מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ה' (נוסח 2018) – תרגול לקראת מבחן התנופה בכיתה ו'

התשובה: מקיפים 5 בלונים (כל 5 בלונים שהם).

סופרים את הבלונים: יש 4 שורות, ובכל שורה 5 בלונים. $4\times5=20$ בלונים.

$\frac{1}{4}$ פירושו: מחלקים את כל הבלונים ל-4 חלקים שווים ולוקחים חלק אחד.

$20:4=5$

לכן מקיפים 5 בלונים. אפשר, למשל, להקיף שורה אחת שלמה, כי בכל שורה יש בדיוק 5 בלונים.

התשובה הנכונה: סרטוט 4.

גודל של זווית הוא כמה "פתוחות" השוקיים זו מזו, ולא כמה הן ארוכות.

בסרטוט 4 השוקיים כמעט צמודות זו לזו: זו זווית חדה וצרה מאוד.

בסרטוט 2 יש זווית ישרה (כמו פינה של דף), ובסרטוטים 1 ו-3 יש זוויות קהות (גדולות מזווית ישרה).

לכן הזווית הקטנה ביותר היא בסרטוט 4.

למה לא סרטוט 2? זו זווית ישרה, והיא גדולה מהזווית החדה שבסרטוט 4. אולי היא נראית קטנה כי השוקיים שלה קצרות, אבל אורך השוקיים לא משנה את גודל הזווית.

למה לא סרטוט 1? זו זווית קהה, גדולה מזווית ישרה. השוקיים שלה קצרות, ולכן היא עלולה להיראות "קטנה".

למה לא סרטוט 3? זו הזווית הפתוחה ביותר מבין הארבע (קהה מאוד), כלומר הגדולה ביותר.

התשובה הנכונה: שתי זוויות חדות.

סכום הזוויות בכל משולש הוא 180 מעלות.

זווית ישרה היא 90 מעלות, וזווית קהה גדולה מ-90 מעלות.

אם היו במשולש שתי זוויות שאינן חדות (ישרות או קהות), הן לבדן היו גדולות מ-180 מעלות או שוות ל-180 מעלות, ולא היה נשאר מקום לזווית השלישית.

לכן במשולש יכולה להיות לכל היותר זווית אחת שאינה חדה, ושתי הזוויות האחרות חייבות להיות חדות.

למשל: במשולש עם זווית קהה של 120 מעלות, שתי הזוויות האחרות יחד הן $180-120=60$ מעלות, ולכן שתיהן חדות.

למה לא "זווית חדה אחת"? אז היו במשולש שתי זוויות ישרות או קהות, וסכומן לבד כבר 180 מעלות או יותר. זה לא ייתכן.

למה לא "שלוש זוויות חדות"? יש משולשים שבהם שלוש הזוויות חדות, אבל לא בכל משולש: במשולש ישר-זווית או במשולש קהה-זווית יש רק שתי זוויות חדות.

למה לא "אין צורך שתהיה במשולש זווית חדה"? אז כל שלוש הזוויות היו 90 מעלות או יותר, וסכומן היה לפחות 270 מעלות, הרבה יותר מ-180.

60 מאות הן $60\times100=6{,}000$.

מוסיפים: $2{,}604+6{,}000=8{,}604$

שימו לב: 60 מאות הם 6 אלפים, ולכן רק ספרת האלפים משתנה: מ-2 ל-8.

טעות נפוצה: להוסיף 60 (ולקבל 2,664) או 600 (ולקבל 3,204).

מכפילים פי 3 כל חלק של הגיל:

שנים: $3\times3=9$ שנים

חודשים: $4\times3=12$ חודשים

קיבלנו 9 שנים ו-12 חודשים.

12 חודשים הם שנה אחת, ולכן: $9+1=10$ שנים.

מיכל בת 10.

57 קטן מ-60 ב-3: $60-3=57$.

לכן $57\times13$ הוא 60 פעמים 13, פחות 3 פעמים 13:

$57\times13=60\times13-3\times13$

המספר החסר הוא 3.

בדיקה: $60\times13=780$, $3\times13=39$, $780-39=741$, וגם $57\times13=741$ ✓

התשובה הנכונה: $240+240:4$.

לעומר יש יותר גולות: פי 4 מעידו. לכן לעידו יש פחות, ומוצאים את מספר הגולות שלו בחילוק:

$240:4=60$ גולות לעידו.

שני הילדים יחד: הגולות של עומר ועוד הגולות של עידו:

$240+240:4=240+60=300$ גולות.

למה לא $240+240\times4$? כאן כפלו ב-4, כאילו לעידו יש יותר גולות מלעומר. אבל לפי הסיפור לעומר יש פי 4 יותר, ולכן לעידו יש פחות.

למה לא $(240+240):4$? הסוגריים גורמים לחבר קודם $240+240$ ורק אז לחלק ב-4. התוצאה (120) קטנה אפילו ממספר הגולות של עומר לבד.

למה לא $240:4$? זה רק מספר הגולות של עידו. השאלה שואלת על שני הילדים יחד.

מחלקים במספרים ראשוניים, מהקטן אל הגדול:

$42:2=21$

$21:3=7$

7 הוא מספר ראשוני, ולכן עוצרים.

$42=2\times3\times7$

בדיקה: $2\times3=6$, $6\times7=42$ ✓

שימו לב: 1 אינו מספר ראשוני, ולכן לא כותבים אותו בפירוק.

התשובה: בשעה 21:00 (9 בערב).

שלב 1: השעות עד 19:00.

מ-15:00 עד 19:00 עברו 4 שעות. על כל אחת מהן קיבלה 40 ש"ח:

$4\times40=160$ ש"ח

שלב 2: כמה כסף קיבלה אחרי 19:00?

$230-160=70$ ש"ח

שלב 3: כמה שעות עבדה אחרי 19:00?

על כל שעה כזאת קיבלה 35 ש"ח: $70:35=2$ שעות.

שלב 4: מתי סיימה?

$19:00$ ועוד 2 שעות $=21:00$.

בדיקה: $4\times40+2\times35=160+70=230$ ✓

שימו לב: השאלה שואלת באיזו שעה סיימה, ולא כמה שעות עבדה (בסך הכול עבדה $4+2=6$ שעות).

מה הבודק מחפש: חישוב התשלום על השעות עד 19:00, חישוב הסכום שנשאר, מספר השעות אחרי 19:00, ושעת הסיום.

מחפשים תוצאה זוגית שגדולה מ-10. המספר הזוגי הראשון שגדול מ-10 הוא 12.

כדי שהתוצאה תהיה 12, המספר שבתוך הסוגריים צריך להיות $12\times4=48$.

$11+?=48$, ולכן המספר החסר הוא $48-11=37$.

בדיקה: $(11+37):4=48:4=12$, ו-12 הוא מספר זוגי שגדול מ-10 ✓

יש עוד תשובות נכונות: לתוצאה 14 מתאים $14\times4-11=45$, לתוצאה 16 מתאים 53, לתוצאה 18 מתאים 61, וכן הלאה (כל פעם 8 יותר).

שימו לב: 29 אינו נכון, כי $(11+29):4=10$, ו-10 אינו גדול מ-10.

התשובה הנכונה: 40 תלמידים.

הכדורגל תופס חצי עיגול, ולכן חצי מהתלמידים בחרו בכדורגל: $120:2=60$ תלמידים.

נשארו $120-60=60$ תלמידים, שבחרו בכדורסל או בכדורעף.

בדיאגרמה החלק של הכדורסל גדול יותר מהחלק של הכדורעף. לכן יותר ממחצית ה-60 בחרו בכדורסל, כלומר יותר מ-30, אבל פחות מ-60.

מבין התשובות, רק 40 נמצא בין 30 ל-60.

(ואז בכדורעף בחרו $60-40=20$ תלמידים, פחות מבכדורסל, כמו בדיאגרמה.)

למה לא 60 תלמידים? 60 הם חצי מהתלמידים, וזה החלק של הכדורגל. החלק של הכדורסל קטן מחצי עיגול.

למה לא 30 תלמידים? 30 הם חצי מ-60. אז לכדורסל ולכדורעף היו חלקים שווים בעיגול, אבל בדיאגרמה החלק של הכדורסל גדול יותר.

למה לא 20 תלמידים? אז בכדורעף היו בוחרים $60-20=40$, יותר מבכדורסל. זה מתאים לחלק הקטן, של הכדורעף, ולא לחלק של הכדורסל.

התשובה: 42 ציפורים.

$\frac{1}{3}$ פירושו: אם מחלקים את כל הציפורים ל-3 קבוצות שוות, התוכים הם קבוצה אחת.

בכל קבוצה יש 14 ציפורים, ויש 3 קבוצות:

$14\times3=42$ ציפורים.

בדיקה: $\frac{1}{3}$ מ-42 הוא $42:3=14$ ✓

אפשר גם לצייר: 3 מלבנים שווים, באחד כתוב 14, ולכן גם בכל אחד מהאחרים 14: $14+14+14=42$.

מה הבודק מחפש: תשובה 42, ודרך פתרון (באיור, במילים או בתרגיל) שיש בה כפל של 14 ב-3.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "רבע מ-15 הוא $15:4=3\frac{3}{4}$. זה לא מספר שלם, ולא ייתכן שבחווה יהיו שלושה סוסים ועוד שלושה רבעים של סוס. לכן נועה טועה."

הסבר: כדי למצוא $\frac{1}{4}$ מכמות, מחלקים אותה ל-4 חלקים שווים.

15 לא מתחלק ב-4 בלי שארית: $4\times3=12$ ו-$4\times4=16$, ו-15 נמצא ביניהם.

לכן רבע מ-15 אינו מספר שלם, ומספר הסוסים חייב להיות מספר שלם.

מה הבודק מחפש: הסבר שאומר שלא ייתכן שיהיה חלק של סוס (לא שלם), או שתוצאת החילוק $15:4$ (רבע מ-15) אינה מספר שלם.

במקבילית הצלעות שמול זו לזו שוות.

הצלע הימנית היא 11 ס"מ, ולכן גם הצלע השמאלית (שמולה) היא 11 ס"מ.

שתי הצלעות האלה יחד: $11+11=22$ ס"מ.

מה שנשאר מההיקף הוא לשתי הצלעות האחרות (למעלה ולמטה): $58-22=36$ ס"מ.

הן שוות זו לזו, ולכן כל אחת מהן: $36:2=18$ ס"מ.

בדיקה: $11+18+11+18=58$ ✓

התשובה: שטח מרובע א שווה לשטח מרובע ב.

מרובע ב הוא מלבן: אורכו 4 משבצות וגובהו 3 משבצות. השטח שלו $4\times3=12$ משבצות.

מרובע א הוא מקבילית. הצלע התחתונה שלה (הבסיס) היא 4 משבצות, והגובה שלה (המרחק בין הצלע התחתונה לצלע העליונה) הוא 3 משבצות, בדיוק כמו במלבן.

אם "חותכים" את המשולש מהצד השמאלי של המקבילית ומעבירים אותו לצד הימני, מקבלים מלבן של $4\times3$, ולכן גם שטח המקבילית הוא 12 משבצות.

שימו לב: המקבילית נראית "ארוכה" יותר כי היא משופעת, אבל השטח שלה לא תלוי בשיפוע, רק בבסיס ובגובה.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "שווה. לשני המרובעים יש בסיס של 4 משבצות וגובה של 3 משבצות. אם מעבירים את המשולש שבצד אחד של מרובע א לצד השני, מקבלים מלבן כמו מרובע ב."

מה הבודק מחפש: "שווה ל" והסבר שהבסיס והגובה שווים, או חישוב של שני השטחים (12), או הסבר בעזרת הסרטוט (העברת משולש).

התשובה הנכונה: סרטוט 1.

גובה במשולש הוא קטע שיוצא מקודקוד ומגיע אל הצלע שמולו (או אל ההמשך שלה) ומאונך לה (יוצר איתה זווית ישרה).

בסרטוט 1 הקטע המודגש יוצא מהקודקוד העליון, יורד ישר למטה, ופוגש בזווית ישרה את ההמשך של הצלע התחתונה (ההמשך מסומן בקו מקווקו). זה גובה לצלע התחתונה. המשולש קהה-זווית, ולכן הגובה הזה נמצא מחוץ למשולש.

למה לא סרטוט 2? הקטע מאונך לצלע התחתונה, אבל הוא לא יוצא מקודקוד: הוא מתחיל באמצע הצלע התחתונה ומגיע לצלע אחרת.

למה לא סרטוט 3? הקטע יוצא מהקודקוד העליון, אבל הוא מקביל לצלע התחתונה ולא מאונך לה. הקו המקווקו שיורד ממנו אינו קשור לגובה.

למה לא סרטוט 4? הקטע יוצא מקודקוד ומאונך לצלע התחתונה, אבל הצלע התחתונה יוצאת מאותו קודקוד ואינה הצלע שמולו. גובה שיוצא מהקודקוד הזה צריך להיות מאונך לצלע שמולו (הצלע השמאלית הקצרה), והקטע המודגש אינו מאונך לה ואינו מגיע אליה. הוא יורד אל קו מקווקו שאינו צלע של המשולש.

התשובה הנכונה: פי 10,000.

כדי להשוות, צריך ששני המשקלים יהיו באותה יחידה.

בכל קילוגרם יש 1,000 גרם, ולכן:

$60$ ק"ג $=60\times1{,}000=60{,}000$ גרם.

עכשיו מחלקים: $60{,}000:6=10{,}000$.

הגור של הג'ירפה כבד פי 10,000 בערך.

למה לא פי 10? זה $60:6$: השוו את המספרים 60 ו-6 בלי לשים לב שאחד בקילוגרמים והשני בגרמים.

למה לא פי 1,000? 1,000 הוא מספר הגרמים בקילוגרם אחד. הוא מתאים רק אם שני המספרים שווים (למשל 6 גרם ו-6 ק"ג), אבל כאן גם המספר 60 גדול פי 10 מ-6.

למה לא פי 100,000? כאן נוסף אפס מיותר בחישוב: $6\times100{,}000=600{,}000$ גרם, שהם 600 ק"ג ולא 60 ק"ג.

התשובה: לוח 2.

משחק במחוג הוגן אם לכל ילד יש בלוח אותו גודל של שטח (כל החלקים שלו יחד).

בלוח 2 העיגול מחולק ל-6 חלקים שווים, ולכל ילד יש 2 מהם. לכן לכל ילד יש $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ מהעיגול, והסיכויים שווים.

למה לא לוח 1? יש בו 8 חלקים שווים, אבל למאיה יש 3, לנועם 3 ולליה רק 2. לליה יש סיכוי קטן יותר.

למה לא לוח 3? לכל ילד יש בדיוק 2 חלקים, אבל החלקים לא שווים בגודלם: החלקים של מאיה גדולים בהרבה, והחלקים של ליה ושל נועם קטנים יותר. לא מספיק לספור חלקים, צריך לבדוק גם את הגודל שלהם.

למה לא לוח 4? כל שם מופיע פעם אחת, אבל למאיה יש חצי עיגול, ולנועם ולליה רק רבע עיגול לכל אחד.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לוח 2, כי העיגול מחולק ל-6 חלקים שווים ולכל ילד יש 2 חלקים, כלומר שטח שווה."

מה הבודק מחפש: בחירה בלוח 2 והסבר שלכל ילד יש שטח שווה (מספר שווה של חלקים שווים בגודלם).

שלב 1: שטח המלבן: $3\times6=18$ סמ"ר.

שלב 2: שטח המשולש הוא מה שחסר עד 36: $36-18=18$ סמ"ר.

שלב 3: בוחרים על איזו צלע של המלבן לבנות את המשולש.

אם בונים אותו על הצלע של 6 ס"מ: שטח משולש הוא בסיס כפול גובה לחלק ל-2. צריך $6\times?:2=18$, כלומר $6\times?=36$, ולכן הגובה הוא 6 ס"מ.

מסרטטים מלבן ברוחב 6 משבצות ובגובה 3 משבצות. מעל הצלע העליונה שלו (באורך 6) מסרטטים משולש: הקודקוד העליון נמצא בדיוק מעל אמצע הצלע (3 משבצות מכל צד), 6 משבצות מעליה. כך שתי השוקיים שוות, והמשולש שווה-שוקיים.

בדיקה: $18+6\times6:2=18+18=36$ ✓

אפשרות אחרת: משולש על הצלע של 3 ס"מ, עם גובה של 12 ס"מ ($3\times12:2=18$). אפשרות נוספת שמתקבלת: משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים שאחד הניצבים שלו הוא הצלע של 6 ס"מ ($6\times6:2=18$).

מה הבודק מחפש: (1) מלבן שאורכי צלעותיו 3 ס"מ ו-6 ס"מ; (2) משולש שווה-שוקיים שאחת מצלעותיו נמצאת על צלע של המלבן (לפחות בחלקה); (3) שטח המשולש 18 סמ"ר.