שאלות פתוחות: חיתוך שתי פרבולות - כיתה ט'

חיתוך שתי פרבולות לכיתה ט': השוואת הביטויים של שתי פונקציות ריבועיות ומציאת נקודות החיתוך. ברוב השאלות נתונות שתי פונקציות, כמו f(x)=x²-x-6 ו-g(x)=-2x²+2x+12, ויש גם שאלות שבהן בודקים טענות בחישוב או מוצאים את המרחק בין שני הקדקודים. אחת השאלות משלבת הצגת קדקוד והצגת מכפלה. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות, ומתאימות לדף עבודה או למבחן - כולן עם פתרונות מלאים ויצוא ל-Word.

21 שאלותרמה א': 10רמה ב': 6מצוינות: 5

שאלה 1 · כמה נקודות חיתוך? בעזרת הדיסקרימיננטהשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף נתונות שתי פרבולות.

א.

בלי למצוא את נקודות החיתוך, קבעו כמה נקודות חיתוך יש לכל זוג פרבולות. נמקו.
(1) y=x2+3x+1y=x^2+3x+1y=x2+3x+1 ו-y=−x2+x+5y=-x^2+x+5y=−x2+x+5
(2) y=x2+4y=x^2+4y=x2+4 ו-y=−x2+2xy=-x^2+2xy=−x2+2x

ב.

הראו שלפרבולות y=2x2−4x+7y=2x^2-4x+7y=2x2−4x+7 ו-y=x2+2x−2y=x^2+2x-2y=x2+2x−2 יש נקודה משותפת אחת בלבד, ומצאו אותה.

שאלה 2 · נקודות חיתוך של שתי פרבולות: כשהאיבר $x^{2}$ מתבטל וכשהוא נשארשאלה קצרה · רמה ב'

מצאו את נקודות החיתוך של שתי הפרבולות בכל סעיף.

א.

y=x2+2x−3y=x^2+2x-3y=x2+2x−3 ו-y=x2−4x+9y=x^2-4x+9y=x2−4x+9

ב.

y=3x2−5y=3x^2-5y=3x2−5 ו-y=x2+13y=x^2+13y=x2+13

שאלה 3 · פרבולות שחותכות את ציר $x$ באותן שתי נקודותשאלה קצרה · מצוינות

נתונות הפונקציות f(x)=x2−x−6f(x)=x^2-x-6f(x)=x2−x−6 ו-g(x)=−2x2+2x+12g(x)=-2x^2+2x+12g(x)=−2x2+2x+12.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרפים של fff ושל ggg. מה מיוחד בנקודות שקיבלתם?

ב.

הסבירו למה כל שתי פרבולות שונות שחותכות את ציר xxx בנקודות (−2,0)(-2,0)(−2,0) ו-(3,0)(3,0)(3,0) נחתכות זו עם זו בשתי הנקודות האלה בלבד.

שאלה 4 · נכון או לא נכון: מספר נקודות החיתוךשאלה קצרה · רמה א'

לכל טענה קבעו אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו בחישוב.

א.

לפרבולות y=x2+4xy=x^2+4xy=x2+4x ו-y=x2−2x+6y=x^2-2x+6y=x2−2x+6 יש נקודת חיתוך אחת בדיוק.

ב.

לפרבולות y=3x2+2y=3x^2+2y=3x2+2 ו-y=−x2+2y=-x^2+2y=−x2+2 יש שתי נקודות חיתוך, כי אחת מהן פתוחה כלפי מעלה והשנייה פתוחה כלפי מטה.

שאלה 5 · האם הנקודה היא נקודת חיתוך?שאלה קצרה · רמה ב'

נתונות הפונקציות f(x)=2x2−x+3f(x)=2x^2-x+3f(x)=2x2−x+3 ו-g(x)=x2+2x+7g(x)=x^2+2x+7g(x)=x2+2x+7.

א.

בדקו בהצבה אם כל אחת מהנקודות A(−1,6)A(-1,6)A(−1,6) ו-B(2,9)B(2,9)B(2,9) היא נקודת חיתוך של הגרפים של fff ושל ggg. נמקו.

ב.

מצאו את כל נקודות החיתוך של הגרפים של fff ושל ggg.

שאלה 6 · כשסכום שתי הפונקציות קבועשאלת ביניים · מצוינות

נתונות הפונקציות f(x)=x2−6x+2f(x)=x^2-6x+2f(x)=x2−6x+2 ו-g(x)=−x2+6x+4g(x)=-x^2+6x+4g(x)=−x2+6x+4.

א.

חשבו את f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x). מה אפשר לומר על הסכום הזה?

ב.

הסבירו בעזרת סעיף א למה בכל נקודת חיתוך של שני הגרפים שיעור ה-yyy הוא 333. היעזרו בזה כדי למצוא את נקודות החיתוך. כתבו תשובה מדויקת, ותשובה בקירוב של שתי ספרות אחרי הנקודה.

ג.

מצאו את הקדקודים של שתי הפרבולות. הראו ששניהם על אותו ישר אנכי, ושהישר y=3y=3y=3 עובר בדיוק באמצע ביניהם. הסבירו בעזרת סעיף א למה זה לא מקרי.

שאלה 7 · שתי פרבולות עם אותו ציר סימטריהשאלה קצרה · רמה א'

נתונות הפונקציות f(x)=(x−1)(x−5)f(x)=(x-1)(x-5)f(x)=(x−1)(x−5) ו-g(x)=2(x−3)2−5g(x)=2(x-3)^2-5g(x)=2(x−3)2−5.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרפים של fff ושל ggg.

ב.

לשתי נקודות החיתוך של הגרפים יש אותו שיעור yyy. הסבירו למה היה אפשר לצפות לכך עוד לפני החישוב.

שאלה 8 · נקודות חיתוך ומרחק בין קדקודיםשאלה קצרה · רמה ב'

מצאו את נקודות החיתוך של שתי הפרבולות, ומצאו מהו המרחק בין שני הקדקודים שלהן במקרים הבאים:

א.

y=2x2−8y = 2x^2 - 8y=2x2−8 ו- y=−2x2+8y = -2x^2 + 8y=−2x2+8.

ב.

y=2x2+8y = 2x^2 + 8y=2x2+8 ו- y=−2x2+8y = -2x^2 + 8y=−2x2+8.

שאלה 9 · פרבולות שנוגעות זו בזו וישר שעובר ביניהןשאלת ביניים · מצוינות

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x+3f(x)=x^2-2x+3f(x)=x2−2x+3 ו-g(x)=−x2+6x−5g(x)=-x^2+6x-5g(x)=−x2+6x−5.

א.

מצאו את כל הנקודות המשותפות לגרפים של fff ושל ggg.

ב.

הראו שלכל xxx מתקיים f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x)f(x)≥g(x). מה אפשר להסיק מכך על המיקום של שני הגרפים זה ביחס לזה?

ג.

נתון הישר y=2x−1y=2x-1y=2x−1. הראו שלכל xxx הישר נמצא בין שני הגרפים, כלומר g(x)≤2x−1≤f(x)g(x)\le 2x-1\le f(x)g(x)≤2x−1≤f(x), ושלישר יש נקודה משותפת אחת בלבד עם כל אחד מהגרפים.

שאלה 10 · גרפים שאין להם נקודות חיתוךשאלה קצרה · רמה א'

הראו באופן גרפי ובאופן אלגברי כי לגרפים של הפונקציות y=2x2+8y = 2x^2 + 8y=2x2+8 ו- y=−2x2−8y = -2x^2 - 8y=−2x2−8 אין נקודות חיתוך. מצאו מהו המרחק בין שני הקדקודים של שתי הפרבולות.

ענו על השאלה.

עוד 10 שאלות על חיתוך שתי פרבולות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שתי מכוניות צעצוע על מסלול ישר (שאלת ביניים · רמה ב')
שתי מכוניות צעצוע על שלט רחוק יוצאות באותו רגע מאותו קו זינוק, ונוסעות באותו כיוון על מסלול ישר. המרחק (במטרים) של מכונית א מקו הזינוק, $t$ …
הזזות של הפרבולה $y = x^{2}$ : חוצות או נוגעות? (שאלה מלאה · מצוינות)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2$ . בכל סעיף בונים פונקציה ריבועית חדשה, ובודקים מהן הנקודות המשותפות של הגרף שלה עם הגרף של $f$ .
שתי פרבולות שנפגשות על הצירים (שאלת ביניים · רמה א')
נתונות הפונקציות $f(x)=x^2-7x+10$ ו- $g(x)=-x^2+3x+10$ . לפניכם סקיצה של הגרפים של שתי הפונקציות.
שני סילונים במזרקה (שאלה מלאה · רמה ב')
במזרקה יש שתי פיות, ומכל פייה יוצא סילון מים בצורת קשת. מסמנים ב- $x$ את המרחק האופקי (במטרים) מהפייה הראשונה, וב- $y$ את הגובה (במטרים) מעל…
ארבע פרבולות מוזזות ודלתון מנקודות החיתוך (שאלה מלאה · מצוינות)
לפניכם ארבע פונקציות וארבעה גרפים של הפונקציות. A, B, C, D, E - נקודות החיתוך של הגרפים. נתון כי $ABCD$ הוא דלתון ברביע הראשון. $y=x^2+1$ …
פרבולות שלא נפגשות, והזזה שמביאה למפגש (שאלת ביניים · רמה א')
נתונות הפרבולות $y=x^2+3$ ו- $y=-2x^2+1$ .
שתי פרבולות סימטריות: נקודות חיתוך, מרובע וישרים אופקיים (שאלת ביניים · רמה ב')
לפניכם הגרפים 1 ו-2 של הפונקציות $f(x)=x^2+1$ ו- $g(x)=-x^2+19$ . הגרפים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ משמאל ל- $B$ ). $C$ ו- $D$ הם הקדקודים של…
שתי תוכניות למגרש משחקים: ריבוע או מלבן (שאלה מלאה · רמה א')
לבית ספר הוצעו שתי תוכניות למגרש משחקים. בתוכנית הראשונה המגרש הוא ריבוע שאורך צלעו $x+3$ מטרים. בתוכנית השנייה המגרש הוא מלבן שאורכו $2x$ …
שתי פרבולות שנחתכות על ציר $x$ : קדקודים, דלתון וטענות (שאלה מלאה · רמה א')
משורטטים הגרפים של הפונקציות $f(x)=2(x-2)^2-8$ $g(x)=-x^2+4x$ הנקודות P, K הן הקדקודים של הפרבולות.
פרבולה וההזזה האופקית שלה: נקודת מפגש אחת, בדיוק באמצע (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-3)^2$ . מזיזים את הגרף שלה $7$ יחידות שמאלה, ומקבלים את הגרף של הפונקציה $g(x)$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שתי פרבולות: מתי האחת מעל השנייה (שאלה קצרה · רמה א')
נתונות הפונקציות $f(x)=x^2-x-2$ ו- $g(x)=-x^2+3x+4$ . לפניכם סקיצה של הגרפים של שתי הפונקציות, המסומנים I ו-II.