מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ה' (נוסח 2011) – תרגול לקראת מבחן התנופה בכיתה ו'

התשובה: 24,000 מדבקות.

בכל גליל 400 מדבקות, ויש 60 גלילים, ולכן כופלים: $400\times60$.

כופלים קודם את הספרות שאינן אפס: $4\times6=24$.

ב-400 יש שני אפסים וב-60 יש אפס אחד, כלומר שלושה אפסים בסך הכול. מוסיפים אותם ל-24:

$400\times60=24{,}000$.

התשובה: 12 עפרונות.

$\frac{1}{5}$ פירושו שמחלקים את כל העפרונות ל-5 קבוצות שוות ולוקחים קבוצה אחת.

$60:5=12$.

לכן בקופסה 12 עפרונות ירוקים.

התשובה: $\frac{5}{8}$.

כותבים את 1 כשבר עם מכנה 8: $1=\frac{8}{8}$.

$\frac{8}{8}-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$.

התשובה: 265.50 שקלים.

שני כובעים: $60\times2=120$ שקלים.

מוסיפים את הנעליים: $145.50+120=265.50$ שקלים.

(אפשר לכתוב גם $265\frac{1}{2}$ שקלים, או 265 שקלים ו-50 אגורות.)

שימו לב: נועה קנתה שני כובעים, ולכן מי שמחבר רק $145.50+60=205.50$ שוכח כובע אחד.

התשובה הנכונה: סרטוט א.

אלכסון הוא קטע שמחבר שני קדקודים של המרובע שאינם שכנים (קדקודים "ממול").

בסרטוט א יש שני קטעים, וכל אחד מהם מחבר קדקוד עליון עם הקדקוד התחתון שבצד השני. אלה שני האלכסונים.

למה לא סרטוט ב? קטע אחד הוא אלכסון, אבל הקטע השני יוצא מקדקוד ומגיע לנקודה על הבסיס התחתון שאינה קדקוד. לכן הוא אינו אלכסון.

למה לא סרטוט ג? הקווים המודגשים הם שתי השוקיים, כלומר צלעות של הטרפז, ולא אלכסונים.

למה לא סרטוט ד? יש בו אלכסון אחד, והקטע השני מקביל לו ומחבר שתי נקודות על הצלעות, לא שני קדקודים.

הקטע המודגש יורד באלכסון של המשבצות: בכל משבצת שזזים ימינה, הוא יורד משבצת אחת.

קטע מאונך לו צריך לעלות באלכסון של המשבצות: בכל משבצת שזזים ימינה, הוא עולה משבצת אחת.

כך שני הקטעים חוצים כל משבצת באלכסונים שלה, והאלכסונים של ריבוע מאונכים זה לזה.

דוגמה (באדום):

הקטע האדום חוצה את הקטע המודגש, והזווית ביניהם ישרה ($90^\circ$). אפשר לסרטט את הקטע גם במקום אחר, וגם בלי שיגע בקטע המודגש, אם ההמשך שלו יוצר איתו זווית ישרה.

התשובה הנכונה: סרטוט ב.

במלבן כל שתי צלעות שכנות נפגשות בקדקוד ויוצרות זווית ישרה ($90^\circ$).

בסרטוט ב שתי הצלעות נפגשות בנקודה אחת, והזווית ביניהן ישרה, כמו פינה של דף (אפשר לבדוק עם פינה של דף או עם משולש). הסרטוט רק "מסובב" קצת, ולכן קשה יותר לזהות את הזווית הישרה. מוסיפים צלע מקבילה לכל אחת מהן ומקבלים מלבן (מסובב).

למה לא סרטוט א? הצלעות נפגשות, אבל הזווית ביניהן חדה (קטנה מזווית ישרה).

למה לא סרטוט ג? הצלעות נפגשות, אבל הזווית ביניהן קהה (גדולה מזווית ישרה).

למה לא סרטוט ד? שתי הצלעות לא נפגשות בכלל, ובמרובע צלעות שכנות חייבות להיפגש בקדקוד. גם אם נמשיך אותן, הן לא ייצרו זווית ישרה.

התשובה הנכונה: 100 סנטימטרים.

המילה "סנטי" פירושה "חלק מאה": סנטימטר אחד הוא חלק אחד ממאה חלקים שווים של מטר. לכן במטר יש 100 סנטימטרים (כמו שבשקל יש 100 אגורות).

למה לא 10 סנטימטרים? 10 סנטימטרים הם דצימטר אחד, ובמטר יש 10 דצימטרים.

למה לא 1,000 סנטימטרים? 1,000 הוא מספר המילימטרים במטר (או המטרים בקילומטר).

למה לא 10,000 סנטימטרים? זה 100 מטרים, הרבה יותר ממטר אחד.

התשובה: 4.

מחפשים מספר שאם מחלקים בו את 96 מקבלים 24.

זה אותו דבר כמו לשאול: כמה פעמים 24 נכנס ב-96?

$24\times4=96$, ולכן $96:4=24$.

התשובה: 40.

לפי סדר הפעולות, קודם כופלים ואחר כך מחסרים.

כדי שהתוצאה תהיה 0, מה שמחסרים מ-160 צריך להיות בדיוק 160.

לכן $4\times$ ___ $=160$, והמספר החסר הוא $160:4=40$.

בדיקה: $160-4\times40=160-160=0$ ✓

(מי שמחסר קודם, $160-4=156$, טועה בסדר הפעולות.)

התשובה: 2, 3, 5.

מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו (למשל 2, 3, 5, 7).

מפרקים את 30:

$30=2\times15$

$15=3\times5$

לכן $30=2\times3\times5$, והגורמים הראשוניים הם 2, 3 ו-5.

שימו לב: 6, 10 ו-15 מחלקים את 30, אבל הם אינם ראשוניים, ולכן לא כותבים אותם.

התשובה: 19 אופניים.

שלב 1: כמה אופניים אפשר לחבר לכל המתקנים יחד? $6\times18=108$.

שלב 2: כבר מחוברים 89, ולכן אפשר להוסיף: $108-89=19$.

התשובה: 8 בלונים צהובים.

שלב 1: כמה בלונים יש בכל צרור? $84:7=12$.

שלב 2: 4 מהם כחולים, ולכן הצהובים: $12-4=8$.

בדיקה: ב-7 צרורות יש $7\times4=28$ כחולים ו-$7\times8=56$ צהובים, ו-$28+56=84$ ✓

התשובה הנכונה: בחנות של נעמה.

דרך 1: מחשבים את המחיר של 60 מחקים בכל חנות.

• אצל רונית: ב-60 יש $60:4=15$ קבוצות של 4 מחקים. $15\times5=75$ ש"ח.

• אצל נעמה: ב-60 יש $60:6=10$ קבוצות של 6 מחקים. $10\times7=70$ ש"ח.

70 ש"ח פחות מ-75 ש"ח, ולכן זול יותר לקנות אצל נעמה.

דרך 2: משווים את המחיר של אותה כמות קטנה, 12 מחקים, בשתי החנויות: אצל רונית $3\times5=15$ ש"ח, ואצל נעמה $2\times7=14$ ש"ח.

דרך 3: בודקים כמה מחקים מקבלים באותו סכום, 35 ש"ח: אצל רונית 7 קבוצות של 4, כלומר 28 מחקים, ואצל נעמה 5 קבוצות של 6, כלומר 30 מחקים.

למה לא בחנות של רונית? אצל רונית קונים קבוצה קטנה יותר במחיר נמוך יותר (5 ש"ח לעומת 7 ש"ח), ולכן היא נראית זולה. אבל צריך להשוות מחיר של אותה כמות מחקים, ואז רואים שאצל רונית משלמים יותר.

התשובה: 4.

כדי לחשב ממוצע, מחברים את כל הנתונים ומחלקים במספר הנתונים.

מספר הילדים בכל המשפחות: $6+2+5+3=16$.

יש 4 משפחות: $16:4=4$.

לכן יש בממוצע 4 ילדים למשפחה.

התשובה: פי 300.

קודם עוברים לאותה יחידת מידה: בקילוגרם אחד יש 1,000 גרם, ולכן $6$ ק"ג $=6{,}000$ גרם.

עכשיו בודקים כמה פעמים 20 נכנס ב-6,000:

$6{,}000:20=600:2=300$.

בדיקה: $20\times300=6{,}000$ ✓

(מי שעונה "פי 3" או "פי $\frac{6}{20}$" לא המיר קילוגרמים לגרמים.)

התשובה הנכונה: סרטוט א.

משולש שווה-שוקיים הוא משולש שיש בו שתי צלעות שוות.

בסרטוט א (דלתון) נסרטט את האלכסון האנכי, שמחבר את הקדקוד העליון עם הקדקוד התחתון.

• במשולש השמאלי, שתי הצלעות שיוצאות מהקדקוד השמאלי עולות ויורדות באותו אופן (משבצת אחת הצידה ו-2 משבצות למעלה או למטה), ולכן הן שוות.

• במשולש הימני, שתי הצלעות שיוצאות מהקדקוד הימני זזות 3 משבצות הצידה ו-2 משבצות למעלה או למטה, ולכן גם הן שוות.

לכן שני המשולשים שווי-שוקיים.

למה לא סרטוט ג? זה מלבן שאינו ריבוע. כל אלכסון מחלק אותו לשני משולשים ישרי-זווית שהצלעות שלהם 3, 7 והאלכסון, כלומר כל הצלעות שונות.

למה לא סרטוט ד? בטרפז הזה כל אחד משני האלכסונים יוצר משולשים שכל הצלעות שלהם באורכים שונים.

למה לא סרטוט ב? במקבילית הזאת (שאינה מעוין) הצלעות באורכים שונים, וגם האלכסונים יוצרים משולשים שאין בהם שתי צלעות שוות.

קודם מוצאים את שטח המקבילית.

הבסיס התחתון של המקבילית ארוך 3 משבצות, והגובה שלה (המרחק בין הבסיס התחתון לבסיס העליון) הוא 4 משבצות.

שטח מקבילית = בסיס × גובה: $3\times4=12$ משבצות.

(אפשר גם לחתוך את המשולש מצד אחד ולהעביר אותו לצד השני: מקבלים מלבן $3\times4$.)

עכשיו מסרטטים מלבן ששטחו 12 משבצות, למשל מלבן שאורכו 3 משבצות ורוחבו 4 משבצות:

גם מלבן $2\times6$ או $1\times12$ מתאים.

התשובה: 8 ס"מ.

היקף המשולש הוא סכום אורכי שלוש הצלעות: $8+11+13=32$ ס"מ.

לריבוע אותו היקף, 32 ס"מ. בריבוע 4 צלעות שוות, ולכן אורך צלע אחת: $32:4=8$ ס"מ.

יש כמה פתרונות. שתי דוגמאות (באדום):

דוגמה 1: שני קטעים מקבילים, כל אחד יוצא מפינה של המלבן. בכל צד נחתך משולש ישר-זווית (הזווית הישרה שלו היא פינה של המלבן), והחלק שבאמצע הוא מקבילית: יש לו שני זוגות של צלעות מקבילות.

דוגמה 2: קטע אנכי שחותך את המלבן לפס צר ולמלבן גדול. המלבן הגדול הוא מקבילית (כל מלבן הוא מקבילית). אחר כך מסרטטים אלכסון בפס הצר, והוא מחלק אותו לשני משולשים ישרי-זווית.

גם תמונת ראי של הסרטוטים האלה (הפוכה מימין לשמאל או מלמעלה למטה) נכונה, וכך גם קטעים שמחברים את הצלע השמאלית לצלע הימנית בדרך דומה.

התשובה: 6.

$\frac{1}{6}\times6$ פירושו 6 פעמים $\frac{1}{6}$: $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1$.

התשובה: פי 8.

בודקים כמה רבעים יש ב-2.

בשלם אחד יש 4 רבעים, ולכן ב-2 שלמים יש $2\times4=8$ רבעים.

כלומר $8\times\frac{1}{4}=2$, ולכן 2 גדול פי 8 מ-$\frac{1}{4}$.

התשובה: $\frac{1}{8}$ מהפיצה (שמינית).

אחרי שיואב אכל חצי, נשאר חצי פיצה.

מחלקים את החצי ל-4 חלקים שווים. אם מחלקים כל חצי של הפיצה ל-4, הפיצה השלמה מתחלקת ל-$2\times4=8$ חלקים שווים.

לכן כל חבר קיבל חלק אחד מתוך 8: $\frac{1}{8}$.

(שימו לב: $\frac{1}{4}$ הוא חלק מחצי הפיצה, ולא מהפיצה השלמה.)

התשובה: 4 צעדים.

מחברים צעד אחרי צעד:

צעד 1: $\frac{3}{4}$ מטר. צעד 2: $\frac{6}{4}=1\frac{2}{4}$ מטר. צעד 3: $\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$ מטר. צעד 4: $\frac{12}{4}=3$ מטרים.

דרך אחרת: 3 מטרים הם $\frac{12}{4}$ מטר, ובכל צעד עוברים $\frac{3}{4}$. $12:3=4$ צעדים.

התשובה הנכונה: 6.9.

0.1 היא עשירית אחת. ב-7 שלמים יש 70 עשיריות. מורידים עשירית אחת ונשארות 69 עשיריות, כלומר 6.9.

בדיקה: $6.9+0.1=7$ ✓

למה לא 6? זה קטן ב-1 מ-7, ולא ב-0.1.

למה לא 6.99? זה קטן ב-0.01 (מאית אחת) מ-7.

למה לא 6.999? זה קטן ב-0.001 (אלפית אחת) מ-7. מי שבוחר בו מחסר אלפית אחת במקום עשירית אחת (מבלבל בין המקומות שאחרי הנקודה).

התשובה הנכונה: $4+\frac{7}{100}$.

ב-4.07 הספרה 4 נמצאת במקום השלמים, הספרה 0 במקום העשיריות והספרה 7 במקום המאיות.

לכן $4.07=4+\frac{0}{10}+\frac{7}{100}=4+\frac{7}{100}$.

למה לא $\frac{4}{100}+\frac{0}{100}+\frac{7}{100}$? כאן גם 4 נכתב כמאיות, אבל 4 הוא 4 שלמים. הסכום הזה הוא רק $\frac{11}{100}$.

למה לא $\frac{4}{10}+\frac{7}{10}$? כאן 4 נכתב כעשיריות ו-7 כעשיריות, אבל 4 הם שלמים ו-7 הן מאיות. הסכום הוא $\frac{11}{10}=1.1$.

למה לא $\frac{400}{100}+\frac{0}{100}+7$? $\frac{400}{100}$ הם אכן 4 שלמים, אבל 7 נכתב כ-7 שלמים במקום 7 מאיות. הסכום הוא 11.

התשובה: 0.75.

מחשבים את הצד השמאלי: $3.45+1.30=4.75$.

$4.75=4+0.75$, ולכן המספר החסר הוא 0.75.

התשובה: לא.

נימוק 1 (חישוב): 15 עמודים הם $\frac{1}{5}$ מהספר של עומר, ולכן בספר שלו $5\times15=75$ עמודים. 15 עמודים הם $\frac{1}{6}$ מהספר של איתי, ולכן בספר שלו $6\times15=90$ עמודים. $75\ne90$.

נימוק 2 (בלי חישוב): אותם 15 עמודים הם חלק אחר בכל ספר. $\frac{1}{5}$ גדול מ-$\frac{1}{6}$, ואם אותה כמות היא חלק גדול יותר מספר אחד, הספר הזה קטן יותר. לכן בספרים יש מספר שונה של עמודים.