מבחן מיצ"ב לדוגמה 1 במתמטיקה לכיתה ו' - עם פתרונות מלאים

התשובה: 72.

לפי סדר פעולות החשבון, כפל קודם לחיבור.

שלב 1 – כפל: $4 \times 9 = 36$.

שלב 2 – חיבור: $36 + 36 = 72$.

טעות נפוצה: לחשב משמאל לימין, $36 + 4 = 40$ ואז $40 \times 9 = 360$. זה לא נכון, כי את הכפל עושים לפני החיבור.

התשובה: 36.

שלב 1 – קודם מחשבים את מה שבתוך הסוגריים: $5 + 3 = 8$.

עכשיו התרגיל הוא: $48 - 6 \times 8 : 4$.

שלב 2 – כפל וחילוק לפני חיסור, ומבצעים אותם משמאל לימין: $6 \times 8 = 48$, ואז $48 : 4 = 12$.

שלב 3 – חיסור: $48 - 12 = 36$.

טעות נפוצה: להתחיל בחיסור $48 - 6 = 42$, ואז $42 \times 8 : 4 = 84$. חיסור עושים רק אחרי הכפל והחילוק.

התשובה: $65^\circ$.

סכום הזוויות בכל משולש הוא $180^\circ$.

שלב 1 – מחברים את שתי הזוויות הידועות: $47^\circ + 68^\circ = 115^\circ$.

שלב 2 – מחסרים מ־$180^\circ$: $180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.

בדיקה: $47 + 68 + 65 = 180$ ✓

התשובה: לא.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): לא ייתכן. סכום שלוש הזוויות במשולש הוא $180^\circ$. כבר שתי הזוויות של רוני יחד הן $95^\circ + 88^\circ = 183^\circ$, וזה יותר מ־$180^\circ$. לא נשאר מקום לזווית השלישית.

שימו לב: ההסבר "יש במשולש שתי זוויות קהות" אינו נכון – רק $95^\circ$ היא זווית קהה, ו־$88^\circ$ היא זווית חדה (קטנה מ־$90^\circ$). הסיבה היא שהסכום של שתי הזוויות גדול מ־$180^\circ$.

התשובה: $\frac{11}{12}$.

מרחיבים את שני השברים למכנה משותף 12 (12 מתחלק גם ב־3 וגם ב־4):

$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$, $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

$\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$

טעות נפוצה: לחבר מונה עם מונה ומכנה עם מכנה ($\frac{3}{7}$). מחברים שברים רק כשיש להם אותו מכנה.

התשובה: 6.

$\frac{2}{5} \times 15$ זה $\frac{2}{5}$ מ־15.

$\frac{1}{5}$ מ־15: $15 : 5 = 3$.

$\frac{2}{5}$ מ־15: $3 \times 2 = 6$.

דרך נוספת: $\frac{2 \times 15}{5} = \frac{30}{5} = 6$.

התשובה: 0.9.

3.6 הם 36 עשיריות.

36 עשיריות לחלק ל־4: $36 : 4 = 9$, כלומר 9 עשיריות = 0.9.

בדיקה: $0.9 \times 4 = 3.6$ ✓

טעות נפוצה: לכתוב 9 – זה $36 : 4$, ושכחו שמדובר בעשיריות.

התשובה: 46 ספרים ביום.

ממוצע = סכום כל הנתונים : מספר הנתונים.

שלב 1 – הסכום: $38 + 45 + 52 + 41 + 54$.

$38 + 45 = 83$, $83 + 52 = 135$, $135 + 41 = 176$, $176 + 54 = 230$.

שלב 2 – מספר הימים הוא 5: $230 : 5 = 46$.

בדיקה: $46 \times 5 = 230$ ✓

התשובה הנכונה: הממוצע קטן.

ביום ו נמכרו 40 ספרים – פחות מהממוצע של ימים א–ה (46). כשמוסיפים נתון שקטן מהממוצע, הממוצע קטן.

בדיקה בחישוב: הסכום החדש: $230 + 40 = 270$, ומספר הימים 6.

$270 : 6 = 45$. הממוצע ירד מ־46 ל־45.

למה לא "הממוצע גדל"? חשבו שכל ספר נוסף מגדיל את הממוצע. אבל גם מספר הימים גדל, והנתון החדש (40) קטן מהממוצע, ולכן הוא "מושך" את הממוצע למטה.

למה לא "הממוצע לא השתנה"? הממוצע לא משתנה רק כשמוסיפים נתון ששווה בדיוק לממוצע (46). 40 שונה מ־46.

למה לא "אי אפשר לדעת בלי לחשב את כל הממוצע מחדש"? אפשר לדעת: מספיק להשוות את הנתון החדש לממוצע הקודם. 40 קטן מ־46, ולכן הממוצע יקטן.

התשובה: יש כמה תשובות נכונות – כל מספר שלם מ־47 עד 57.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): ביום ו נמכרו 52 ספרים.

בימים א–ה נמכרו 230 ספרים (מסעיף א).

בימים א–ו: $230 + 52 = 282$ ספרים.

הממוצע: $282 : 6 = 47$ ספרים ביום. 47 גדול מ־46 וקטן מ־48 ✓

איך מוצאים את כל האפשרויות?

• אם הממוצע של 6 הימים היה בדיוק 46, הסכום היה $46 \times 6 = 276$, וביום ו היו נמכרים $276 - 230 = 46$ ספרים.

• אם הממוצע של 6 הימים היה בדיוק 48, הסכום היה $48 \times 6 = 288$, וביום ו היו נמכרים $288 - 230 = 58$ ספרים.

לכן ביום ו צריך להימכר מספר ספרים שגדול מ־46 וקטן מ־58: כל מספר מ־47 עד 57.

(עם 52 הממוצע יוצא מספר שלם, ולכן נוח לבדוק איתו. עם מספר אחר, למשל 50, הממוצע הוא $280 : 6 = 46\frac{2}{3}$ – גם הוא בין 46 ל־48 ✓)

שימו לב: לא כל מספר גדול מ־46 מתאים. למשל, אם ביום ו נמכרו 60 ספרים, הממוצע הוא $290 : 6 = 48\frac{1}{3}$ – יותר מ־48. לכן חשוב לבדוק בחישוב.

התשובה: $4\frac{5}{12}$ ק"ג.

תשובה לדוגמה (ציון מלא):

מחברים את השלמים ואת השברים בנפרד.

השלמים: $2 + 1 = 3$.

השברים: $\frac{3}{4} + \frac{2}{3}$. מכנה משותף 12: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$.

$\frac{9}{12} + \frac{8}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$ (כי $\frac{12}{12}$ הם שלם אחד).

יחד: $3 + 1\frac{5}{12} = 4\frac{5}{12}$ ק"ג.

התשובה הנכונה: $1\frac{7}{12}$ ק"ג.

מחסרים את מה שהשתמשו בו (מסעיף א) מ־6: $6 - 4\frac{5}{12}$.

פורטים שלם אחד מתוך 6 ל־12 שנים־עשר: $6 = 5\frac{12}{12}$.

$5\frac{12}{12} - 4\frac{5}{12} = 1\frac{7}{12}$ (השלמים: $5 - 4 = 1$; השברים: $\frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$).

בדיקה: $4\frac{5}{12} + 1\frac{7}{12} = 5\frac{12}{12} = 6$ ✓

למה לא $2\frac{7}{12}$? חיסרו את השלמים ($6 - 4 = 2$), ואז חיסרו את $\frac{5}{12}$ משלם "נוסף" ($1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$) – בלי להוריד את השלם הזה מ־6. כשפורטים שלם אחד, נשארים 5 שלמים ולא 6.

למה לא $2\frac{5}{12}$? חיסרו רק את השלמים ($6 - 4 = 2$) והעתיקו את השבר $\frac{5}{12}$ כמו שהוא.

למה לא $1\frac{5}{12}$? פרטו נכון שלם אחד, אבל לא חיסרו ממנו את $\frac{5}{12}$ – העתיקו את השבר.

התשובה הנכונה: 60 ספרי קריאה.

$\frac{1}{8}$ מ־160: $160 : 8 = 20$.

$\frac{3}{8}$ מ־160: $20 \times 3 = 60$.

למה לא 20? זו רק שמינית אחת מ־160. שכחו לכפול ב־3.

למה לא 48? חשבו ש־$\frac{3}{8}$ הם 30% ($160 \times 0.3 = 48$). אבל $\frac{3}{8} = 0.375 = 37.5\%$.

למה לא 100? זה מספר הספרים שלא היו ספרי קריאה: $160 - 60 = 100$.

התשובה: 60 ספרי טבע.

תשובה לדוגמה (ציון מלא):

ספרי יצירה: 25% הם רבע. $160 : 4 = 40$ ספרי יצירה.

ספרי קריאה: 60 (מסעיף א).

ספרי טבע הם כל השאר: $160 - 60 - 40 = 60$ ספרי טבע.

דרך נוספת – בשברים: $25\% = \frac{1}{4} = \frac{2}{8}$. ספרי קריאה וספרי יצירה יחד: $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$. ספרי הטבע הם $\frac{3}{8}$ הנותרים, ו־$\frac{3}{8}$ מ־160 הם 60.

התשובה הנכונה: 38 קופסאות מלאות.

מחלקים 230 ל־6: $6 \times 30 = 180$, נשארו $230 - 180 = 50$.

$6 \times 8 = 48$, נשארו $50 - 48 = 2$.

כלומר $230 : 6 = 38$ ושארית 2: יש 38 קופסאות מלאות, ו־2 מאפינס נשארים מחוץ לקופסאות.

בדיקה: $38 \times 6 + 2 = 228 + 2 = 230$ ✓

למה לא 39? עיגלו כלפי מעלה. בקופסה ה־39 יהיו רק 2 מאפינס – היא לא מלאה.

למה לא 38.2? כתבו את השארית 2 כאילו היא החלק העשרוני. השארית היא 2 מאפינס, לא 0.2 קופסה. (וחוץ מזה, מספר קופסאות מלאות הוא מספר שלם.)

למה לא 40? אמדו $240 : 6 = 40$. אבל אפו 230 מאפינס, לא 240.

התשובה: 4 מאפינס.

מסעיף א: אחרי שממלאים 38 קופסאות נשארים 2 מאפינס.

כדי למלא קופסה נוספת צריך 6 מאפינס, ויש רק 2. חסרים $6 - 2 = 4$ מאפינס.

בדיקה: $230 + 4 = 234$, ו־$234 : 6 = 39$ קופסאות מלאות בדיוק ✓

טעות נפוצה: לענות 2 – זו השארית (המאפינס שנשארו), לא מספר המאפינס שחסרים.

התשובה: שתיים מהאפשרויות 6, 8, 10, 12 או 15 לחמניות בשקית.

מספר הלחמניות בשקית צריך להיות מספר ש־120 מתחלק בו בלי שארית, והוא בין 6 ל־19.

בודקים את המספרים מ־6 עד 19:

• 6: $120 : 6 = 20$ שקיות ✓

• 7: $7 \times 17 = 119$, שארית 1 ✗

• 8: $120 : 8 = 15$ שקיות ✓

• 9: סכום הספרות של 120 הוא 3, לא מתחלק ב־9 ✗

• 10: $120 : 10 = 12$ שקיות ✓

• 11: $11 \times 10 = 110$, שארית 10 ✗

• 12: $120 : 12 = 10$ שקיות ✓

• 13: $13 \times 9 = 117$, שארית 3 ✗

• 14: $14 \times 8 = 112$, שארית 8 ✗

• 15: $120 : 15 = 8$ שקיות ✓

• 16: $16 \times 7 = 112$, שארית 8 ✗

• 17: $17 \times 7 = 119$, שארית 1 ✗

• 18: $18 \times 6 = 108$, שארית 12 ✗

• 19: $19 \times 6 = 114$, שארית 6 ✗

יש בדיוק 5 אפשרויות: 6, 8, 10, 12, 15. מספיק לכתוב שתיים מהן.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): 10 לחמניות בשקית (12 שקיות), או 12 לחמניות בשקית (10 שקיות).

התשובה: 15 סמ"ר.

שטח מקבילית = צלע × הגובה לצלע הזאת.

הצלע AB אופקית, ואורכה 5 משבצות, כלומר 5 ס"מ.

הגובה לצלע AB הוא המרחק בין הקו של AB לקו של DC: 3 משבצות, כלומר 3 ס"מ.

$5 \times 3 = 15$ סמ"ר.

טעות נפוצה: לכפול את AB באורך הצלע המשופעת AD. הצלע המשופעת ארוכה יותר מהגובה, והיא איננה הגובה.

התשובה הנכונה: 12 סמ"ר.

שטח משולש = (צלע × הגובה לצלע הזאת) : 2.

הצלע EF אופקית, ואורכה 6 ס"מ (6 משבצות).

הגובה מהקודקוד G אל הצלע EF הוא 4 ס"מ (4 משבצות למעלה מהקו של EF).

$6 \times 4 = 24$, ו־$24 : 2 = 12$ סמ"ר.

למה לא 24 סמ"ר? שכחו לחלק ב־2. 24 הוא השטח של מלבן של 6 על 4, והמשולש הוא רק חצי ממנו.

למה לא 10 סמ"ר? חיברו את הצלע ואת הגובה ($6 + 4 = 10$) במקום לכפול.

למה לא 20 סמ"ר? חישבו $(6 + 4) \times 2 = 20$ – זה היקף של מלבן 6 על 4, לא שטח.

התשובה: יש הרבה תשובות נכונות. לדוגמה:

שטח המקבילית הוא 15 סמ"ר (סעיף א). צריך משולש ששטחו 15 סמ"ר.

שטח משולש = (צלע × גובה) : 2, ולכן צריך: צלע × גובה = $15 \times 2 = 30$.

זוגות מתאימים (שנכנסים בשריג): צלע 6 ס"מ וגובה 5 ס"מ ($6 \times 5 = 30$); צלע 5 ס"מ וגובה 6 ס"מ; צלע 10 ס"מ וגובה 3 ס"מ; צלע 15 ס"מ וגובה 2 ס"מ.

נוח לסרטט את הצלע על אחד מקווי השריג האופקיים, ואת הקודקוד השלישי בכל נקודה בשורה שנמצאת בגובה המתאים מעל הצלע.

בסרטוט: משולש עם צלע 6 ס"מ וגובה 5 ס"מ ($6 \times 5 : 2 = 15$), ומשולש ישר־זווית עם ניצבים 5 ס"מ ו־6 ס"מ ($5 \times 6 : 2 = 15$).

טעות נפוצה: לסרטט משולש עם צלע 5 וגובה 3 (כמו המקבילית). שטחו $5 \times 3 : 2 = 7.5$ סמ"ר בלבד – חצי משטח המקבילית.

התשובה: 11.60 ₪.

$2.90 \times 4$: מפרקים – $2 \times 4 = 8$ ו־$0.90 \times 4 = 3.60$.

$8 + 3.60 = 11.60$ ₪.

דרך נוספת: $3 \times 4 = 12$, ובכל בורקס "חסרות" 10 אגורות: $12 - 0.40 = 11.60$ ₪.

התשובה: 2.60 ₪.

מחלקים את מחיר הקופסה ב־6: $15.60 : 6$.

$15.60$ ₪ הם 1,560 אגורות. $1{,}560 : 6$: $6 \times 200 = 1{,}200$, נשארו 360; $6 \times 60 = 360$. יחד $200 + 60 = 260$ אגורות, כלומר 2.60 ₪.

בדיקה: $2.60 \times 6 = 12 + 3.60 = 15.60$ ✓

כלומר בקופסה כל בורקס זול ב־30 אגורות מבורקס בודד ($2.90 - 2.60 = 0.30$).

התשובה: לא. הכי זול לקנות קופסה אחת ועוד 2 בורקס בודדים – 21.40 ₪.

תשובה לדוגמה (ציון מלא):

אפשרות 1 – 8 בורקס בודדים: $2.90 \times 8 = 16 + 7.20 = 23.20$ ₪ (כי $2 \times 8 = 16$ ו־$0.90 \times 8 = 7.20$).

אפשרות 2 – קופסה אחת (6 בורקס) ועוד 2 בודדים: $15.60 + 2 \times 2.90 = 15.60 + 5.80 = 21.40$ ₪.

$21.40 < 23.20$, ולכן מיכל לא צודקת. אפשרות 2 זולה ב־$23.20 - 21.40 = 1.80$ ₪.

הסבר נוסף: בכל אחד מ־6 הבורקס שבקופסה חוסכים 30 אגורות (סעיף ב), כלומר $6 \times 0.30 = 1.80$ ₪.

(אפשר לבדוק גם שתי קופסאות: $15.60 \times 2 = 31.20$ ₪ – יקר יותר, ומקבלים 12 בורקס ולא 8.)