחס לציר הסימטריה של hhh. האם היה מתקבל גרף אחר אילו היו מזיזים קודם 222 יחידות למטה ורק אחר כך 555 יחידות ימינה? נמקו.

שאלה 9 · פונקציה שעוברת ב- $(1, 2)$ כשהנקודה אינה הקדקודשאלה קצרה · מצוינות

פונקציות שהביטוי האלגברי שלהן הוא: t(x)=a(x−p)2+kt(x) = a(x - p)^2 + kt(x)=a(x−p)2+k (כאשר a≠0a \neq 0a=0)

א.

מצאו פונקציה ריבועית מהצורה y=a(x−p)2+ky = a(x - p)^2 + ky=a(x−p)2+k שהגרף שלה עובר דרך הנקודה (1,2)(1,2)(1,2), אך נקודה זו אינה קדקוד הפרבולה.

ב.

כמה פונקציות שונות כאלה קיימות? הסבירו.

שאלה 10 · מה נשמר ומה משתנה בהזזהשאלה קצרה · רמה א'

נתונה הפונקציה f(x)=−(x−1)2+4f(x)=-(x-1)^2+4f(x)=−(x−1)2+4. מזיזים את הגרף שלה 333 יחידות שמאלה ו-444 יחידות למטה, ומקבלים את הגרף של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

א.

כתבו את g(x)g(x)g(x) בצורה a(x−p)2+ka(x-p)^2+ka(x−p)2+k. מהו הקדקוד של הגרף של ggg, ומהו ערך המקסימום של ggg?

ב.

לכל אחת מהתכונות הבאות קבעו אם היא זהה ב-fff וב-ggg או שהיא השתנתה. אם היא השתנתה, כתבו אותה עבור כל אחת מהפונקציות.
(1) כיוון הפתיחה (2) ערך המקסימום (3) ציר הסימטריה (4) מספר נקודות החיתוך עם ציר ה-xxx

עוד 28 שאלות על הזזה משולבת y=a(x−p)²+k: קדקוד וציר סימטריה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

טבלת ערכים וסקיצה של פרבולה מוזזת (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+3)^2-1$ .
הסימנים של $a$ , $p$ ו- $k$ ומה הם קובעים (שאלת ביניים · מצוינות)
לפניכם סקיצה של הגרף של פונקציה מהצורה $f(x)=a(x-p)^2+k$ , בלי מספרים על הצירים.
נקודות אפס עם שורש ותחומי חיוביות (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה הפונקציה $f(x)=-\frac{1}{2}(x+3)^2+3$ .
מסלול של כדור בזריקה בשיעור ספורט (שאלה מלאה · רמה ב')
בשיעור ספורט עומר זורק כדור. המסלול של הכדור מתואר בעזרת הפונקציה $y=-0.2(x-4)^2+5$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי מעומר (במטרים), ו- $y$ הוא…
כל הפרבולות שעוברות בשתי נקודות על ציר ה- $x$ (שאלה מלאה · מצוינות)
בשאלה עוסקים בכל הפונקציות מהצורה $y=a(x-p)^2+k$ ( $a\neq 0$ ) שהגרף שלהן עובר בראשית הצירים $O(0,0)$ ובנקודה $B(6,0)$ . בסקיצה מתוארים שניים…
פונקציה עם אותו ציר סימטריה: עם חיתוך ובלי חיתוך עם ציר $x$ (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה הפונקציה $y = (x - 2)^2$
ארבע פרבולות: קדקודים, רביעים וחיוביות (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונות ארבע פונקציות: (1) $y=(x-2)^2+5$ (2) $y=(x+2)^2+5$ (3) $y=(x-2)^2-5$ (4) $y=(x+2)^2-5$
מלבנים מתחת לקשת פרבולית (שאלה מלאה · מצוינות)
נתונה הפונקציה $f(x)=-(x-3)^2+8$ . בונים מלבנים כך שצלע אחת של המלבן מונחת על ציר ה- $x$ , שני הקדקודים האחרים שלו נמצאים על הגרף של $f$ ,…
מריבוע שלם ומהפרש ריבועים לצורה $(x - p)^{2} + k$ (שאלה קצרה · רמה א')
הציגו את הפונקציות הבאות בצורה $y = (x - p)^2 + k$ , ומצאו את נקודת המינימום / מקסימום שלהן בדרך אלגברית או גרפית:
נקודות אפס ישר מהסוגריים: $(x - 4)^{2} - 25$ (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-4)^2-25$ .
זיקוק ושני הבזקים באותו גובה (שאלת ביניים · מצוינות)
זיקוק משוגר מהקרקע כלפי מעלה. הגובה שלו (במטרים), $t$ שניות אחרי השיגור, הוא $h(t)=-5(t-4)^2+80$ . הנוסחה מתארת את התנועה מהשיגור ועד שהזיקוק…
פונקציה שהקדקוד שלה $(1, 2)$ : כמה כאלה יש? (שאלה קצרה · רמה א')
פונקציות שהביטוי האלגברי שלהן הוא: $t(x) = a(x - p)^2 + k$ (כאשר $a \neq 0$ )
מהגרף לנוסחה, ומשם להזזות (שאלת ביניים · רמה ב')
לפניכם גרף של פונקציה מהצורה $f(x)=(x-p)^2+k$ . הקדקוד $V$ ושתי נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ , $A$ ו- $B$ , נמצאים על נקודות של הרשת.
פרבולה שהקדקוד שלה לא מופיע בטבלה (שאלה קצרה · מצוינות)
הגרף של הפונקציה $q$ הוא פרבולה. בטבלה ערכים של $q$ , ואחד מהם בלבד שגוי.
שתי פונקציות עם אותו קדקוד: אילו פרמטרים שווים? (שאלה קצרה · רמה א')
נתונות שתי פונקציות מהצורה $y = a(x - p)^2 + k$ .
טבלת ערכים עם ערך שגוי אחד: מהסימטריה אל הנוסחה (שאלת ביניים · רמה ב')
הגרף של הפונקציה $f$ הוא פרבולה, והביטוי שלה הוא מהצורה $f(x)=a(x-p)^2+k$ . תלמידה חישבה ערכים של $f$ ורשמה אותם בטבלה: היא בדקה שוב את…
שוויון ערכים משני צדי ציר: מתי הוא מוכיח סימטריה (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה שני סעיפים נפרדים.
מהגרף לנוסחה $a (x - p)^{2} + k$ ומשם לתחומים (שאלת ביניים · רמה א')
לפניכם גרף של פונקציה מהצורה $f(x)=a(x-p)^2+k$ . הקדקוד של הפרבולה הוא $V(3,-2)$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A(1,0)$ ובנקודה נוספת $B$ .
מוצאים את $p$ ואת $k$ משתי נקודות על הגרף (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה עוסקים בפונקציות מהצורה $y=(x-p)^2+k$ .
פרבולות עם קדקוד נתון שעוברות בנקודה (שאלת ביניים · רמה א')
בשאלה עוסקים בפונקציות מהצורה $y=a(x-p)^2+k$ ( $a\neq 0$ ) שהקדקוד שלהן הוא הנקודה $(-1,4)$ .
פרבולה מוזזת, נקודות החיתוך שלה וטרפז (שאלה מלאה · רמה א')
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2-8$ . הגרף שלה חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ משמאל ל- $B$ ), ואת ציר ה- $y$ בנקודה $C$ . הנקודה…
הפונקציה $(x - 4)^{2} - 9$ : תכונות, פונקציה עם מקסימום ומרחק בין קדקודים (שאלה מלאה · רמה א')
נתונה הפונקציה $f(x) = (x - 4)^2 - 9$ .
פרבולה ומלבן שצלעותיו מקבילות לצירים (שאלה מלאה · רמה א')
נתונה הפונקציה $f(x)=-\frac{1}{4}(x+1)^2+5$ . נתון מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים. שיעורי הקדקוד $A$ של המלבן הם $(-5,5)$ . $E$ קדקוד הפרבולה.…
ציר סימטריה ונקודה אחת: מהנקודה הסימטרית ועד שטח משולש (שאלת ביניים · רמה א')
הגרף של פונקציה מהצורה $f(x)=(x-p)^2+k$ עובר בנקודה $A(3,21)$ . ציר הסימטריה של הפרבולה הוא הישר $x=-2$ .
משפחת הפרבולות $y = (x + 5)^{2} + k$ : כמה נקודות אפס? (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו עוסקים בפונקציות מהצורה $y=(x+5)^2+k$ , כאשר $k$ הוא מספר כלשהו.
משולש בין נקודות האפס לקדקוד: מה משתנה בהזזה? (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+1)^2-16$ . הגרף שלה חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ משמאל ל- $B$ ), ו- $V$ הוא הקדקוד של הפרבולה.
ערך שגוי בטבלה של פרבולה, שחזור הנוסחה והזזה אנכית (שאלת ביניים · רמה א')
הגרף של הפונקציה $g$ הוא פרבולה. בטבלה ערכים של $g$ , ואחד מהם נרשם בטעות. כל שאר הערכים נכונים.
המרחק בין הקדקודים והזזה לנקודת אפס אחת (שאלה קצרה · רמה א')
מזיזים את הגרף של $y=x^2$ $8$ יחידות שמאלה ו- $6$ יחידות למטה, ומקבלים את הגרף של הפונקציה $f$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כיוון פתיחה, קדקוד ונקודות אפס מצורת קדקוד (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה הפונקציה $f(x)=2(x+1)^2-8$ .
מציאת פרבולה לפי הקדקוד ונקודה (שאלה קצרה · רמה א')
הקדקוד של פרבולה $y=f(x)$ הוא הנקודה $(-3,8)$ . הפרבולה חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,-10)$ .