מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ו' (נוסח 2025, טופס ב') - עם פתרונות מלאים

התשובה: $\frac{3}{45}=\frac{1}{15}$.

בכפל שברים כופלים מונה במונה ומכנה במכנה:

$\frac{3}{5}\times\frac{1}{9}=\frac{3\times1}{5\times9}=\frac{3}{45}$

מצמצמים ב-3: $\frac{3}{45}=\frac{1}{15}$.

התשובה: 12.

שואלים: כמה שלישים נכנסים ב-4 שלמים?

בשלם אחד יש 3 שלישים, ולכן ב-4 שלמים יש $4\times3=12$ שלישים.

אפשר גם כך: חילוק ב-$\frac{1}{3}$ שווה לכפל ב-3: $4:\frac{1}{3}=4\times3=12$.

זהירות: $\frac{4}{3}$ היא התוצאה של $4\times\frac{1}{3}$, ולא של החילוק.

התשובה: $3.6$.

כותבים את $\frac{2}{5}$ כשבר עשרוני: מרחיבים פי 2, $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0.4$.

$3.2+0.4=3.6$

אפשר גם בשברים פשוטים: $3.2=3\frac{2}{10}$, $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$, ולכן $3\frac{2}{10}+\frac{4}{10}=3\frac{6}{10}=3\frac{3}{5}$.

התשובה: $50\%$.

הריבוע מחולק ל-4 ריבועים קטנים, וכל ריבוע קטן מחולק על ידי שני האלכסונים שלו ל-4 משולשים שווים.

בסך הכול יש $4\times4=16$ משולשים שווים.

סופרים את המשולשים הירוקים: בכל ריבוע קטן יש 2 משולשים ירוקים, ולכן $4\times2=8$.

החלק הצבוע: $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}=\frac{50}{100}=50\%$.

התשובה: $75\%$.

כאן קל יותר לחשב קודם את החלק הלבן.

נניח שצלע הריבוע היא 4 יחידות. שטח הריבוע: $4\times4=16$.

הבסיס של המשולש הלבן הוא חצי מהצלע התחתונה: $4:2=2$.

הגובה של המשולש הלבן הוא המרחק בין הצלע התחתונה לצלע העליונה – אורך צלע הריבוע, 4.

שטח המשולש הלבן: $\frac{2\times4}{2}=4$, כלומר $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=25\%$ מהריבוע.

השאר צבוע בירוק: $100\%-25\%=75\%$.

דרך נוספת: משולש שהבסיס שלו צלע שלמה של הריבוע והקודקוד שלו על הצלע שממול תופס חצי ריבוע. הבסיס כאן הוא חצי צלע, ולכן המשולש תופס רבע, והירוק הוא שלושה רבעים.

שימו לב: אל תענו $25\%$ – זה החלק הלבן, ולא החלק הירוק.

התשובה: ביום א.

לפי המקרא, העמודות הכהות מראות כמה זרים הוכנו.

יום א: 120 זרים, יום ב: 100 זרים, יום ג: 80 זרים.

העמודה הכהה הגבוהה ביותר היא של יום א.

התשובה: ביום ג.

מחפשים יום שבו העמודה המפוספסת ("נמכרו") גבוהה בדיוק כמו העמודה הכהה ("הוכנו").

ביום ג הוכנו 80 זרים ונמכרו 80 זרים.

ביום א הוכנו 120 ונמכרו 100, וביום ב הוכנו 100 ונמכרו 60 – בימים האלה נשארו זרים.

התשובה: 20 זרים.

ביום א הוכנו 120 זרים ונמכרו 100.

לא נמכרו: $120-100=20$ זרים – הם נשלחו לבית האבות.

התשובה: עמודה בגובה 100 ביום ד.

העמודה המפוספסת של יום ד מראה שנמכרו 60 זרים.

לבית האבות נשלחו 40 זרים – אלה הזרים שלא נמכרו.

כל הזרים שהוכנו: $60+40=100$.

מסרטטים ביום ד עמודה של "הוכנו" עד הקו של 100. בסרטוט היא צבועה בכתום כדי שיהיה קל לראות אותה:

התשובה: 5 ס"מ.

בכל אחד מהמגדלים יש בסיס אחד. במגדל הגבוה יש 4 קוביות, ובמגדל הנמוך 2 קוביות – 2 קוביות פחות.

הפרש הגבהים: $29-19=10$ ס"מ.

10 ס"מ הם הגובה של 2 קוביות, ולכן קובייה אחת: $10:2=5$ ס"מ.

התשובה: 9 ס"מ.

המגדל הנמוך (19 ס"מ) בנוי מבסיס ו-2 קוביות.

2 קוביות: $2\times5=10$ ס"מ.

הבסיס: $19-10=9$ ס"מ.

בדיקה במגדל הגבוה: $9+4\times5=9+20=29$ ס"מ ✓

התשובה: 39 ס"מ.

6 קוביות: $6\times5=30$ ס"מ.

ועוד הבסיס: $30+9=39$ ס"מ.

התשובה: לא.

בכל מגדל יש בסיס של 9 ס"מ, ומעליו קוביות של 5 ס"מ כל אחת.

אם המגדל גבוה 52 ס"מ, הקוביות צריכות להגיע יחד ל-$52-9=43$ ס"מ.

אבל 43 לא מתחלק ב-5: $5\times8=40$ ו-$5\times9=45$. אי אפשר להשתמש בחלק של קובייה.

דרך נוספת: הגבהים האפשריים הם $14,\ 19,\ 24,\ 29,\ 34,\ 39,\ 44,\ 49,\ 54,\ \ldots$ (כל פעם עוד 5). כולם נגמרים ב-4 או ב-9, ו-52 לא ברשימה.

תשובה מלאה לדוגמה: לא. $52-9=43$, ו-43 אינו כפולה של 5, ולכן אי אפשר לבנות את החלק שמעל הבסיס מקוביות שלמות.

מה הבודק מחפש: "לא" והסבר שהגובה של הקוביות במגדל (52 פחות גובה הבסיס) אינו כפולה של 5.

התשובה: 55 סמ"ר.

שטח מקבילית = צלע × הגובה שיורד אל הצלע הזאת.

$11\times5=55$ סמ"ר.

זהירות: $11\times6=66$ שגוי – 6 ס"מ הוא אורך הצלע המשופעת, לא הגובה.

התשובה: 34 ס"מ.

במקבילית כל שתי צלעות שממול שוות. יש שתי צלעות של 11 ס"מ ושתי צלעות של 6 ס"מ.

$11+6+11+6=34$ ס"מ.

הגובה (5 ס"מ) הוא לא צלע, ולכן לא מחברים אותו.

התשובה: 210 מ"ק.

נפח המאגר: $6\times5\times10=300$ מ"ק.

המים הם $\frac{7}{10}$ מהנפח: $300:10=30$, ו-$30\times7=210$ מ"ק.

דרך נוספת: גובה המים הוא $\frac{7}{10}$ מ-10 מ', כלומר 7 מ', ולכן נפח המים $6\times5\times7=210$ מ"ק.

תשובה מלאה לדוגמה: $6\times5\times10=300$, $300\times\frac{7}{10}=210$. במאגר 210 מ"ק מים.

מה הבודק מחפש: את התשובה 210 וגם חישוב של נפח המאגר וחלק ממנו, או חישוב ישיר $6\times5\times7$.

התשובה: 7 מ'.

במאגר בצורת תיבה המים יוצרים שכבה בגובה אחיד מהרצפה.

המים ממלאים $\frac{7}{10}$ מהנפח, ולכן הם מגיעים ל-$\frac{7}{10}$ מהגובה: $10:10=1$, ו-$1\times7=7$ מ'.

בדיקה: $6\times5\times7=210$ מ"ק, כמו בסעיף א ✓

דוגמה לתשובה נכונה (המקבילית התחתונה בסרטוט):

איך מסרטטים:

1. מסרטטים קטע אופקי באורך 8 משבצות – זו הצלע של 8 ס"מ.

2. הגובה אל הצלע הזאת הוא 3 ס"מ, ולכן הצלע שממולה צריכה להיות 3 משבצות מעליה.

3. מסרטטים 3 משבצות מעל הקטע הראשון עוד קטע אופקי באורך 8 משבצות, ומזיזים אותו הצידה (למשל 2 משבצות ימינה).

4. מחברים את הקצוות.

במרובע שקיבלנו יש שתי צלעות אופקיות מקבילות ושוות (8 ס"מ), ולכן הוא מקבילית, והמרחק ביניהן – 3 ס"מ – הוא הגובה.

שימו לב: הצלעות המשופעות ארוכות יותר מ-3 ס"מ. הגובה נמדד בקו ישר ומאונך בין הצלעות המקבילות.

גם מלבן של $8\times3$ ס"מ הוא תשובה נכונה, כי מלבן הוא סוג של מקבילית.

דוגמה לתשובה נכונה: המקבילית העליונה בסרטוט של סעיף א.

בה הצלע העליונה מוזזת 3 משבצות שמאלה (ולא 2 ימינה), ולכן הצורה שונה.

יש אינסוף אפשרויות: אפשר להזיז את הצלע העליונה בכל מרחק ולכל צד. בכל המקביליות האלה הצלע 8 ס"מ והגובה 3 ס"מ, ולכן השטח של כולן שווה: $8\times3=24$ סמ"ר.

אם בסעיף א סרטטתם מלבן, כאן אפשר לסרטט מקבילית משופעת, ולהפך.

חשוב: אותה מקבילית במקום אחר בדף, או אותה מקבילית מסובבת או משוקפת, אינה נחשבת מקבילית אחרת.

התשובה הנכונה: קטן מ-50 סמ"ר.

המצולע נמצא בתוך מלבן של 10 ס"מ על 5 ס"מ. השטח של המלבן: $10\times5=50$ סמ"ר.

המצולע הוא המלבן הזה, אבל במקום הצלע הימנית הישרה יש "שקע" כלפי פנים: שני קווים משופעים שנפגשים בנקודה שבתוך המלבן.

המשולש שבין הקווים המשופעים ובין הצלע הימנית של המלבן הוא חלק מהמלבן שאינו חלק מהמצולע.

לכן השטח של המצולע הוא 50 סמ"ר פחות השטח של המשולש הזה – פחות מ-50 סמ"ר.

(אין צורך לחשב בדיוק, אבל אפשר: למשולש בסיס של 5 ס"מ (על הצלע הימנית) וגובה של 1.5 ס"מ, ולכן השטח שלו $\frac{5\times1.5}{2}=3.75$ סמ"ר, ושטח המצולע $50-3.75=46.25$ סמ"ר.)

למה לא "שווה ל-50"? 50 סמ"ר הוא השטח של המלבן השלם, אבל למצולע חסר המשולש של השקע.

למה לא "גדול מ-50"? כל המצולע נמצא בתוך המלבן של $10\times5$, ולכן השטח שלו לא יכול להיות גדול יותר.

התשובה הנכונה: גדול מ-30 ס"מ.

ההיקף של המלבן השלם: $10+5+10+5=30$ ס"מ.

למצולע יש שלוש צלעות משותפות עם המלבן: התחתונה (10 ס"מ), העליונה (10 ס"מ) והשמאלית (5 ס"מ): $10+10+5=25$ ס"מ.

במקום הצלע הימנית של המלבן (5 ס"מ), למצולע יש שני קווים משופעים: מהפינה הימנית התחתונה אל הנקודה של השקע, ומשם אל הפינה הימנית העליונה.

קו ישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות. הצלע הימנית של המלבן היא קו ישר בין שתי הפינות הימניות, ולכן "הדרך העוקפת" דרך השקע ארוכה ממנה – יותר מ-5 ס"מ.

לכן ההיקף של המצולע הוא יותר מ-$25+5=30$ ס"מ.

(אפשר לראות זאת גם בסרטוט: הקו המשופע התחתון עולה 3.5 משבצות וגם זז הצידה, ולכן הוא ארוך מ-3.5 ס"מ; הקו המשופע העליון עולה 1.5 משבצות וגם זז הצידה, ולכן הוא ארוך מ-1.5 ס"מ. יחד הם ארוכים מ-$3.5+1.5=5$ ס"מ.)

למה לא "קטן מ-30"? זו הטעות הנפוצה: "השטח קטן, אז גם ההיקף קטן". אבל השקע מוריד שטח ובאותו זמן מאריך את הדרך מסביב לצורה.

למה לא "שווה ל-30"? ההיקף היה שווה ל-30 רק אם הדרך החדשה הייתה באותו אורך כמו הצלע הימנית, אבל הדרך העוקפת דרך השקע ארוכה יותר.