מבחן מיצ"ב לדוגמה 6 במתמטיקה לכיתה ו' - עם פתרונות מלאים

התשובה: $\frac{11}{15}$.

כדי לחבר שברים צריך מכנה משותף. מכנה משותף ל־5 ול־3 הוא 15.

$\frac{2}{5}=\frac{2\times3}{5\times3}=\frac{6}{15}$

$\frac{1}{3}=\frac{1\times5}{3\times5}=\frac{5}{15}$

$\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}$

טעות נפוצה: לחבר מונה עם מונה ומכנה עם מכנה ($\frac{3}{8}$). זה לא נכון: $\frac{3}{8}$ קטן אפילו מ־$\frac{2}{5}$ לבדו.

התשובה: $2.45$.

כותבים את המספרים זה מתחת לזה כך שהנקודות העשרוניות מתחת זו לזו, ומשלימים 0 למספר הראשון: $4.20-1.75$.

מאיות: $0-5$ אי אפשר, לוקחים עשירית אחת: $10-5=5$.

עשיריות: נשאר 1 (במקום 2), ו־$1-7$ אי אפשר, לוקחים שלם אחד: $11-7=4$.

שלמים: נשארו 3, ו־$3-1=2$.

התוצאה: $2.45$.

בדיקה: $2.45+1.75=4.20$ ✓

טעות נפוצה: לכתוב את המספרים "מיושרים לימין" ($4.2$ מתחת ל־$1.75$ בלי להתאים את הנקודות), ולקבל תוצאה שגויה.

התשובה: $3$.

דרך 1 – כמה פעמים $\frac{3}{4}$ נכנס ב־$2\frac{1}{4}$?

הופכים את המספר המעורב לשבר: $2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$ (2 שלמים הם $\frac{8}{4}$, ועוד $\frac{1}{4}$).

$\frac{9}{4}:\frac{3}{4}$ – שני השברים ברבעים, ולכן שואלים כמה פעמים 3 רבעים נכנסים ב־9 רבעים: $9:3=3$.

דרך 2 – כופלים בשבר ההפוך: $\frac{9}{4}\times\frac{4}{3}=\frac{36}{12}=3$.

בדיקה: $3\times\frac{3}{4}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$ ✓

התשובה: $(6+4)\times(5-2)=30$.

בלי סוגריים: $6+4\times5-2=6+20-2=24$, ולא 30.

מחפשים שני מספרים שהמכפלה שלהם 30. אם נחבר קודם $6+4=10$, נצטרך לכפול ב־3, ו־3 מתקבל מ־$5-2$.

בדיקה: $(6+4)\times(5-2)=10\times3=30$ ✓

אפשרויות אחרות לא מתאימות, למשל: $(6+4)\times5-2=50-2=48$, ו־$6+4\times(5-2)=6+12=18$.

התשובה: $36:(6-2)+7=16$.

בלי סוגריים: $36:6-2+7=6-2+7=11$, ולא 16.

כדי לקבל 16 צריך שלפני החיבור של 7 יתקבל 9, כי $9+7=16$.

36 מחולק במה שווה 9? $36:4=9$, ו־4 מתקבל מ־$6-2$.

בדיקה: $36:(6-2)+7=36:4+7=9+7=16$ ✓

התשובה הנכונה: 6:00.

זווית שטוחה היא זווית של $180^\circ$: שתי הצלעות שלה יוצאות מאותה נקודה לכיוונים הפוכים ויוצרות קו ישר.

בשעה 6:00 המחוג הארוך מצביע על 12 והמחוג הקצר מצביע בדיוק על 6. ה־12 וה־6 נמצאים זה מול זה בשעון, ולכן המחוגים יוצרים קו ישר – זווית שטוחה.

למה לא 3:00? בשעה 3:00 המחוגים מצביעים על 12 ועל 3, והזווית ביניהם היא זווית ישרה ($90^\circ$), לא שטוחה.

למה לא 12:00? בשעה 12:00 שני המחוגים מצביעים על 12, זה על גבי זה. אין ביניהם זווית שטוחה (הזווית ביניהם $0^\circ$).

למה לא 6:30? בשעה 6:30 המחוג הארוך מצביע על 6, והמחוג הקצר נמצא בין 6 ל־7. שני המחוגים כמעט זה על גבי זה, והזווית ביניהם קטנה מאוד – רחוקה מזווית שטוחה. מי שבחר בה ראה את המספר 6 וחשב שהמחוגים פונים לכיוונים הפוכים.

התשובה הנכונה: $150^\circ$.

סיבוב שלם של השעון הוא $360^\circ$, ויש בו 12 מספרים. לכן בין כל שני מספרים צמודים יש:

$360^\circ:12=30^\circ$

בשעה 5:00 המחוג הארוך על 12 והמחוג הקצר על 5. מ־12 עד 5 יש 5 "רווחים" (12→1, 1→2, 2→3, 3→4, 4→5):

$5\times30^\circ=150^\circ$

בדיקה: $150^\circ$ קטן מ־$180^\circ$ (זווית שטוחה), וזה מתאים לסרטוט – המחוגים לא יוצרים קו ישר.

למה לא $120^\circ$? ספרו רק 4 רווחים במקום 5 (התחילו לספור מ־1 במקום מ־12).

למה לא $210^\circ$? זו הזווית הגדולה בין המחוגים: $360^\circ-150^\circ=210^\circ$ (או 7 רווחים מ־5 עד 12). השאלה שואלת על הזווית הקטנה.

למה לא $50^\circ$? חשבו שבין כל שני מספרים יש $10^\circ$. אבל 12 רווחים של $10^\circ$ נותנים רק $120^\circ$, ולא סיבוב שלם של $360^\circ$.

התשובה הנכונה: 72 סמ"ר.

שטח מקבילית = צלע $\times$ הגובה לצלע הזאת.

הצלע AB היא 12 ס"מ, והגובה אליה (DE) הוא 6 ס"מ:

$12\times6=72$ סמ"ר.

למה לא 84 סמ"ר? כפלו את שתי הצלעות $12\times7$. במקבילית שאינה מלבן הצלע AD נוטה, והיא ארוכה מהגובה. צריך לכפול בגובה – 6 ס"מ.

למה לא 38 סמ"ר? זה ההיקף של המקבילית: $12+7+12+7=38$ ס"מ. היקף נמדד בס"מ ולא בסמ"ר.

למה לא 36 סמ"ר? חילקו ב־2 כמו בשטח של משולש. בשטח מקבילית לא מחלקים ב־2.

התשובה: דני לא צודק. השטח של המשולש ABF הוא תמיד 36 סמ"ר, בכל מקום של F על DC.

הבסיס של המשולש הוא AB, שאורכו 12 ס"מ.

הגובה של המשולש לבסיס AB הוא המרחק מ־F עד הצלע AB. הצלע DC מקבילה ל־AB, ולכן המרחק מכל נקודה על DC עד AB זהה – הוא הגובה של המקבילית, 6 ס"מ.

כשמזיזים את F על DC, הבסיס נשאר 12 ס"מ והגובה נשאר 6 ס"מ, ולכן השטח לא משתנה:

$(12\times6):2=72:2=36$ סמ"ר.

אפשר גם לראות שהשטח של המשולש הוא חצי מהשטח של המקבילית: $72:2=36$.

(הצורה של המשולש משתנה כשמזיזים את F, אבל השטח שלו לא משתנה.)

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "דני לא צודק. לכל מקום של F, הבסיס AB הוא 12 ס"מ והגובה הוא 6 ס"מ, כי DC מקביל ל־AB. השטח תמיד $12\times6:2=36$ סמ"ר."

התשובה:

סיום ההקרנה הראשונה: מוסיפים ל־16:40 שעה ו־55 דקות.

$16:40$ ועוד שעה $=17:40$. עוד 20 דקות מגיעים ל־18:00, ונשארו עוד $55-20=35$ דקות: 18:35.

התחלת ההקרנה השנייה: 20 דקות אחרי 18:35 היא 18:55.

סיום ההקרנה השנייה: 18:55 ועוד שעה $=19:55$, ועוד 55 דקות: 5 דקות עד 20:00 ועוד 50 דקות – 20:50.

בדיקה: 20 דקות אחרי 20:50 היא 21:10 – בדיוק שעת ההתחלה של ההקרנה השלישית בטבלה ✓

התשובה הנכונה: 6 שעות ו־25 דקות.

דרך 1 – מ־16:40 עד 23:05:

מ־16:40 עד 22:40 עוברות 6 שעות.

מ־22:40 עד 23:05: 20 דקות עד 23:00 ועוד 5 דקות – 25 דקות.

סך הכול: 6 שעות ו־25 דקות.

דרך 2 – מחברים את כל חלקי הזמן: 3 סרטים ו־2 הפסקות ניקיון (ההפסקות הן רק בין ההקרנות).

3 סרטים: $3\times115=345$ דקות (שעה ו־55 דקות הן 115 דקות).

2 הפסקות: $2\times20=40$ דקות.

$345+40=385$ דקות. $385=6\times60+25$, כלומר 6 שעות ו־25 דקות.

למה לא 5 שעות ו־45 דקות? זה רק הזמן של 3 הסרטים ($345$ דקות). שכחו את הפסקות הניקיון.

למה לא 6 שעות ו־45 דקות? חיברו 3 הפסקות. אבל בין 3 הקרנות יש רק 2 הפסקות (אחרי ההקרנה השלישית כבר לא סופרים).

למה לא 6 שעות ו־5 דקות? חיברו רק הפסקה אחת.

התשובה הנכונה: $1\frac{1}{2}$ כוסות.

8 מנות הן פי 2 מ־4 מנות, ולכן צריך פי 2 סוכר:

$2\times\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=1\frac{2}{4}=1\frac{1}{2}$ כוסות.

למה לא $\frac{6}{8}$ כוס? כפלו ב־2 גם את המונה וגם את המכנה. כך מקבלים שבר שקול: $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ – אותה כמות, לא פי 2.

למה לא $\frac{3}{8}$ כוס? חילקו ב־2 במקום לכפול. זו כמות הסוכר ל־2 מנות.

למה לא $4\frac{3}{4}$ כוסות? הוסיפו 4 כוסות כי הוסיפו 4 מנות. אבל כשמגדילים מתכון, כופלים כל כמות, ולא מוסיפים לה את מספר המנות.

התשובה הנכונה: $2\frac{1}{4}$ כוסות.

דרך 1 – דרך 2 מנות: 2 מנות הן חצי מ־4 מנות. חצי מ־$1\frac{1}{2}$ כוסות הוא $\frac{3}{4}$ כוס (כי $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, וחצי ממנו הוא $\frac{3}{4}$).

6 מנות $=$ 4 מנות ועוד 2 מנות: $1\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=1\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=1\frac{5}{4}=2\frac{1}{4}$ כוסות.

דרך 2 – 6 מנות הן פי $1\frac{1}{2}$ מ־4 מנות ($6:4=1\frac{1}{2}$):

$1\frac{1}{2}\times1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$ כוסות.

למה לא 3 כוסות? כפלו פי 2, כאילו 6 מנות הן פי 2 מ־4 מנות. אבל פי 2 מ־4 הוא 8, לא 6.

למה לא $3\frac{1}{2}$ כוסות? הוסיפו 2 כוסות כי הוסיפו 2 מנות. מוסיפים את הכמות של 2 מנות ($\frac{3}{4}$ כוס), לא 2 כוסות.

למה לא 9 כוסות? כפלו $1\frac{1}{2}\times6$, כאילו $1\frac{1}{2}$ כוסות הן הכמות למנה אחת. אבל זו הכמות ל־4 מנות.

התשובה: 18 מנות.

דרך 1 – כמה פעמים אפשר להכין את המתכון?

בכל מתכון (4 מנות) יש $\frac{2}{3}$ כוס חלב. בודקים כמה פעמים $\frac{2}{3}$ נכנס ב־3:

$3:\frac{2}{3}=\frac{9}{3}:\frac{2}{3}=9:2=4\frac{1}{2}$

אפשר להכין את המתכון $4\frac{1}{2}$ פעמים. בכל פעם יוצאות 4 מנות:

$4\frac{1}{2}\times4=16+2=18$ מנות.

דרך 2 – כמה חלב יש במנה אחת?

$\frac{2}{3}:4=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ כוס למנה.

$3:\frac{1}{6}=3\times6=18$ מנות (בכל כוס יש 6 חלקים של $\frac{1}{6}$).

בדיקה: ל־18 מנות צריך $18\times\frac{1}{6}=3$ כוסות ✓

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "במנה אחת יש $\frac{2}{3}:4=\frac{1}{6}$ כוס חלב. בכל כוס יש 6 שישיות, ולכן ב־3 כוסות יש $3\times6=18$ שישיות. החלב יספיק ל־18 מנות."

התשובה: ההיקף 16 ס"מ, השטח 12 סמ"ר.

סופרים משבצות: אורך המלבן 6 ס"מ ורוחבו 2 ס"מ.

היקף – סכום כל הצלעות: $6+2+6+2=16$ ס"מ.

שטח – אורך $\times$ רוחב: $6\times2=12$ סמ"ר (אפשר גם לספור: 2 שורות של 6 משבצות).

יש כמה תשובות נכונות.

ההיקף צריך להיות 16 ס"מ, ולכן אורך ועוד רוחב צריכים להיות חצי מההיקף: $16:2=8$ ס"מ.

אפשרויות במספרים שלמים (חוץ מ־6 ו־2):

•אורך 7 ס"מ ורוחב 1 ס"מ: היקף $7+1+7+1=16$, שטח $7\times1=7$ סמ"ר.

•אורך 5 ס"מ ורוחב 3 ס"מ: היקף $5+3+5+3=16$, שטח $5\times3=15$ סמ"ר.

•אורך 4 ס"מ ורוחב 4 ס"מ (ריבוע – גם הוא מלבן): היקף 16, שטח $4\times4=16$ סמ"ר.

(בסרטוט מופיעים המלבן הנתון ושלושת המלבנים האפשריים; בתוך כל מלבן כתוב השטח שלו.)

תשובה לדוגמה (ציון מלא): סרטוט של מלבן 5 על 3 משבצות, ו"השטח הוא 15 סמ"ר".

התשובה: לריבוע שאורך הצלע שלו 4 ס"מ. השטח שלו 16 סמ"ר.

כמו בסעיף ב, אורך ועוד רוחב צריכים להיות 8 ס"מ. בודקים את כל האפשרויות בטבלה:

(8 ו־0 זה לא מלבן, ו־3 ו־5 זה אותו מלבן כמו 5 ו־3.)

השטח הגדול ביותר הוא 16 סמ"ר – של הריבוע 4×4.

אפשר לראות שככל שהאורך והרוחב קרובים יותר זה לזה, השטח גדל. כלומר, לשני מלבנים עם אותו היקף יכולים להיות שטחים שונים מאוד.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "אורך + רוחב = 8. בדקתי: $7\times1=7$, $6\times2=12$, $5\times3=15$, $4\times4=16$. הכי גדול – ריבוע 4 על 4, שטח 16 סמ"ר."

התשובה: 24 עוגיות.

ממוצע = סכום כל הערכים : מספר הערכים.

לכן סכום העוגיות של 5 הקבוצות הוא: $22\times5=110$ עוגיות.

הסכום של 4 הקבוצות הידועות: $18+26+19+23=86$ עוגיות.

קבוצה ג אפתה: $110-86=24$ עוגיות.

בדיקה: $(18+26+24+19+23):5=110:5=22$ ✓

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "$5\times22=110$ עוגיות בסך הכול. $18+26+19+23=86$. קבוצה ג: $110-86=24$."

התשובה הנכונה: 23 עוגיות.

הסכום של 5 הקבוצות היה 110 (מסעיף א).

קבוצה ב אפתה 5 עוגיות יותר ממה שחשבו ($31-26=5$), ולכן הסכום הנכון: $110+5=115$ עוגיות.

עדיין יש 5 קבוצות: $115:5=23$ עוגיות.

(אפשר לחשוב גם כך: 5 העוגיות הנוספות "מתחלקות" בין 5 הקבוצות, ולכן הממוצע גדל ב־1: $22+1=23$.)

למה לא 27 עוגיות? הוסיפו את 5 העוגיות ישר לממוצע: $22+5=27$. אבל 5 העוגיות נוספות לסכום של כל 5 הקבוצות, והממוצע גדל רק ב־$5:5=1$.

למה לא 22 עוגיות? חשבו שהממוצע לא משתנה. אבל הסכום גדל, ומספר הקבוצות נשאר 5, ולכן הממוצע גדל.

למה לא $28.2$ עוגיות? הוסיפו 31 לסכום ושכחו להוריד את 26: $110+31=141$, ו־$141:5=28.2$. צריך להחליף את 26 ב־31, לא להוסיף.

התשובה: טל לא צודק. קבוצה ו צריכה לאפות 29 עוגיות.

כדי שהממוצע של 6 קבוצות יהיה 24, הסכום של כולן צריך להיות: $24\times6=144$ עוגיות.

ל־5 הקבוצות הראשונות יש 115 עוגיות (הסכום הנכון מסעיף ב).

לכן קבוצה ו צריכה לאפות: $144-115=29$ עוגיות.

למה הרעיון של טל לא עובד? הממוצע של 5 הקבוצות הוא רק 23 – פחות מ־24. אם הקבוצה החדשה תאפה בדיוק 24, הממוצע יעלה רק קצת: $115+24=139$, ו־$139:6$ קטן מ־24 (כי $6\times24=144$). כדי "להרים" את הממוצע ל־24, הקבוצה החדשה צריכה לאפות יותר מ־24.

בדיקה: $(115+29):6=144:6=24$ ✓

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "טל לא צודק. לממוצע 24 ב־6 קבוצות צריך סכום $6\times24=144$. יש כבר 115, ולכן צריך עוד $144-115=29$ עוגיות. עם 24 עוגיות הסכום יהיה 139, וזה פחות מ־144, אז הממוצע יהיה פחות מ־24."

התשובה: 33 ₪.

$25\%$ הם רבע ($\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$).

ההנחה: רבע מ־44 הוא $44:4=11$ ₪.

המחיר אחרי ההנחה: $44-11=33$ ₪.

(דרך נוספת: אחרי הנחה של $25\%$ משלמים $75\%$, כלומר $\frac{3}{4}$ מהמחיר: $3\times11=33$ ₪.)

התשובה הנכונה: ב"כוכב" הכרטיס זול יותר, ב־3 ₪.

ב"כוכב" המחיר אחרי ההנחה הוא 33 ₪ (סעיף א).

ב"אור": $10\%$ מ־40 הם $40:10=4$ ₪. המחיר אחרי ההנחה: $40-4=36$ ₪.

ההפרש: $36-33=3$ ₪. כלומר ב"כוכב" זול יותר ב־3 ₪.

למה לא ב"כוכב", ב־7 ₪? השוו את המחיר אחרי ההנחה ב"כוכב" (33) למחיר הרגיל ב"אור" (40). שכחו שגם ב"אור" יש הנחה.

למה לא ב"אור", ב־4 ₪? השוו את המחירים הרגילים ($44-40=4$) ושכחו את ההנחות.

למה לא ב"אור", ב־3 ₪? הורידו 10 ₪ במקום $10\%$: $40-10=30$, ו־$33-30=3$. אבל $10\%$ מ־40 הם 4 ₪, לא 10 ₪.

יש הרבה תשובות נכונות. לדוגמה: מחיר רגיל של 60 ₪.

ב"אור" הכרטיס אחרי ההנחה עולה 36 ₪ (סעיף ב).

אם ב"כוכב" הכרטיס הרגיל עולה 60 ₪: ההנחה היא רבע, $60:4=15$ ₪, והמחיר אחרי ההנחה: $60-15=45$ ₪.

$45>36$, ולכן ב"כוכב" הכרטיס יקר יותר – למרות שההנחה בו גדולה יותר.

הטעות של יואב: אחוז ההנחה לבדו לא קובע מה זול יותר. צריך לדעת גם מאיזה מחיר מורידים את ההנחה. הנחה גדולה ממחיר גבוה יכולה להשאיר מחיר גבוה.

דוגמאות נוספות: 80 ₪ (אחרי הנחה 60 ₪), 52 ₪ (אחרי הנחה 39 ₪), 100 ₪ (אחרי הנחה 75 ₪).

(כל מחיר שגדול מ־48 ₪ מתאים, כי $\frac{3}{4}$ מ־48 הם בדיוק 36. במחיר 48 ₪ הכרטיסים יעלו אותו דבר, ובמחיר נמוך יותר "כוכב" יהיה זול יותר.)

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "מחיר רגיל 60 ₪. $25\%$ מ־60 הם 15, אז המחיר 45 ₪. ב'אור' 36 ₪. $45>36$, ולכן 'כוכב' יקר יותר."