מבחן מיצ"ב לדוגמה 3 במתמטיקה לכיתה ו' - עם פתרונות מלאים

התשובה הנכונה: דניאל, בן, גלי, אביגיל.

המהיר ביותר הוא מי שהזמן שלו הקטן ביותר, ולכן מסדרים את הזמנים מהקטן לגדול.

לכל הזמנים יש 9 שניות שלמות, ולכן משווים את החלק שאחרי הנקודה, ספרה אחר ספרה.

כדי שיהיה קל להשוות, אפשר להשלים אפסים כך שלכל המספרים יהיו 3 ספרות אחרי הנקודה:

אביגיל: $9.600$ ; בן: $9.450$ ; גלי: $9.507$ ; דניאל: $9.060$

משווים את ספרת העשיריות: לדניאל 0, לבן 4, לגלי 5, לאביגיל 6.

ולכן: $9.06 < 9.45 < 9.507 < 9.6$

הסדר מהמהיר לאיטי: דניאל, בן, גלי, אביגיל.

למה לא "אביגיל, דניאל, בן, גלי"? כאן חשבו שמספר עם פחות ספרות אחרי הנקודה הוא קטן יותר ($9.6$ עם ספרה אחת, אחריו $9.06$ ו־$9.45$ עם שתי ספרות, ובסוף $9.507$ עם שלוש). אבל מספר הספרות לא קובע את הגודל: $9.6 = 9.600$, והוא הגדול מכולם.

למה לא "דניאל, בן, אביגיל, גלי"? כאן חשבו ש־$9.507$ גדול מ־$9.6$, כי "507 גדול מ־6" או כי יש לו יותר ספרות. אבל משווים ספרה אחר ספרה, מספרת העשיריות: ל־$9.6$ יש 6 עשיריות, ול־$9.507$ רק 5 עשיריות, ולכן $9.6 > 9.507$.

למה לא "אביגיל, גלי, בן, דניאל"? זה הסדר ההפוך – מהזמן הגדול לקטן. מי שבחר בו חשב שזמן גדול יותר פירושו ריצה מהירה יותר, אבל במרוץ מי שרץ מהר מגיע בזמן קצר יותר.

התשובה הנכונה: $9.5$ שניות.

הזמן של גלי: $9.507$. מעגלים לעשיריות, ולכן מסתכלים על ספרת העשיריות (5) ועל הספרה שאחריה – ספרת המאיות (0).

ספרת המאיות היא 0, והיא קטנה מ־5, ולכן ספרת העשיריות נשארת 5 ומוחקים את כל הספרות שאחריה:

$9.507 \approx 9.5$

בדיקה: $9.507$ נמצא בין $9.5$ ל־$9.6$, והוא קרוב הרבה יותר ל־$9.5$ (ההפרש $0.007$ בלבד).

למה לא $9.51$? זה עיגול למאיות (שתי ספרות אחרי הנקודה), ולא לעשיריות.

למה לא $9.6$? כאן הסתכלו על הספרה 7 (ספרת האלפיות) ועיגלו למעלה. בעיגול לעשיריות מסתכלים רק על ספרת המאיות, וזו 0.

למה לא $10$? זה עיגול למספר שלם, ולא לעשיריות.

התשובה: $\frac{7}{12}$.

כדי לחסר שברים עם מכנים שונים מביאים אותם למכנה משותף.

המכנה המשותף הקטן ביותר של 6 ושל 4 הוא 12 (12 מתחלק גם ב־6 וגם ב־4).

$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$

$\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

את $\frac{7}{12}$ אי אפשר לצמצם (7 הוא מספר ראשוני ו־12 לא מתחלק בו).

טעות נפוצה: לחסר מונה ממונה ומכנה ממכנה: $\frac{5 - 1}{6 - 4} = \frac{4}{2} = 2$ – זה לא נכון, כי מחסרים רק חלקים מאותו גודל.

התשובה: $\frac{1}{2}$.

קודם הופכים את המספר המעורב לשבר: $1\frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

כופלים שברים: מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה:

$\frac{4}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{4 \times 3}{3 \times 8} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

(אפשר גם לצמצם לפני הכפל: 3 עם 3, ו־4 עם 8, ומתקבל $\frac{1}{1} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.)

טעות נפוצה: לכפול רק את השבר ולהשאיר את השלם: $1 + \frac{1}{3} \times \frac{3}{8} = 1 + \frac{1}{8} = 1\frac{1}{8}$. צריך לכפול את כל המספר המעורב.

התשובה: $133^\circ$.

הזוויות $\angle AOC$ ו־$\angle BOC$ יחד יוצרות את הקו הישר AB, ולכן הסכום שלהן $180^\circ$ (זוויות צמודות).

$\angle BOC = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$

בדיקה: $133 + 47 = 180$ ✓. בסרטוט הזווית BOC קהה (גדולה מ־$90^\circ$), וזה מתאים ל־$133^\circ$.

טעות נפוצה: $90^\circ - 47^\circ = 43^\circ$ – כאן חשבו שהזוויות יחד יוצרות זווית ישרה ולא קו ישר.

התשובה הנכונה: $105^\circ$.

סכום כל הזוויות מסביב לנקודה הוא $360^\circ$ (סיבוב שלם).

שלוש הזוויות סביב O הן $150^\circ$, $x$ ו־$x$, ולכן:

שתי הזוויות $x$ יחד: $360^\circ - 150^\circ = 210^\circ$

זווית אחת: $210^\circ : 2 = 105^\circ$

בדיקה: $150 + 105 + 105 = 360$ ✓

למה לא $210^\circ$? זה הגודל של שתי הזוויות יחד – שכחו לחלק ב־2.

למה לא $15^\circ$? כאן חשבו שסכום הזוויות סביב נקודה הוא $180^\circ$: $(180 - 150) : 2 = 15$. אבל $180^\circ$ הוא סכום הזוויות על קו ישר; מסביב לנקודה הסכום הוא $360^\circ$.

למה לא $30^\circ$? חישבו $180 - 150 = 30$: גם השתמשו ב־$180^\circ$ במקום $360^\circ$, וגם לא התחשבו בכך שיש שתי זוויות $x$. בסרטוט רואים שכל זווית $x$ גדולה מזווית ישרה.

התשובה הנכונה: 1.

השכיח הוא הנתון שמופיע הכי הרבה פעמים.

סופרים כמה פעמים מופיע כל מספר שערים:

0 – פעם אחת; 1 – 3 פעמים (משחקים 2, 5, 7); 3 – פעמיים (משחקים 1, 6); 5 – פעם אחת.

הכי הרבה פעמים מופיע 1, ולכן השכיח הוא 1 שער.

למה לא 3? 3 הוא מספר הפעמים שהשכיח מופיע (1 מופיע 3 פעמים), ולא השכיח עצמו. השכיח הוא הנתון – כמה שערים הבקיעו.

למה לא 2? 2 הוא הממוצע של מספר השערים (ראו סעיף ב), ולא השכיח. 2 בכלל לא מופיע בטבלה.

למה לא 5? 5 הוא המספר הגדול ביותר של שערים במשחק, והוא מופיע רק פעם אחת.

התשובה: 2 שערים למשחק.

ממוצע = סכום כל הנתונים : מספר הנתונים.

סכום השערים: $3 + 1 + 0 + 5 + 1 + 3 + 1 = 14$

מספר המשחקים: 7

ממוצע: $14 : 7 = 2$

טעות נפוצה: לחלק ב־6 ולא ב־7, כי "במשחק 3 לא הבקיעו". גם משחק עם 0 שערים הוא משחק, וצריך לספור אותו.

התשובה: 10 שתילים.

רוצים לדעת כמה פעמים $\frac{3}{4}$ ליטר "נכנס" ב־$7\frac{1}{2}$ ליטרים, ולכן מחלקים:

$7\frac{1}{2} : \frac{3}{4}$

דרך 1 – רבעים:

$7\frac{1}{2}$ ליטרים הם $7\frac{2}{4}$ ליטרים. בכל ליטר יש 4 רבעים, ולכן ב־7 ליטרים יש $7 \times 4 = 28$ רבעים, ועוד 2 רבעים – בסך הכול 30 רבעים: $7\frac{1}{2} = \frac{30}{4}$.

כל שתיל מקבל 3 רבעים: $30 : 3 = 10$ שתילים.

דרך 2 – כפל בהופכי:

$7\frac{1}{2} = \frac{15}{2}$, ו־$\frac{15}{2} : \frac{3}{4} = \frac{15}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{60}{6} = 10$

בדיקה: $10 \times \frac{3}{4} = \frac{30}{4} = 7\frac{2}{4} = 7\frac{1}{2}$ ✓

התשובה הנכונה: $3 : \frac{1}{4}$.

שואלים כמה פעמים $\frac{1}{4}$ ק"ג נכנס ב־3 ק"ג – זו שאלה של חילוק לחלקים שווים בגודל ידוע ("כמה פעמים נכנס"), ולכן מחלקים את הכמות הכוללת בגודל של שקית אחת: $3 : \frac{1}{4} = 12$ שקיות (בכל ק"ג יש 4 רבעים, ו־$3 \times 4 = 12$).

למה לא $\frac{1}{4} : 3$? כאן החליפו את סדר המספרים בחילוק. $\frac{1}{4} : 3 = \frac{1}{12}$ – זה מתאים לחלוקה של רבע ק"ג ל־3 חלקים, ולא לשאלה כמה שקיות אפשר למלא.

למה לא $3 \times \frac{1}{4}$? $3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ – זה המשקל של 3 שקיות, ולא מספר השקיות. בחילוק בשבר קטן מ־1 התוצאה גדולה מהמספר שמחלקים, וכאן ברור שיהיו יותר מ־3 שקיות.

למה לא $3 - \frac{1}{4}$? $3 - \frac{1}{4} = 2\frac{3}{4}$ – זה הקומפוסט שנשאר אחרי שממלאים שקית אחת בלבד.

התשובה הנכונה: 16 מיניבוסים.

מחלקים את מספר התלמידים במספר המקומות במיניבוס: $125 : 8$.

$8 \times 15 = 120$, ו־$125 - 120 = 5$, ולכן $125 : 8 = 15$ ושארית 5.

15 מיניבוסים מלאים מסיעים 120 תלמידים, ונשארים עוד 5 תלמידים. גם הם צריכים לנסוע, ולכן צריך מיניבוס נוסף:

$15 + 1 = 16$ מיניבוסים.

למה לא 15? ב־15 מיניבוסים יש מקום רק ל־$15 \times 8 = 120$ תלמידים, ו־5 תלמידים יישארו בלי מקום. התעלמו מהשארית.

למה לא 5? 5 היא השארית – מספר התלמידים שנשארים אחרי שממלאים 15 מיניבוסים, ולא מספר המיניבוסים.

למה לא 15.5? כאן כתבו את השארית 5 כאילו היא חלק עשרוני: "15 ושארית 5" הפך ל־$15.5$. אבל השארית היא 5 תלמידים, ולא 5 עשיריות (ובכלל, $125 : 8$ אינו $15.5$, כי $15.5 \times 8 = 124$). חוץ מזה, אי אפשר להזמין חצי מיניבוס.

התשובה: 17 קבוצות מלאות, ו־6 תלמידים יישארו.

מחלקים: $125 : 7$.

$7 \times 10 = 70$, ונשאר $125 - 70 = 55$.

$7 \times 7 = 49$, ונשאר $55 - 49 = 6$.

בסך הכול: $10 + 7 = 17$ קבוצות, ושארית 6.

כאן השאלה היא על קבוצות מלאות, ולכן לא מוסיפים קבוצה בגלל השארית: 6 התלמידים שנשארו לא מספיקים לקבוצה מלאה של 7.

בדיקה: $17 \times 7 + 6 = 119 + 6 = 125$ ✓

התשובה: 18 ס"מ.

מוצאים על הציר האופקי את המספר 4 (מספר השבועות), עולים ישר למעלה עד הנקודה שעל הקו, ומשם הולכים שמאלה אל הציר האנכי. הנקודה נמצאת בגובה 18.

טעות נפוצה: לקרוא את הנקודה של שבוע 3 (14 ס"מ) או של שבוע 5 (20 ס"מ), כי מתבלבלים בין הקווים של הרשת.

התשובה הנכונה: בין שבוע 2 לשבוע 3.

קוראים מהגרף את הגובה בסוף כל שבוע ומחשבים בכמה השתיל גדל בכל שבוע:

• בין שבוע 0 לשבוע 1: $4 - 2 = 2$ ס"מ

• בין שבוע 1 לשבוע 2: $8 - 4 = 4$ ס"מ

• בין שבוע 2 לשבוע 3: $14 - 8 = 6$ ס"מ

• בין שבוע 3 לשבוע 4: $18 - 14 = 4$ ס"מ

• בין שבוע 4 לשבוע 5: $20 - 18 = 2$ ס"מ

• בין שבוע 5 לשבוע 6: $22 - 20 = 2$ ס"מ

הגידול הגדול ביותר – 6 ס"מ – בין שבוע 2 לשבוע 3. רואים את זה גם בגרף: בקטע הזה הקו הכי תלול.

למה לא "בין שבוע 5 לשבוע 6"? בשבוע 6 השתיל הכי גבוה, אבל בשבוע האחרון הוא גדל רק ב־2 ס"מ. שאלו על הגידול (השינוי), ולא על הגובה.

למה לא "בין שבוע 3 לשבוע 4"? בשבוע הזה השתיל גדל ב־4 ס"מ בלבד. אולי בחרו בו כי המספרים (14 ו־18) גדולים יותר, אבל ההפרש ביניהם קטן מ־6.

למה לא "בין שבוע 0 לשבוע 1"? בשבוע הראשון השתיל גדל רק ב־2 ס"מ – זה מהשבועות שבהם הוא גדל הכי מעט.

התשובה: $\frac{5}{12}$ מהגינה.

דרך 1 – בשברים:

כל הגינה היא שלם אחד: $1 = \frac{12}{12}$. מכנה משותף ל־3 ול־4 הוא 12:

$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

החלק השתול: $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

החלק הריק: $\frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$

דרך 2 – בספירת משבצות:

עגבניות: $\frac{1}{3}$ מ־24 = $24 : 3 = 8$ משבצות. מלפפונים: $\frac{1}{4}$ מ־24 = $24 : 4 = 6$ משבצות.

ריקות: $24 - 8 - 6 = 10$ משבצות, כלומר $\frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ (מצמצמים ב־2).

אפשר לבדוק בסרטוט: יש בו 10 משבצות לבנות.

טעות נפוצה: לחבר $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2}{7}$ (מונה עם מונה ומכנה עם מכנה). זה לא נכון – $\frac{2}{7}$ קטן אפילו מ־$\frac{1}{3}$.

התשובה: צובעים 4 משבצות לבנות (כל 4 משבצות לבנות מתאימות).

$\frac{1}{6}$ מכל הגינה (מ־24 משבצות): $24 : 6 = 4$ משבצות.

שימו לב: לוקחים $\frac{1}{6}$ מכל הגינה (24 משבצות), ולא מהחלק הריק (10 משבצות).

דוגמה לסרטוט נכון:

התשובה: 25%.

לפני הפלפלים היו 10 משבצות ריקות. שותלים פלפלים ב־4 מהן, ונשארות $10 - 4 = 6$ משבצות ריקות.

$\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ (מצמצמים ב־6).

$\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 25\%$

דרך נוספת בשברים: $\frac{5}{12} - \frac{1}{6} = \frac{5}{12} - \frac{2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 25\%$.

התשובה: לא, עומרי לא צודק.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): לא. מרובע שכל הצלעות שלו שוות הוא מעוין. בריבוע צריך גם שכל הזוויות יהיו ישרות, ובמעוין הזוויות לא חייבות להיות ישרות. למשל, מעוין "מוטה" שיש לו שתי זוויות חדות ושתי זוויות קהות – כל הצלעות שלו שוות, אבל הוא לא ריבוע.

הסבר: ריבוע הוא מעוין מיוחד – מעוין שכל הזוויות שלו ישרות. לכן כל ריבוע הוא מעוין, אבל לא כל מעוין הוא ריבוע. כדי להראות שטענה "תמיד נכונה" שגויה, מספיקה דוגמה נגדית אחת – כמו המעוין שבסעיף ב.

יש הרבה תשובות נכונות. דוגמה (ציון מלא):

במרובע KLMN כל צלע "עוברת" 3 משבצות לרוחב ו־2 משבצות לגובה (מ־K ל־L: 3 ימינה ו־2 למעלה; מ־L ל־M: 3 ימינה ו־2 למטה; וכך גם שתי הצלעות האחרות). לכן כל הצלעות שוות באורכן – זה מעוין.

הזוויות שלו אינן ישרות: ליד K ו־M יש זוויות חדות, וליד L ו־N זוויות קהות. לכן הוא אינו ריבוע.

איך מסרטטים מעוין כזה בקלות? מסרטטים שני קטעים שחוצים זה את זה באמצע ומאונכים זה לזה – אחד אופקי (כאן KM, באורך 6 משבצות) ואחד אנכי (כאן LN, באורך 4 משבצות), ובאורכים שונים. מחברים את ארבעת הקצוות – ומתקבל מעוין שאינו ריבוע. (אם שני הקטעים באותו אורך, מתקבל ריבוע.)

התשובה: 78 מ"ר.

שלב 1 – שטח כל הגינה (מלבן): אורך × רוחב:

$12 \times 7 = 84$ מ"ר

שלב 2 – שטח הערוגה (משולש ישר־זווית): במשולש ישר־זווית ניצב אחד הוא הגובה לניצב השני, ולכן:

$\frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ מ"ר

(המשולש הוא חצי ממלבן של 4 מ' על 3 מ'.)

שלב 3 – שטח הדשא = שטח הגינה פחות שטח הערוגה:

$84 - 6 = 78$ מ"ר

טעות נפוצה: לחשב את שטח המשולש בלי לחלק ב־2 ($4 \times 3 = 12$), ולקבל $84 - 12 = 72$ מ"ר.

התשובה הנכונה: 570 ₪.

הגדר הולכת מסביב לגינה, ולכן צריך את ההיקף של המלבן (ולא את השטח):

$12 + 7 + 12 + 7 = 38$ מטר

המחיר: $38 \times 15$. מפרקים: $38 \times 10 = 380$, $38 \times 5 = 190$, ויחד $380 + 190 = 570$ ₪.

למה לא 285 ₪? $19 \times 15 = 285$ – כאן חיברו רק שתי צלעות ($12 + 7 = 19$), כלומר גידרו רק חצי מהגינה.

למה לא 1,260 ₪? $84 \times 15 = 1{,}260$ – כאן השתמשו בשטח הגינה (84 מ"ר) במקום בהיקף. גדר נמדדת במטרים (אורך), ולא במ"ר.

למה לא 1,170 ₪? $78 \times 15 = 1{,}170$ – כאן השתמשו בשטח הדשא מסעיף א. גם זה שטח, ולא אורך הגדר.

התשובה: 540 ₪.

קודם מוצאים $\frac{1}{20}$ מ־3,600: $3{,}600 : 20 = 360 : 2 = 180$ ₪.

$\frac{3}{20}$ הם פי 3: $3 \times 180 = 540$ ₪.

התשובה הנכונה: 55%.

כל התקציב הוא 100%.

$\frac{3}{20} = \frac{3 \times 5}{20 \times 5} = \frac{15}{100} = 15\%$.

מדליות וכיבוד יחד: $15\% + 30\% = 45\%$.

לציוד נשאר: $100\% - 45\% = 55\%$.

למה לא 45%? 45% הוא החלק של המדליות והכיבוד יחד, ולא מה שנשאר לציוד.

למה לא 50%? כאן חשבו ש־$\frac{3}{20}$ הוא 20% (לקחו את המכנה כאחוז), וחישבו $100 - 20 - 30 = 50$. אבל $\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 15\%$.

למה לא 70%? $100 - 30 = 70$ – כאן הורידו רק את הכיבוד ושכחו את המדליות.

התשובה: 1,980 ₪.

דרך 1 – אחוז מכמות: לציוד הוקצו 55% מ־3,600.

50% הם חצי: $3{,}600 : 2 = 1{,}800$.

10% מ־3,600 הם $3{,}600 : 10 = 360$, ולכן 5% הם $360 : 2 = 180$.

55% = 50% + 5%: $1{,}800 + 180 = 1{,}980$ ₪.

דרך 2 – מה שנשאר: לכיבוד הוקצו 30% מ־3,600: $3 \times 360 = 1{,}080$ ₪. למדליות 540 ₪ (סעיף א).

לציוד: $3{,}600 - 540 - 1{,}080 = 3{,}060 - 1{,}080 = 1{,}980$ ₪.

בדיקה: $540 + 1{,}080 + 1{,}980 = 3{,}600$ ✓

התשובה: לא, רון לא צודק. בשתי השנים הכיבוד מקבל אותו סכום: 1,080 ₪.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): לא. האחוזים הם מתוך תקציבים שונים, ולכן אי אפשר להשוות רק את האחוזים.

השנה: 30% מ־3,600: $10\% = 360$, ולכן $30\% = 3 \times 360 = 1{,}080$ ₪.

בשנה הבאה: 27% מ־4,000: $1\% = 40$, ולכן $27\% = 27 \times 40 = 1{,}080$ ₪.

הסכומים שווים, ולכן הכיבוד לא יקבל פחות כסף.

הסבר: אחוז קטן יותר מתקציב גדול יותר יכול לתת סכום שווה ואפילו גדול יותר. כדי להשוות סכומי כסף צריך לחשב אותם, ולא להשוות רק את האחוזים.