מבחן מיצ"ב לדוגמה 2 במתמטיקה לכיתה ו' - עם פתרונות מלאים

התשובה הנכונה: 80,000.

נכתוב את הספרות של המספר 1,284,650 לפי המקומות שלהן (מימין לשמאל):

0 – אחדות, 5 – עשרות, 6 – מאות, 4 – אלפים, 8 – עשרות אלפים, 2 – מאות אלפים, 1 – מיליונים.

הספרה 8 נמצאת במקום עשרות האלפים, ולכן הערך שלה הוא $8 \cdot 10{,}000 = 80{,}000$.

למה לא 8,000? זה הערך של ספרה במקום האלפים. בספירת המקומות דילגו על מקום אחד: במקום האלפים נמצאת הספרה 4.

למה לא 800,000? זה הערך של ספרה במקום מאות האלפים. שם נמצאת הספרה 2, לא 8.

למה לא 8? 8 היא הספרה עצמה. השאלה היא על הערך שלה, והוא תלוי במקום שבו היא נמצאת.

התשובה: 1,285,000.

במספר 1,284,650 יש 1,284 אלפים שלמים, ועוד 650.

המספר נמצא בין 1,284,000 ובין 1,285,000.

כדי להחליט לאיזה מהם הוא קרוב יותר, מסתכלים על ספרת המאות: היא 6.

6 הוא 5 או יותר, ולכן מעגלים למעלה: 1,285,000.

(650 קרוב יותר ל־1,000 מאשר ל־0.)

טעות נפוצה: 1,284,000 – עיגלו למטה, אף על פי שספרת המאות היא 6.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): 1,308,000 ו־1,312,500.

יש הרבה תשובות נכונות.

עשרות האלפים הקרובות ל־1,310,000 הן 1,300,000 (לפניו) ו־1,320,000 (אחריו).

מספר מתעגל ל־1,310,000 אם הוא קרוב ל־1,310,000 יותר מאשר לשכנים האלה, כלומר:

•הוא לא קטן מ־1,305,000 (באמצע בין 1,300,000 ל־1,310,000);

•הוא קטן מ־1,315,000 (באמצע בין 1,310,000 ל־1,320,000).

לכן כל מספר שלם מ־1,305,000 עד 1,314,999 מתאים.

בדיקה ל־1,312,500: ספרת האלפים היא 2 (פחות מ־5), ולכן מעגלים למטה – ל־1,310,000 ✓.

בדיקה ל־1,308,000: ספרת האלפים היא 8 (5 או יותר), ולכן מעגלים למעלה – ל־1,310,000 ✓.

שימו לב: 1,315,000 אינו מתאים – הוא מתעגל ל־1,320,000. גם 1,304,999 אינו מתאים – הוא מתעגל ל־1,300,000.

התשובה הנכונה: בשעה 11:00.

צריך למצוא אחרי כמה דקות שתי ההאכלות יקרו שוב יחד. זה המספר הקטן ביותר שהוא גם כפולה של 40 וגם כפולה של 60.

כפולות של 40: 40, 80, 120, 160, ...

כפולות של 60: 60, 120, 180, ...

הכפולה המשותפת הקטנה ביותר היא 120 דקות, כלומר שעתיים.

$9:00$ ועוד שעתיים – השעה 11:00.

בדיקה: כלבי הים אוכלים ב־9:00, 9:40, 10:20, 11:00; הפינגווינים אוכלים ב־9:00, 10:00, 11:00 ✓.

למה לא בשעה 10:00? ב־10:00 מאכילים רק את הפינגווינים (60 דקות אחרי 9:00). כלבי הים אוכלים ב־9:40 וב־10:20, לא ב־10:00.

למה לא בשעה 10:40? חיברו $40 + 60 = 100$ דקות. אבל 100 אינו כפולה של 60, ולכן הפינגווינים לא אוכלים ב־10:40.

למה לא בשעה 9:20? חישבו את ההפרש $60 - 40 = 20$ דקות. ב־9:20 לא מאכילים אף אחת מהחיות.

התשובה: 5 פעמים.

מסעיף א: ההאכלות המשותפות חוזרות כל 120 דקות, כלומר כל שעתיים.

נכתוב את כל השעות, החל מ־9:00, בקפיצות של שעתיים, עד 17:00:

9:00, 11:00, 13:00, 15:00, 17:00.

סופרים: 5 פעמים.

דרך נוספת: מ־9:00 עד 17:00 עוברות 8 שעות. $8 : 2 = 4$ קפיצות של שעתיים. 4 קפיצות מחברות בין 5 שעות (כמו 4 רווחים בין 5 עמודים בגדר), ולכן יש 5 האכלות משותפות.

טעות נפוצה: 4 – ספרו רק את הקפיצות ושכחו את ההאכלה הראשונה בשעה 9:00.

התשובה: $2.47$.

ההפרש בין 2.4 ל־2.5 הוא עשירית אחת, כלומר $0.1 = 0.10$.

הקטע מחולק ל־10 חלקים שווים, ולכן כל חלק הוא $0.10 : 10 = 0.01$ (מאית אחת).

החץ נמצא 7 שנתות אחרי 2.4:

$2.40 + 7 \times 0.01 = 2.40 + 0.07 = 2.47$.

טעויות נפוצות: 2.7 – חשבו שכל שנתה היא עשירית; 2.407 – חשבו שכל שנתה היא אלפית.

התשובה: הנקודה נמצאת על השנתה השלישית אחרי 2.5 (ראו את הנקודה האדומה בסרטוט בסעיף א).

כל שנתה היא $0.01$ (כמו שמצאנו בסעיף א).

$2.53 = 2.50 + 0.03$, כלומר 3 מאיות אחרי 2.5 – 3 שנתות ימינה מ־2.5.

טעויות נפוצות: לסמן את 2.53 בין 2.4 ל־2.5 (למשל על השנתה השלישית אחרי 2.4 – שם נמצא 2.43); לסמן אותו בדיוק באמצע בין 2.5 לסוף הישר.

התשובה הנכונה: 10 קבוצות.

צריך לבדוק כמה פעמים חצי שעה נכנס ב־5 שעות: $5 : \frac{1}{2}$.

בכל שעה יש 2 חצאי שעה, ולכן ב־5 שעות יש $5 \times 2 = 10$ חצאי שעה.

כלומר: $5 : \frac{1}{2} = 5 \times 2 = 10$.

בדיקה: 10 קבוצות כפול חצי שעה – $10 \times \frac{1}{2} = 5$ שעות ✓.

למה לא $2\frac{1}{2}$? כפלו $5 \times \frac{1}{2}$ במקום לחלק. מספר הקבוצות צריך להיות גדול מ־5, כי כל קבוצה נמצאת פחות משעה.

למה לא $4\frac{1}{2}$? חיסרו $5 - \frac{1}{2}$. בשאלה לא מחסרים זמן, אלא בודקים כמה פעמים חצי שעה נכנס ב־5 שעות.

למה לא 20? חשבו שבשעה יש 4 קבוצות – כאילו כל קבוצה נמצאת רבע שעה ולא חצי שעה.

התשובה: 8 סיורים.

צריך לחשב $6 : \frac{3}{4}$.

דרך 1 – ברבעי שעה: בכל שעה יש 4 רבעי שעה, ולכן ב־6 שעות יש $6 \times 4 = 24$ רבעי שעה.

כל סיור נמשך 3 רבעי שעה, ולכן מספר הסיורים הוא $24 : 3 = 8$.

דרך 2 – בדקות: $\frac{3}{4}$ שעה הן 45 דקות; 6 שעות הן $6 \times 60 = 360$ דקות; $360 : 45 = 8$.

דרך 3 – לפי הכלל: $6 : \frac{3}{4} = 6 \times \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8$.

בדיקה: $8 \times \frac{3}{4} = \frac{24}{4} = 6$ שעות ✓.

טעויות נפוצות: $4\frac{1}{2}$ – כפלו $6 \times \frac{3}{4}$ במקום לחלק; 24 – חילקו רק ברבע ושכחו שכל סיור הוא 3 רבעים.

התשובה הנכונה: 30 סמ"ק.

שלב 1 – מוצאים את המידות של התיבה מתוך הפריסה (סופרים משבצות):

המלבן שבמרכז הפריסה הוא הבסיס: 5 משבצות על 3 משבצות, כלומר 5 ס"מ על 3 ס"מ.

המלבנים שמחוברים לבסיס מלמעלה ומלמטה הם 5 ס"מ על 2 ס"מ, והמלבנים שמימין ומשמאל הם 2 ס"מ על 3 ס"מ. המלבן העליון (5 ס"מ על 3 ס"מ) הוא המכסה. כלומר, הגובה של הקופסה הוא 2 ס"מ.

שלב 2 – הנפח של תיבה: אורך כפול רוחב כפול גובה:

$5 \times 3 \times 2 = 15 \times 2 = 30$ סמ"ק.

(אפשר לחשוב על קוביות של 1 ס"מ: בשכבה התחתונה נכנסות $5 \times 3 = 15$ קוביות, ויש 2 שכבות – 30 קוביות.)

למה לא 62 סמ"ק? 62 הוא שטח הפנים של התיבה (השטח של כל הפריסה): $2 \times (15 + 10 + 6) = 62$ סמ"ר. שטח הפנים מודד כמה קרטון יש, ולא כמה מקום יש בתוך הקופסה.

למה לא 10 סמ"ק? חיברו את המידות: $5 + 3 + 2 = 10$, במקום לכפול אותן.

למה לא 15 סמ"ק? זה רק השטח של הבסיס ($5 \times 3$), כלומר מספר הקוביות בשכבה אחת. שכחו לכפול בגובה.

התשובה: 4 ס"מ.

על הבסיס (5 ס"מ על 3 ס"מ) אפשר להניח שכבה של $5 \times 3 = 15$ קוביות.

יש 60 קוביות, ולכן מספר השכבות הוא $60 : 15 = 4$.

כל שכבה גבוהה 1 ס"מ, ולכן הגובה של הקופסה הוא 4 ס"מ.

בדיקה: $5 \times 3 \times 4 = 60$ סמ"ק ✓.

טעויות נפוצות: 12 – חילקו $60 : 5$ (רק באורך); 20 – חילקו $60 : 3$ (רק ברוחב).

תשובה לדוגמה (ציון מלא): ליאור לא צודק. אם מכפילים את כל המידות, הקופסה החדשה היא 10 ס"מ על 6 ס"מ על 4 ס"מ. הנפח שלה הוא $10 \times 6 \times 4 = 240$ סמ"ק. הנפח של הקופסה המקורית הוא 30 סמ"ק, ו־$240 : 30 = 8$. כלומר, הנפח גדל פי 8, ולא פי 2.

הסבר נוסף: כשמכפילים פי 2 רק את האורך, הנפח גדל פי 2. כשמכפילים גם את הרוחב – הנפח גדל שוב פי 2 (כבר פי 4). כשמכפילים גם את הגובה – שוב פי 2. בסך הכול: $2 \times 2 \times 2 = 8$.

התשובה: 151.25 ש"ח.

שלב 1 – שני כרטיסים למבוגרים: $2 \times 38.50 = 77.00$ ש"ח.

(38 כפול 2 הם 76, ו־0.50 כפול 2 הם 1. יחד: 77.)

שלב 2 – שלושה כרטיסים לילדים: $3 \times 24.75$.

24 כפול 3 הם 72, ו־0.75 כפול 3 הם 2.25. יחד: $72 + 2.25 = 74.25$ ש"ח.

שלב 3 – מחברים: $77.00 + 74.25 = 151.25$ ש"ח.

(בחיבור במאונך כותבים את הנקודות העשרוניות זו מתחת לזו: מאיות $0 + 5 = 5$, עשיריות $0 + 2 = 2$, אחדות $7 + 4 = 11$ – כותבים 1 ומעבירים 1, עשרות $7 + 7 + 1 = 15$.)

התשובה הנכונה: 121 ש"ח.

שלב 1 – מחשבים את ההנחה: 20% הם $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ מהמחיר.

$151.25 : 5 = 30.25$ ש"ח.

(בדרך אחרת: 10% מ־151.25 הם 15.125, ו־20% הם פי 2: 30.25.)

שלב 2 – מחסרים את ההנחה מהמחיר: $151.25 - 30.25 = 121$ ש"ח.

דרך נוספת: אחרי הנחה של 20% משלמים 80% מהמחיר: $151.25 \times 0.8 = 121$.

למה לא 131.25 ש"ח? הורידו 20 שקלים במקום 20 אחוזים: $151.25 - 20 = 131.25$.

למה לא 30.25 ש"ח? זה גובה ההנחה עצמה, ולא המחיר שמשלמים אחרי ההנחה.

למה לא 151.05 ש"ח? הורידו 0.20 ש"ח (20 אגורות) – בלבול בין 20% ובין המספר $0.20$ בשקלים.

התשובה: $1\frac{5}{18}$.

מחפשים מכנה משותף ל־6 ול־9. כפולות של 9: 9, 18, ... – ו־18 מתחלק גם ב־6. לכן המכנה המשותף הוא 18.

$\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$ (מרחיבים פי 3), $\frac{4}{9} = \frac{8}{18}$ (מרחיבים פי 2).

$\frac{15}{18} + \frac{8}{18} = \frac{23}{18}$.

$\frac{23}{18}$ הוא שלם אחד ($\frac{18}{18}$) ועוד $\frac{5}{18}$, כלומר $1\frac{5}{18}$.

(אפשר גם במכנה 54: $\frac{45}{54} + \frac{24}{54} = \frac{69}{54} = 1\frac{15}{54} = 1\frac{5}{18}$.)

טעות נפוצה: $\frac{9}{15}$ – חיברו מונים ומכנים.

התשובה: $1\frac{7}{10}$.

מכנה משותף ל־5 ול־2 הוא 10:

$3\frac{1}{5} = 3\frac{2}{10}$ ו־$1\frac{1}{2} = 1\frac{5}{10}$.

אי אפשר לחסר $\frac{5}{10}$ מ־$\frac{2}{10}$, ולכן "פורטים" שלם אחד: $3\frac{2}{10} = 2 + 1 + \frac{2}{10} = 2\frac{12}{10}$.

עכשיו מחסרים: $2\frac{12}{10} - 1\frac{5}{10} = 1\frac{7}{10}$ (שלמים: $2 - 1 = 1$; עשיריות: $12 - 5 = 7$).

דרך נוספת – בשברים עשרוניים: $3.2 - 1.5 = 1.7$.

טעות נפוצה: $2\frac{3}{10}$ – חיסרו "הפוך" את החלקים ($\frac{5}{10} - \frac{2}{10}$) במקום לפרוט שלם.

התשובה: $0.72$.

כופלים כאילו אין נקודות: $24 \times 3 = 72$.

סופרים את הספרות שאחרי הנקודה בשני הגורמים: ב־2.4 יש ספרה אחת, וב־0.3 יש ספרה אחת – יחד 2 ספרות.

לכן בתוצאה יש 2 ספרות אחרי הנקודה: $0.72$.

בדיקה באומדן: $2.4 \times 0.3$ הוא בערך $2 \times 0.3 = 0.6$, ולכן $0.72$ סביר.

טעות נפוצה: $7.2$ – שמו בתוצאה רק ספרה אחת אחרי הנקודה.

התשובה הנכונה: קופים.

לפי הדיאגרמה במתחם האריות ביקרו 360 מבקרים.

העמודה היחידה שגבוהה יותר מהעמודה של האריות היא העמודה של הקופים: 420 מבקרים.

בכל שאר המתחמים ביקרו פחות מ־360: פינגווינים 300, ג'ירפות 240, זוחלים 180.

למה לא פינגווינים? העמודה של הפינגווינים (300) נמוכה מהעמודה של האריות (360). מי שבוחר בה אולי השווה לעמודה הסמוכה לה (הזוחלים, 180) במקום לעמודה של האריות.

למה לא ג'ירפות? במתחם הג'ירפות ביקרו 240 – פחות מ־360. מי שבוחר בה אולי ענה לפי החיה (הג'ירפה היא החיה הגבוהה ביותר) ולא לפי הגובה של העמודה בדיאגרמה.

למה לא זוחלים? במתחם הזוחלים ביקרו הכי מעט מבקרים: 180. אולי קראו את השאלה כ"פחות מבקרים".

התשובה: ב־120 מבקרים.

לפי הדיאגרמה: במתחם הקופים ביקרו 420 מבקרים, ובמתחם הפינגווינים 300 מבקרים.

$420 - 300 = 120$.

(אפשר גם לספור: ההפרש בין העמודות הוא 2 שורות ברשת, וכל שורה היא 60 מבקרים: $2 \times 60 = 120$.)

טעות נפוצה: 2 – ספרו את שורות הרשת בלי לכפול ב־60.

התשובה הנכונה: זוחלים וג'ירפות.

במתחם הקופים ביקרו 420 מבקרים.

בודקים את הזוגות:

•זוחלים וג'ירפות: $180 + 240 = 420$ ✓

•זוחלים ופינגווינים: $180 + 300 = 480$ ✗

•אריות וזוחלים: $360 + 180 = 540$ ✗

•פינגווינים וג'ירפות: $300 + 240 = 540$ ✗

למה לא זוחלים ופינגווינים? יחד ביקרו בהם 480 מבקרים – 60 יותר מאשר בקופים. אולי קראו את הפינגווינים כ־240 במקום 300.

למה לא אריות וזוחלים? יחד ביקרו בהם $360 + 180 = 540$ מבקרים – 120 יותר מאשר בקופים. אולי בחרו בעמודה הגבוהה ובעמודה הנמוכה, בלי לחשב.

למה לא פינגווינים וג'ירפות? יחד ביקרו בהם $300 + 240 = 540$ מבקרים – 120 יותר מאשר בקופים. אולי קראו את הג'ירפות כ־120 (עמודה בגובה של שתי שורות רשת פחות).

תשובה לדוגמה (ציון מלא): רון צודק.

מספר המבקרים בכל המתחמים יחד: $360 + 420 + 180 + 300 + 240 = 1{,}500$.

מחצית מ־1,500 היא $1{,}500 : 2 = 750$.

באריות ובקופים ביקרו יחד $360 + 420 = 780$ מבקרים, ו־780 גדול מ־750.

דרך נוספת: בשלושת המתחמים האחרים ביקרו יחד $180 + 300 + 240 = 720$ מבקרים. $780 > 720$, ולכן באריות ובקופים ביקרו יותר מבקרים מאשר בכל השאר יחד – כלומר יותר ממחצית.

התשובה: 60 מ'.

שלב 1 – מוצאים את הצלעות החסרות:

•הצלע הימנית: לפי הנתון היא שווה לצלע השמאלית, ולכן היא 9 מ'.

•הצלע התחתונה של "החריץ" (באמצע למעלה): כל הרוחב הוא 16 מ', ומשני צידי החריץ יש 5 מ' ו־5 מ'. לכן: $16 - 5 - 5 = 6$ מ'.

•הצלע הימנית של החריץ: שני הצדדים של המתחם גבוהים 9 מ', ולכן החלקים העליונים שלהם באותו גובה. שתי הצלעות של החריץ יורדות מאותו גובה עד אותה תחתית, ולכן גם הצלע הימנית של החריץ היא 5 מ'.

שלב 2 – מחברים את כל 8 הצלעות:

$16 + 9 + 5 + 5 + 6 + 5 + 5 + 9 = 60$ מ'.

דרך נוספת: אם "מיישרים" את החריץ, מקבלים מלבן של 16 מ' על 9 מ', שההיקף שלו $2 \times (16 + 9) = 50$ מ'. לחריץ יש עוד שתי צלעות של 5 מ' שנוספות להיקף: $50 + 5 + 5 = 60$ מ'.

טעות נפוצה: 50 מ' – חישבו את ההיקף של המלבן הגדול ושכחו את שתי הצלעות של החריץ.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): מלבן של 10 משבצות על 5 משבצות, כלומר 20 מ' על 10 מ'.

יש כמה תשובות נכונות.

ההיקף צריך להיות 60 מ' (כמו בסעיף א).

במלבן יש שני אורכים ושני רוחבים, ולכן אורך אחד ועוד רוחב אחד הם חצי מההיקף: $60 : 2 = 30$ מ'.

כל משבצת מייצגת 2 מ', ולכן 30 מ' הם $30 : 2 = 15$ משבצות.

כלומר, צריך לסרטט מלבן שבו האורך ועוד הרוחב הם 15 משבצות.

אפשרויות במשבצות שלמות שנכנסות בדף: 14 על 1, 13 על 2, 12 על 3, 11 על 4, 10 על 5, 9 על 6, 8 על 7 (משבצות).

ריבוע (שהוא גם מלבן) אפשרי רק עם חצאי משבצות: הצלע שלו היא $60 : 4 = 15$ מ', כלומר $7\frac{1}{2}$ משבצות. אי אפשר לסרטט אותו לאורך קווי המשבצות, ולכן נוח יותר לבחור מלבן שהאורך והרוחב שלו הם מספרים שלמים של משבצות.

בדיקה ל־10 על 5: $10 \times 2 = 20$ מ', $5 \times 2 = 10$ מ', וההיקף $20 + 10 + 20 + 10 = 60$ מ' ✓.

טעות נפוצה: לסרטט מלבן שההיקף שלו 60 משבצות (או 30 משבצות) – בלי להתחשב בכך שכל משבצת מייצגת 2 מ'.

התשובה הנכונה: 6 ק"מ.

$\frac{1}{3}$ מ־9 ק"מ: $9 : 3 = 3$ ק"מ.

$\frac{2}{3}$ מ־9 ק"מ: $3 \times 2 = 6$ ק"מ.

למה לא 3 ק"מ? זה רק $\frac{1}{3}$ מהמסלול. שכחו לכפול ב־2.

למה לא 18 ק"מ? כפלו ב־2 ושכחו לחלק ב־3: $9 \times 2 = 18$. מספר כזה גדול מכל המסלול – לא ייתכן.

למה לא $13\frac{1}{2}$ ק"מ? חילקו $9 : \frac{2}{3}$ במקום לחשב $\frac{2}{3}$ מ־9. גם זה יותר מכל המסלול.

התשובה: 1.2 ק"מ.

שלב 1 – ממירים מטרים לקילומטרים: בקילומטר יש 1,000 מטרים, ולכן $1{,}800$ מ' $= 1{,}800 : 1{,}000 = 1.8$ ק"מ.

שלב 2 – כמה הלכו עד התצפית: $6 + 1.8 = 7.8$ ק"מ.

שלב 3 – כמה נשאר: $9 - 7.8 = 1.2$ ק"מ.

דרך נוספת – במטרים: 9 ק"מ הם 9,000 מ', ו־6 ק"מ הם 6,000 מ'.

$9{,}000 - 6{,}000 - 1{,}800 = 1{,}200$ מ', כלומר 1.2 ק"מ.

טעויות נפוצות: להמיר 1,800 מ' ל־18 ק"מ או ל־0.18 ק"מ; לחסר $3 - 1{,}800$ בלי להמיר יחידות.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): המדריך צודק.

$\frac{1}{5}$ מהמסלול הוא $9 : 5 = 1.8$ ק"מ.

נשאר ללכת 1.2 ק"מ (מסעיף ב), ו־1.2 קטן מ־1.8.

לכן נשאר פחות מ־$\frac{1}{5}$ מהמסלול.

דרך נוספת – בשברים: הדרך שנשארה היא $\frac{1.2}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$ מהמסלול, ו־$\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$. $\frac{2}{15} < \frac{3}{15}$ ✓.

טעות נפוצה: להשוות את 1.2 ל־$\frac{1}{5} = 0.2$ ולהגיד "1.2 גדול מ־0.2, ולכן המדריך טועה". אבל $\frac{1}{5}$ הוא חלק מהמסלול (מ־9 ק"מ), ולא $\frac{1}{5}$ ק"מ.