מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ו' (נוסח 2025) - עם פתרונות מלאים

התשובה: 4 מ'.

בשני הבניינים יש קומת לובי אחת. ההבדל ביניהם הוא רק במספר קומות המשרדים:

בבניין הגבוה יש 4 קומות משרדים, ובבניין הנמוך יש 2. כלומר, לבניין הגבוה יש עוד 2 קומות משרדים.

הפרש הגבהים: $22-14=8$ מ'.

8 מטרים הם הגובה של 2 קומות משרדים, ולכן קומה אחת: $8:2=4$ מ'.

התשובה: 6 מ'.

בבניין הנמוך יש קומת לובי ו-2 קומות משרדים, והגובה שלו 14 מ'.

2 קומות משרדים: $2\times4=8$ מ'.

קומת הלובי: $14-8=6$ מ'.

בדיקה בבניין הגבוה: $6+4\times4=6+16=22$ מ' ✓

התשובה: 34 מ'.

7 קומות משרדים: $7\times4=28$ מ'.

מוסיפים את קומת הלובי: $28+6=34$ מ'.

התשובה: לא.

בכל בניין יש קומת לובי של 6 מ', ושאר הגובה מורכב מקומות משרדים של 4 מ' כל אחת.

אם הבניין גבוה 40 מ', הקומות שמעל הלובי צריכות להיות בגובה: $40-6=34$ מ'.

כמה קומות של 4 מ' נכנסות ב-34 מ'? $34:4=8$ ונשארים 2 ($8\times4=32$).

אי אפשר לבנות חצי קומה, ולכן אין בניין כזה בגובה 40 מ'.

דרך נוספת: הגבהים האפשריים הם 6 ועוד 4, ועוד 4, ועוד 4...: $10,\ 14,\ 18,\ 22,\ 26,\ 30,\ 34,\ 38,\ 42,\ \ldots$ – המספר 40 לא מופיע ברשימה (אחרי 38 בא 42).

תשובה מלאה לדוגמה: לא. $40-6=34$, ו-34 לא מתחלק ב-4, כי $4\times8=32$ ו-$4\times9=36$. לכן אי אפשר שכל הקומות שמעל הלובי יהיו קומות שלמות.

מה הבודק מחפש: "לא" והסבר שהגובה של קומות המשרדים בבניין (40 פחות גובה הלובי) אינו כפולה של 4.

התשובה: ביום ג.

את מספר הכריכים שהוכנו מראות העמודות הכהות (לפי המקרא).

יום א: 100 כריכים, יום ב: 80 כריכים, יום ג: 140 כריכים.

העמודה הכהה הגבוהה ביותר היא של יום ג.

שימו לב: לא מסתכלים כאן על העמודות המפוספסות – הן מראות כמה כריכים נמכרו, לא כמה הוכנו.

התשובה: ביום ב.

כל הכריכים נמכרו ביום שבו העמודה של "נמכרו" גבוהה בדיוק כמו העמודה של "הוכנו".

ביום ב הוכנו 80 כריכים ונמכרו 80 כריכים – שתי העמודות באותו גובה.

ביום א הוכנו 100 ונמכרו רק 80, וביום ג הוכנו 140 ונמכרו רק 100.

התשובה: 40 כריכים.

ביום ג הוכנו 140 כריכים ונמכרו 100 כריכים.

הכריכים שלא נמכרו: $140-100=40$.

את 40 הכריכים האלה קיבלה העמותה.

התשובה: עמודה בגובה 120 ליד העמודה של יום ד.

לפי הדיאגרמה, ביום ד נמכרו 60 כריכים (העמודה המפוספסת).

העמותה קיבלה 60 כריכים – אלה הכריכים שלא נמכרו.

כל הכריכים שהוכנו = אלה שנמכרו + אלה שלא נמכרו: $60+60=120$.

לכן מסרטטים ביום ד עמודה של "הוכנו" בגובה 120 (עד הקו של 120). בסרטוט שלפניכם העמודה החדשה צבועה בכתום, כדי שיהיה קל לראות אותה:

התשובה: $\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$.

כופלים מונה במונה ומכנה במכנה:

$\frac{2}{3}\times\frac{1}{8}=\frac{2\times1}{3\times8}=\frac{2}{24}$

מצמצמים ב-2: $\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$.

התשובה: 15.

השאלה היא: כמה חמישיות יש ב-3 שלמים?

בכל שלם יש 5 חמישיות, ולכן ב-3 שלמים יש $3\times5=15$ חמישיות.

דרך נוספת: לחלק ב-$\frac{1}{5}$ זה כמו לכפול ב-5: $3:\frac{1}{5}=3\times5=15$.

שימו לב: התשובה $\frac{3}{5}$ שגויה – זו התוצאה של $3\times\frac{1}{5}$, ולא של חילוק.

התשובה: $2.7$.

הופכים את $\frac{3}{5}$ לשבר עשרוני: מרחיבים פי 2 ומקבלים $\frac{6}{10}=0.6$.

$2.1+0.6=2.7$

אפשר גם לעבוד בשברים פשוטים: $2.1=2\frac{1}{10}$, ו-$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$, ולכן $2\frac{1}{10}+\frac{6}{10}=2\frac{7}{10}$.

התשובה: $75\%$.

הריבוע מחולק ל-8 משולשים שווים (כולם נפגשים במרכז הריבוע, וכולם באותו גודל).

סופרים: 6 משולשים צבועים בירוק, ו-2 לבנים.

החלק הצבוע: $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=75\%$.

התשובה: $25\%$.

נניח שצלע הריבוע היא 4 יחידות. שטח הריבוע: $4\times4=16$.

הבסיס של המשולש הירוק הוא חצי מהצלע התחתונה: $4:2=2$.

הגובה של המשולש הוא המרחק מהבסיס עד הקודקוד שעל הצלע העליונה – זה בדיוק אורך צלע הריבוע: 4.

שטח המשולש: $\frac{2\times4}{2}=4$.

החלק הצבוע: $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=25\%$.

דרך נוספת: משולש שהבסיס שלו הוא צלע שלמה של הריבוע והקודקוד שלו על הצלע שממול תופס חצי מהריבוע. כאן הבסיס הוא רק חצי צלע, ולכן המשולש תופס חצי מחצי, כלומר רבע, שהם $25\%$.

שימו לב: המקום של הקודקוד על הצלע העליונה לא משנה את השטח, כי הגובה נשאר אותו גובה.

התשובה: 36 סמ"ר.

שטח מקבילית = צלע × הגובה לצלע הזאת.

הצלע 9 ס"מ, והגובה אליה 4 ס"מ: $9\times4=36$ סמ"ר.

שימו לב: לא כופלים את שתי הצלעות ($9\times5=45$) – הצלע 5 ס"מ היא משופעת, והיא לא הגובה.

התשובה: 28 ס"מ.

היקף = סכום האורכים של כל הצלעות. במקבילית הצלעות שממול שוות זו לזו: שתי צלעות של 9 ס"מ ושתי צלעות של 5 ס"מ.

$9+5+9+5=28$ ס"מ.

שימו לב: הגובה (4 ס"מ) אינו צלע, ולכן הוא לא נכנס לחישוב ההיקף.

התשובה: 160 מ"ק.

נפח המכל כולו: אורך × רוחב × גובה $=8\times5\times6=240$ מ"ק.

המים ממלאים $\frac{2}{3}$ מהנפח: $240:3=80$, ו-$80\times2=160$ מ"ק.

דרך נוספת: $\frac{2}{3}$ מהגובה 6 מ' הם 4 מ', ולכן המים הם תיבה בגודל $8\times5\times4=160$ מ"ק.

תשובה מלאה לדוגמה: $8\times5\times6=240$, $240\times\frac{2}{3}=160$. נפח המים 160 מ"ק.

מה הבודק מחפש: את התשובה 160 וגם חישוב של נפח המכל וחלק ממנו, או חישוב ישיר $8\times5\times4$.

התשובה: 4 מ'.

המכל הוא תיבה, ולכן המים ממלאים את התחתית שלו בשכבה שגובהה אחיד.

המים הם $\frac{2}{3}$ מהנפח, ולכן הגובה שלהם הוא $\frac{2}{3}$ מגובה המכל: $6:3=2$, ו-$2\times2=4$ מ'.

בדיקה: $8\times5\times4=160$ מ"ק – כמו בסעיף א ✓

דוגמה לתשובה נכונה (המקבילית התחתונה בסרטוט):

איך מסרטטים:

1. מסרטטים קטע אופקי באורך 6 משבצות – זו הצלע של 6 ס"מ.

2. הגובה לצלע הזאת הוא 4 ס"מ, ולכן הצלע שממול צריכה להיות 4 משבצות מעליה.

3. מסרטטים 4 משבצות למעלה קטע אופקי נוסף באורך 6 משבצות, אבל מזיזים אותו הצידה (למשל 2 משבצות שמאלה).

4. מחברים את הקצוות: שמאל עם שמאל וימין עם ימין.

קיבלנו מרובע שבו שתי הצלעות האופקיות מקבילות ושוות (6 ס"מ), ולכן הוא מקבילית. המרחק בין הצלעות האופקיות הוא הגובה – 4 ס"מ.

שימו לב: הצלעות המשופעות ארוכות מ-4 ס"מ. הגובה הוא המרחק הישר (המאונך) בין הצלעות המקבילות, ולא אורך הצלע המשופעת.

גם מלבן של $6\times4$ ס"מ נחשב לתשובה נכונה, כי מלבן הוא מקבילית מיוחדת.

דוגמה לתשובה נכונה: המקבילית העליונה בסרטוט של סעיף א.

בה הצלע העליונה מוזזת 2 משבצות ימינה (ולא שמאלה), ולכן הצורה נוטה לצד השני.

יש הרבה מקביליות כאלה: אפשר להזיז את הצלע העליונה בכל מרחק (משבצת אחת, 3 משבצות...), לכל צד. בכל המקביליות האלה הצלע היא 6 ס"מ והגובה 4 ס"מ, ולכן לכולן אותו שטח: $6\times4=24$ סמ"ר.

אם בסעיף א סרטטתם מלבן, אפשר לסרטט כאן מקבילית משופעת, ולהפך.

חשוב: מקבילית שהיא רק אותה מקבילית מסעיף א במקום אחר בדף, או אותה מקבילית מסובבת או הפוכה (שיקוף), לא נחשבת "אחרת".

התשובה הנכונה: קטן מ-45 סמ"ר.

נסתכל על המלבן שהמצולע נמצא בתוכו: 9 ס"מ על 5 ס"מ. השטח שלו $9\times5=45$ סמ"ר.

המצולע הוא המלבן הזה, אבל במקום הצלע העליונה הישרה יש "שקע" כלפי פנים: שני קווים משופעים שיורדים לנקודה שבתוך המלבן.

המשולש שבין הקווים המשופעים ובין הצלע העליונה של המלבן הוא חלק מהמלבן שאינו חלק מהמצולע.

לכן השטח של המצולע הוא 45 סמ"ר פחות השטח של המשולש הזה – פחות מ-45 סמ"ר.

(אין צורך לחשב בדיוק, אבל אפשר: למשולש בסיס של 9 ס"מ וגובה של 1.5 ס"מ, ולכן השטח שלו $\frac{9\times1.5}{2}=6.75$ סמ"ר, ושטח המצולע $45-6.75=38.25$ סמ"ר.)

למה לא "שווה ל-45"? 45 סמ"ר הוא השטח של כל המלבן, אבל למצולע חסר המשולש של השקע.

למה לא "גדול מ-45"? המצולע כולו בתוך המלבן של $9\times5$, ולכן השטח שלו לא יכול להיות גדול יותר.

התשובה הנכונה: גדול מ-28 ס"מ.

ההיקף של המלבן השלם הוא $9+5+9+5=28$ ס"מ.

למצולע יש שלוש צלעות משותפות עם המלבן: הצלע התחתונה (9 ס"מ) ושתי הצלעות הצדדיות (5 ס"מ כל אחת): $9+5+5=19$ ס"מ.

במקום הצלע העליונה של המלבן (9 ס"מ), למצולע יש שני קווים משופעים: מהפינה הימנית העליונה אל הנקודה של השקע, ומשם אל הפינה השמאלית העליונה.

קו ישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות. הצלע העליונה של המלבן היא קו ישר בין שתי הפינות העליונות, ולכן "הדרך העוקפת" דרך השקע ארוכה ממנה – יותר מ-9 ס"מ.

לכן ההיקף של המצולע הוא יותר מ-$19+9=28$ ס"מ.

(אפשר לראות זאת גם בסרטוט: הקו המשופע הימני עובר 6.5 משבצות לרוחב וגם יורד, ולכן הוא ארוך מ-6.5 ס"מ; הקו המשופע השמאלי עובר 2.5 משבצות לרוחב וגם עולה, ולכן הוא ארוך מ-2.5 ס"מ. יחד הם ארוכים מ-$6.5+2.5=9$ ס"מ.)

למה לא "קטן מ-28"? זו הטעות הנפוצה: "השטח קטן, אז גם ההיקף קטן". אבל השקע מוריד שטח ובאותו זמן מאריך את הדרך מסביב לצורה.

למה לא "שווה ל-28"? ההיקף היה שווה ל-28 רק אם הדרך החדשה הייתה באותו אורך כמו הצלע העליונה, אבל הדרך העוקפת דרך השקע ארוכה יותר.