שאלות פתוחות: התאמה בין גרף לביטוי של פונקציה ריבועית - כיתה ט'

התאמה בין גרף לביטוי של פונקציה ריבועית, שאלות פתוחות לכיתה ט'. מוצגים כמה גרפים וכמה ביטויים בהצגות שונות - קדקוד, מכפלה והצגה כללית - והתלמידים מתאימים ביניהם ומנמקים. יש גם שאלה שבה בכל ביטוי שהועתק מהלוח סימן אחד שגוי, וטבלת תכונות להשוואה בין שלוש פונקציות. הרמות הן רמה א', רמה ב' ומצוינות. השאלות טובות לחזרה לפני מבחן: בחרו כמה מהן לבוחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים ב-Word.

17 שאלותרמה א': 8רמה ב': 6מצוינות: 3

שאלה 1 · שני גרפים וחמישה ביטויים: קדקודית מול מכפלהשאלה קצרה · רמה א'

לפניכם שני גרפים של פונקציות ריבועיות, וחמישה ביטויים:
(1) y=(x−2)2−9y=(x-2)^2-9y=(x−2)2−9   (2) y=−(x+3)(x+1)y=-(x+3)(x+1)y=−(x+3)(x+1)   (3) y=(x+2)2−1y=(x+2)^2-1y=(x+2)2−1   (4) y=(x+1)(x−5)y=(x+1)(x-5)y=(x+1)(x−5)   (5) y=−(x+2)2+1y=-(x+2)^2+1y=−(x+2)2+1
כל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר.
גרף AAA-3-2-11234567-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456
גרף BBB-6-5-4-3-2-1123-7-6-5-4-3-2-1123

א.

לכל גרף מצאו את כל הביטויים שמתאימים לו (יש יותר מביטוי אחד). נמקו כל התאמה בעזרת שתי תכונות לפחות, ובדקו בפתיחת סוגריים שהביטויים שבחרתם לאותו גרף שווים.

ב.

לביטוי (3) יש אותן נקודות אפס כמו לגרף BBB. הסבירו מדוע הוא לא מתאים לאף אחד מהגרפים.

שאלה 2 · שלושה ביטויים ושלושה גרפים: חוצה או נוגעתשאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם שלושה גרפים של פונקציות ריבועיות, ושלושה ביטויים:
(1) y=(x+1)(x−5)y=(x+1)(x-5)y=(x+1)(x−5)   (2) y=(x−3)2y=(x-3)^2y=(x−3)2   (3) y=−(x+1)(x−3)y=-(x+1)(x-3)y=−(x+1)(x−3)
כל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר.
גרף PPP-3-2-11234567-6-5-4-3-2-1123456
גרף QQQ-3-2-11234567-6-5-4-3-2-1123456
גרף RRR-3-2-11234567-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456

א.

התאימו לכל ביטוי את הגרף שלו. נמקו כל התאמה בעזרת שתי תכונות: כיוון הפתיחה ונקודות האפס.

ב.

באיזה גרף הפרבולה נוגעת בציר ה-xxx ולא חוצה אותו? כמה נקודות אפס יש לפונקציה הזאת? איך רואים זאת בביטוי?

שאלה 3 · שתי הצגות, שתי שאלות: נקודות על ציר ה- $x$ והנקודה הנמוכה ביותרשאלה קצרה · מצוינות

נתונה הפונקציה r(x)=x2−8x+12r(x)=x^2-8x+12r(x)=x2−8x+12.

א.

הראו בפתיחת סוגריים ש-r(x)=(x−2)(x−6)r(x)=(x-2)(x-6)r(x)=(x−2)(x−6) וגם r(x)=(x−4)2−4r(x)=(x-4)^2-4r(x)=(x−4)2−4. היעזרו בהצגה המתאימה ומצאו את נקודות החיתוך של הגרף של rrr עם ציר ה-xxx. אחר כך היעזרו בהצגה האחרת והסבירו מדוע הנקודה (4,−4)(4,-4)(4,−4) היא הנקודה הנמוכה ביותר על הגרף.

ב.

כתבו את ציר הסימטריה ואת תחום החיוביות של rrr. אחר כך מצאו פונקציה ריבועית sss שיש לה אותן נקודות אפס כמו ל-rrr, והערך הקטן ביותר שלה הוא −16-16−16. כתבו אותה בשתי ההצגות.

שאלה 4 · סימן אחד שגוי בביטוי: מתקנים לפי הגרףשאלה קצרה · רמה ב'

בכל סעיף נתון גרף של פונקציה ריבועית. תלמיד העתיק מהלוח את הביטוי של הפונקציה, ובכל ביטוי שהעתיק סימן אחד בלבד שגוי (פלוס במקום מינוס או מינוס במקום פלוס). כל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר.

א.

לפניכם הגרף של fff:
-6-5-4-3-2-11234-7-6-5-4-3-2-112345

לפי הגרף, כתבו את הקדקוד ואת כיוון הפתיחה. התלמיד כתב f(x)=−(x−2)2+3f(x)=-(x-2)^2+3f(x)=−(x−2)2+3. איזה סימן שגוי? כתבו את הביטוי הנכון.

ב.

לפניכם הגרף של ggg:
-3-2-1123456-7-6-5-4-3-2-112345678

לפי הגרף, כתבו את נקודות האפס ואת כיוון הפתיחה. התלמיד כתב g(x)=(x+1)(x+4)g(x)=(x+1)(x+4)g(x)=(x+1)(x+4). איזה סימן שגוי? כתבו את הביטוי הנכון, והסבירו מדוע אין צורך לשנות אף מספר.

שאלה 5 · שלוש הצגות וטבלה אחת של תכונותשאלת ביניים · רמה ב'

נתונות שלוש פונקציות ריבועיות, כל אחת בהצגה אחרת:
f(x)=(x+2)(x−6)g(x)=(x−3)2+4h(x)=−x2−4x+5f(x)=(x+2)(x-6)\qquad g(x)=(x-3)^2+4\qquad h(x)=-x^2-4x+5f(x)=(x+2)(x−6)g(x)=(x−3)2+4h(x)=−x2−4x+5
תכונהfffggghhh
כיוון הפתיחה???
הקדקוד???
נקודות האפס???
נקודת החיתוך עם ציר ה-yyy???
תחום העלייה???
תחום השליליות???

תכונה	$f$	$g$	$h$
כיוון הפתיחה	?	?	?
הקדקוד	?	?	?
נקודות האפס	?	?	?
נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$	?	?	?
תחום העלייה	?	?	?
תחום השליליות	?	?	?

א.

לכל פונקציה כתבו אילו תאים בטבלה אפשר למלא מיד, בלי חישוב, לפי ההצגה שבה היא נתונה. מלאו את התאים האלה.

ב.

השלימו בחישוב את שאר התאים בטבלה.

ג.

לאילו מהפונקציות יש ערך מינימום, ולאיזו יש ערך מקסימום? מהו ערך הקיצון של כל אחת מהן? איזו מהפונקציות חיובית לכל xxx?

שאלה 6 · ארבע פרבולות מוזזות: התאמה בין גרף לביטוישאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם ארבעה ביטויים וארבעה גרפים. כל משבצת היא יחידה אחת בכל ציר.
(1) y=(x−3)2y=(x-3)^2y=(x−3)2   (2) y=x2+3y=x^2+3y=x2+3   (3) y=−x2+3y=-x^2+3y=−x2+3   (4) y=(x+3)2−2y=(x+3)^2-2y=(x+3)2−2
גרף PPP-7-6-5-4-3-2-11234567-5-4-3-2-1123456789101112
גרף QQQ-7-6-5-4-3-2-11234567-5-4-3-2-1123456789101112
גרף RRR-7-6-5-4-3-2-11234567-5-4-3-2-1123456789101112
גרף SSS-7-6-5-4-3-2-11234567-5-4-3-2-1123456789101112

א.

התאימו לכל ביטוי את הגרף שלו. נמקו כל התאמה בעזרת כיוון הפתיחה והקדקוד.

ב.

לאילו שתי פונקציות יש אותו ציר סימטריה? לאיזו מהפונקציות אין נקודות אפס? נמקו.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (11)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

סימני המקדמים של פרבולה מתוך הגרף (שאלה קצרה · מצוינות)
לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)=ax^2+bx+c$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בשתי נקודות ששתיהן מימין לראשית הצירים, וחותך…
פרבולה בהקשר: מזרקה ומסלול המים (שאלה מלאה · רמה א')
נתונה הפרבולה: $f(x)=-x^2+3x$ . לפניכם ארבעה גרפים, 1-4: גרף 1: גרף 2: גרף 3: גרף 4:
פרבולה בהקשר: קפיצה של דולפין (שאלה מלאה · רמה א')
נתונה הפרבולה: $f(x)=-0.4x^2+2x$ . לפניכם ארבעה גרפים, 1-4: גרף 1: גרף 2: גרף 3: גרף 4:
פרבולה בהקשר: מעוף של כדור (שאלת ביניים · רמה ב')
כדור נבעט מהקרקע. מסלול הכדור מתואר על ידי הפרבולה $f(x)=-x^2+6x$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת…
כיוון הפתיחה של פרבולה וגובה בנקודה (שאלה קצרה · רמה ב')
כדור נבעט מהקרקע. מסלול הכדור מתואר על ידי הפרבולה $f(x)=-x^2+6x$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת…
נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים מתוך הפונקציה (שאלה קצרה · רמה א')
גרף הפונקציה $y=ax^2+bx+c$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,6)$ , ואת ציר ה- $x$ בנקודות $(1,0)$ ו- $(3,0)$ .
הקשר בין המקדמים לצורת הפרבולה והתאמת גרף לפונקציה (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם גרף של הפונקציה הריבועית $f(x)=ax^2+bx+c$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $(-1,0)$ ו- $(3,0)$ , ואת ציר…
הקשר בין המקדמים לצורת הפרבולה והתאמת גרף לפונקציה (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)=ax^2+bx+c$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודות $(-1,0)$ ו- $(3,0)$ , ואת ציר ה- $y$ בנקודה…
הקשר בין המקדמים לצורת הפרבולה והתאמת גרף לפונקציה (שאלה קצרה · רמה א')
הפרבולה $f(x)=ax^2+bx+c$ חותכת את ציר ה- $x$ בנקודות $(-2,0)$ ו- $(x_0,0)$ , ועוברת בנקודות $(0,4)$ ו- $(6,4)$ …
התאמת גרפים לפונקציות לפי המקדמים (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם ארבע פונקציות ריבועיות: $(1)\ y=x^2-4x+3$ $(2)\ y=x^2+4x+3$ $(3)\ y=-x^2+4x-3$ $(4)\ y=-x^2-2x+3$ …
סימני המקדמים מתוך הגרף, המקדמים מתוך נקודות, והזזת הגרף (שאלת ביניים · מצוינות)
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)=ax^2+bx+c$ . הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $A(0,-7)$ , ואת ציר ה- $x$ בנקודות $B(1,0)$ …