מבחן מיצ"ב לדוגמה 5 במתמטיקה לכיתה ו' - עם פתרונות מלאים

התשובה הנכונה: 17 נורות.

בכל שלב מוסיפים נורה אחת לכל אחת מ־4 הזרועות, כלומר מוסיפים 4 נורות.

שלב 1: 5 נורות; שלב 2: $5 + 4 = 9$; שלב 3: $9 + 4 = 13$; שלב 4: $13 + 4 = 17$.

בדיקה: בשלב 4 יש 4 נורות בכל זרוע, $4 \cdot 4 = 16$, ועוד הנורה שבמרכז: $16 + 1 = 17$.

למה לא 16? ספרו רק את הנורות שבזרועות ($4 \cdot 4 = 16$) ושכחו את הנורה שבמרכז.

למה לא 21? הוסיפו 4 פעמיים אחרי שלב 3 – זה מספר הנורות בשלב 5.

למה לא 15? הוסיפו רק 2 נורות (חשבו שמוסיפים נורה רק לשתי זרועות).

התשובה: 81 נורות.

בשלב 20 יש 20 נורות בכל זרוע (בשלב 1 – נורה אחת בכל זרוע, בשלב 2 – שתיים, וכן הלאה).

בארבע הזרועות: $4 \cdot 20 = 80$ נורות.

ועוד הנורה שבמרכז: $80 + 1 = 81$ נורות.

דרך נוספת: משלב 1 עד שלב 20 יש 19 קפיצות, ובכל קפיצה מוסיפים 4 נורות.

$19 \cdot 4 = 76$, ו־$5 + 76 = 81$.

טעות נפוצה: לחשוב ש"בשלב 4 יש 17 נורות, ולכן בשלב 20 (פי 5) יש $17 \cdot 5 = 85$". זה לא נכון, כי הנורה שבמרכז לא מוכפלת – יש רק נורה אחת במרכז בכל שלב.

התשובה: לא.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): בכל שלב יש נורה אחת במרכז ועוד מספר נורות שהוא כפולה של 4 (4 זרועות שוות). אם היו 100 נורות, בזרועות היו $100 - 1 = 99$ נורות. אבל 99 לא מתחלק ב־4 ($4 \cdot 24 = 96$, $4 \cdot 25 = 100$), ולכן אין שלב כזה.

הסבר אחר (גם הוא מקבל ציון מלא): בשלב 24 יש $4 \cdot 24 + 1 = 97$ נורות, ובשלב 25 יש $4 \cdot 25 + 1 = 101$ נורות. 100 נמצא בין 97 ל־101, ואין שלב ביניהם.

הסבר נוסף: מספרי הנורות הם 5, 9, 13, 17, ... – כולם מספרים אי־זוגיים (מתחילים במספר אי־זוגי ומוסיפים בכל פעם 4, מספר זוגי). 100 הוא מספר זוגי, ולכן אינו מופיע.

התשובה: $\frac{9}{20}$.

מביאים את השברים למכנה משותף. המכנה המשותף הקטן ביותר של 10 ו־4 הוא 20.

$\frac{7}{10} = \frac{14}{20}$ (כופלים את המונה ואת המכנה ב־2).

$\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$ (כופלים את המונה ואת המכנה ב־5).

$\frac{14}{20} - \frac{5}{20} = \frac{9}{20}$.

בדיקה בשברים עשרוניים: $0.7 - 0.25 = 0.45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$ ✓.

טעות נפוצה: לחסר מונה ממונה ומכנה ממכנה: $\frac{7 - 1}{10 - 4} = \frac{6}{6} = 1$. זה לא נכון – מחסרים רק כשהמכנים שווים, ואז מחסרים רק את המונים.

התשובה: $1\frac{1}{2}$ (או $\frac{12}{8}$, או $\frac{3}{2}$, או $1.5$).

כופלים את המונה ב־4: $\frac{3}{8} \times 4 = \frac{3 \cdot 4}{8} = \frac{12}{8}$.

מצמצמים ב־4: $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$, ובמספר מעורב: $1\frac{1}{2}$.

דרך נוספת: 4 פעמים $\frac{3}{8}$ זה $\frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8}$.

טעות נפוצה: לכפול גם את המכנה ב־4 ($\frac{12}{32}$). כשכופלים שבר במספר שלם, כופלים רק את המונה.

התשובה: $0.8$.

$4.8$ הם 48 עשיריות.

$48 : 6 = 8$, ולכן 48 עשיריות לחלק ל־6 הן 8 עשיריות, כלומר $0.8$.

בדיקה: $0.8 \cdot 6 = 4.8$ ✓.

טעות נפוצה: לכתוב 8 (לשכוח את הנקודה העשרונית). אבל $4.8$ קטן מ־6, ולכן התוצאה חייבת להיות קטנה מ־1.

התשובה הנכונה: לא, בכיתה ו2 החלק גדול יותר.

משווים חלקים ולא מספרי תלמידים, כי בכל כיתה יש מספר אחר של תלמידים.

כיתה ו1: $\frac{18}{30}$. מצמצמים ב־6: $\frac{3}{5}$. ובמאיות: $\frac{60}{100} = 60\%$.

כיתה ו2: $\frac{16}{25}$. מרחיבים פי 4: $\frac{64}{100} = 64\%$.

$64\% > 60\%$, ולכן בכיתה ו2 חלק גדול יותר מהתלמידים הביאו בקבוקים.

למה לא "כן, כי 18 גדול מ־16"? זו בדיוק הטעות של נועם: הוא השווה מספרים ולא חלקים. בכיתה ו1 יש יותר תלמידים, ולכן 18 תלמידים שם הם חלק קטן יותר מהכיתה.

למה לא "לא, החלק שווה בשתי הכיתות"? מי שבחר בזה חיסר: $30 - 18 = 12$ ו־$25 - 16 = 9$, או חשב שהחלקים "קרובים". בחישוב מדויק יש הבדל: 60% לעומת 64%.

למה לא "אי אפשר לדעת, כי מספר התלמידים בכיתות שונה"? אפשר לדעת: משווים את החלקים (למשל באחוזים), גם כשהשלמים שונים.

התשובה: 13 תלמידים.

בכיתה ו2 החלק הוא $\frac{16}{25} = \frac{64}{100} = 64\%$.

בכיתה ו3 יש 20 תלמידים, ולכן כל תלמיד הוא $\frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 5\%$ מהכיתה.

• 12 תלמידים: $12 \cdot 5\% = 60\%$ – פחות מ־64% ✗.

• 13 תלמידים: $13 \cdot 5\% = 65\%$ – יותר מ־64% ✓.

לכן המספר הקטן ביותר הוא 13.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "בכיתה ו2 הביאו בקבוקים $\frac{16}{25} = 64\%$ מהתלמידים. בכיתה ו3, 12 תלמידים הם $\frac{12}{20} = 60\%$ וזה פחות, ו־13 תלמידים הם $\frac{13}{20} = 65\%$ וזה יותר. לכן צריך לפחות 13 תלמידים."

התשובה: 4.125 ק"ג.

כדי לחבר מספרים עשרוניים, כותבים אותם זה מתחת לזה כך שהנקודות העשרוניות יהיו זו מתחת לזו (אחדות מתחת לאחדות, עשיריות מתחת לעשיריות וכן הלאה). כדאי להשלים אפסים כך שלכל המספרים יהיו 3 ספרות אחרי הנקודה:

$1.250$

$0.800$

$2.075$

מחברים מימין לשמאל:

אלפיות: $0 + 0 + 5 = 5$.

מאיות: $5 + 0 + 7 = 12$ – כותבים 2 ומעבירים 1 לעשיריות.

עשיריות: $2 + 8 + 0 + 1 = 11$ – כותבים 1 ומעבירים 1 לאחדות.

אחדות: $1 + 0 + 2 + 1 = 4$.

התוצאה: $4.125$ ק"ג.

בדיקה באומדן: $1.25 + 0.8 + 2.075$ הוא בערך $1 + 1 + 2 = 4$ ✓.

התשובה: הטעות – רותם לא כתבה את הנקודות העשרוניות זו מתחת לזו. התוצאה הנכונה היא 4.77 ק"ג.

רותם כתבה את המספרים כמו מספרים שלמים: הספרה האחרונה של כל מספר מתחת לספרה האחרונה של המספר השני. כך היא חיברה בעצם $35 + 127 = 162$ ושמה נקודה – וקיבלה $1.62$.

אבל ב־$3.5$ הספרה 5 היא 5 עשיריות, וב־$1.27$ הספרה 7 היא 7 מאיות. אסור לחבר עשיריות עם מאיות.

החישוב הנכון: משלימים אפס – $3.5 = 3.50$.

$3.50 + 1.27$: מאיות $0 + 7 = 7$; עשיריות $5 + 2 = 7$; אחדות $3 + 1 = 4$.

התוצאה: $4.77$ ק"ג.

אפשר לראות מייד שהתוצאה של רותם לא הגיונית: רק השקית הראשונה שוקלת 3.5 ק"ג, ולכן שתי השקיות יחד חייבות לשקול יותר מ־3.5 ק"ג – ולא $1.62$ ק"ג.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "רותם שמה את הספרות לפי הסוף ולא לפי הנקודה, וחיברה 5 עשיריות עם 7 מאיות. צריך לשים נקודה מתחת לנקודה: $3.50 + 1.27 = 4.77$."

התשובה: 2, 5, 8.

מספר מתחלק ב־3 (בלי שארית) כאשר סכום הספרות שלו מתחלק ב־3.

סכום הספרות הידועות: $4 + 7 + 2 = 13$.

מחפשים ספרה (מ־0 עד 9) שאם מוסיפים אותה ל־13 מקבלים מספר שמתחלק ב־3:

• $13 + 2 = 15$ ✓ (15 מתחלק ב־3)

• $13 + 5 = 18$ ✓

• $13 + 8 = 21$ ✓

ספרות אחרות לא מתאימות, למשל $13 + 0 = 13$, $13 + 3 = 16$, $13 + 9 = 22$ לא מתחלקים ב־3.

לכן מספר הבקבוקים יכול להיות 4,272 או 4,572 או 4,872.

בדיקה: $4{,}272 : 3 = 1{,}424$; $4{,}572 : 3 = 1{,}524$; $4{,}872 : 3 = 1{,}624$.

התשובה: 4,572 בקבוקים.

מספר מתחלק ב־9 כאשר סכום הספרות שלו מתחלק ב־9.

סכום הספרות הידועות הוא 13. הספרה החסרה היא בין 0 ל־9, ולכן הסכום הוא בין 13 ל־22.

הכפולה היחידה של 9 בין 13 ל־22 היא 18. לכן הספרה החסרה היא $18 - 13 = 5$.

המספר: 4,572.

בדיקה: $4{,}572 : 9 = 508$ (כי $9 \cdot 500 = 4{,}500$ ו־$9 \cdot 8 = 72$).

שימו לב: 4,572 נמצא גם ברשימה של סעיף א – כל מספר שמתחלק ב־9 מתחלק גם ב־3.

התשובה הנכונה: רק דנה צודקת.

דנה: אם מספר מתחלק ב־9, אפשר לחלק אותו לקבוצות של 9. כל קבוצה של 9 היא 3 קבוצות של 3, ולכן המספר מתחלק גם ב־3. הטענה נכונה תמיד.

ליאור: מספיקה דוגמה אחת שבה הטענה לא נכונה. למשל 6 מתחלק ב־3, אבל לא מתחלק ב־9. גם 4,272 מסעיף א מתחלק ב־3 (סכום הספרות 15), אבל לא מתחלק ב־9 (15 לא מתחלק ב־9). לכן הטענה של ליאור לא נכונה.

למה לא "רק ליאור צודק"? הטענה של ליאור לא נכונה (למשל 6, 12, 15 מתחלקים ב־3 ולא ב־9), והטענה של דנה נכונה.

למה לא "שניהם צודקים"? מי שבחר בזה חשב ש־3 ו־9 "הולכים יחד". אבל ההתחלקות עובדת רק בכיוון אחד: מ־9 ל־3.

למה לא "שניהם טועים"? הטענה של דנה נכונה תמיד, כי 9 הוא $3 \cdot 3$.

התשובה: 12 סמ"ר.

סופרים את המשבצות השלמות שבתוך הצורה:

• בשורה העליונה של הצורה: 2 משבצות.

• בשורה האמצעית: 4 משבצות שלמות וחצי משבצת.

• בשורה התחתונה: 5 משבצות שלמות וחצי משבצת.

משבצות שלמות: $2 + 4 + 5 = 11$. חצאי משבצות: 2, ושני חצאים הם משבצת אחת שלמה.

השטח: $11 + 1 = 12$ סמ"ר.

דרך נוספת: מלבן של 4 על 2 (8 סמ"ר), מעליו מלבן של 2 על 1 (2 סמ"ר), ומימין משולש ישר־זווית שהניצבים שלו 2 ו־2: $\frac{2 \cdot 2}{2} = 2$ סמ"ר. יחד: $8 + 2 + 2 = 12$ סמ"ר.

התשובה: יש שלוש אפשרויות (צריך לסרטט שתיים מהן):

• מלבן של 1 ס"מ על 12 ס"מ – היקף: $1 + 12 + 1 + 12 = 26$ ס"מ.

• מלבן של 2 ס"מ על 6 ס"מ – היקף: $2 + 6 + 2 + 6 = 16$ ס"מ.

• מלבן של 3 ס"מ על 4 ס"מ – היקף: $3 + 4 + 3 + 4 = 14$ ס"מ.

איך מוצאים? השטח צריך להיות 12 סמ"ר, ושטח של מלבן הוא אורך כפול רוחב. מחפשים שני מספרים שלמים שהמכפלה שלהם 12:

$1 \cdot 12 = 12$, $2 \cdot 6 = 12$, $3 \cdot 4 = 12$.

(מלבן של 4 על 3 הוא אותו מלבן כמו 3 על 4, רק מסובב.)

שימו לב: לכל המלבנים יש אותו שטח, אבל היקף שונה. מלבן "ארוך וצר" הוא בעל היקף גדול יותר.

סרטוט של המלבנים:

התשובה: 18 מ"ר.

מחלקים את הצורה לשני מלבנים בקו אופקי:

• המלבן התחתון: אורך 6 מ', רוחב 2 מ'. השטח: $6 \cdot 2 = 12$ מ"ר.

• המלבן העליון: אורך 3 מ'. הגובה שלו הוא $4 - 2 = 2$ מ'. השטח: $3 \cdot 2 = 6$ מ"ר.

השטח כולו: $12 + 6 = 18$ מ"ר.

דרך נוספת: משלימים למלבן גדול של 6 מ' על 4 מ': $6 \cdot 4 = 24$ מ"ר. מחסירים את החלק החסר (בפינה הימנית העליונה): רוחב $6 - 3 = 3$ מ' וגובה $4 - 2 = 2$ מ', כלומר $3 \cdot 2 = 6$ מ"ר. $24 - 6 = 18$ מ"ר.

טעות נפוצה: לכפול $6 \cdot 4 = 24$ ולשכוח שחסרה פינה.

התשובה הנכונה: 10,000 סמ"ר.

1 מ"ר הוא ריבוע שאורך הצלע שלו 1 מטר, כלומר 100 ס"מ.

השטח שלו בסמ"ר: $100 \cdot 100 = 10{,}000$ סמ"ר.

(אפשר לדמיין: בריבוע יש 100 שורות, ובכל שורה 100 משבצות של 1 סמ"ר.)

למה לא 100 סמ"ר? זו הטעות הנפוצה ביותר: 1 מ' = 100 ס"מ, אבל במ"ר צריך לכפול אורך ברוחב: $100 \cdot 100$, ולא רק 100.

למה לא 1,000 סמ"ר? בלבלו עם המרה של ק"ג לגרם או של ליטר למ"ל, שבהן כופלים ב־1,000.

למה לא 200 סמ"ר? חיברו את האורך והרוחב ($100 + 100$) במקום לכפול אותם.

התשובה: 72 אריחים.

דרך א: 50 ס"מ הם חצי מטר. בריבוע של 1 מ' על 1 מ' נכנסים 2 אריחים לאורך ו־2 אריחים לרוחב, כלומר $2 \cdot 2 = 4$ אריחים בכל מ"ר.

השטח הוא 18 מ"ר, ולכן צריך $18 \cdot 4 = 72$ אריחים.

דרך ב (בסמ"ר): שטח אריח אחד: $50 \cdot 50 = 2{,}500$ סמ"ר.

שטח הרצפה: $18 \cdot 10{,}000 = 180{,}000$ סמ"ר.

מספר האריחים: $180{,}000 : 2{,}500 = 1{,}800 : 25 = 72$.

דרך ג (לפי המלבנים): במלבן התחתון (6 מ' על 2 מ') נכנסים $12 \cdot 4 = 48$ אריחים, ובמלבן העליון (3 מ' על 2 מ') נכנסים $6 \cdot 4 = 24$ אריחים. יחד $48 + 24 = 72$.

טעות נפוצה: לחשוב שבכל מ"ר נכנסים 2 אריחים (כי "50 ס"מ זה חצי מטר") ולקבל 36. צריך לזכור שהאריח הוא חצי מטר גם באורך וגם ברוחב.

התשובה: 30 ק"ג.

לפי המקרא, העמודות של כיתה ו2 הן העמודות הכתומות המקווקוות.

מוצאים את הזוג של שבוע 3. העמודה הכתומה מגיעה לקו של 30.

לכן כיתה ו2 אספה בשבוע 3 30 ק"ג.

טעות נפוצה: לקרוא את העמודה הכחולה (של כיתה ו1) – 40 ק"ג.

התשובה הנכונה: בשבוע 2.

קוראים את הנתונים מהדיאגרמה ומחשבים את ההפרש בכל שבוע:

רק בשבוע 2: $50 - 35 = 15$ ✓.

למה לא בשבוע 1? בשבוע 1 ההפרש הוא רק $45 - 40 = 5$ ק"ג.

למה לא בשבוע 3? בשבוע 3 ההפרש הוא $40 - 30 = 10$ ק"ג. מי שבחר בו אולי קרא את עמודת ו2 כ־25.

למה לא בשבוע 4? בשבוע 4 דווקא כיתה ו2 אספה יותר: $75 - 25 = 50$ ק"ג.

התשובה הנכונה: 40 ק"ג.

ממוצע = סכום כל הנתונים לחלק למספר הנתונים.

כיתה ו1 אספה: 45, 50, 40, 25.

הסכום: $45 + 50 + 40 + 25 = 160$ ק"ג.

מספר השבועות: 4.

הממוצע: $160 : 4 = 40$ ק"ג בשבוע.

למה לא 160 ק"ג? זה הסכום של כל 4 השבועות. שכחו לחלק במספר השבועות.

למה לא 37.5 ק"ג? זה האמצע בין הכמות הגדולה ביותר לקטנה ביותר: $(50 + 25) : 2 = 37.5$. כך לא מחשבים ממוצע – צריך לחבר את כל הנתונים.

למה לא 32 ק"ג? חילקו את 160 ב־5 במקום ב־4. יש 4 שבועות, ולכן מחלקים ב־4.

התשובה: לא.

כדי לדעת איזו כיתה אספה יותר נייר בתחרות, צריך להשוות את כל הכמות של כל כיתה, ולא רק לספור באיזה שבוע כל כיתה ניצחה.

כיתה ו1: $45 + 50 + 40 + 25 = 160$ ק"ג.

כיתה ו2: $40 + 35 + 30 + 75 = 180$ ק"ג.

$180 > 160$, ולכן כיתה ו2 אספה יותר נייר – 20 ק"ג יותר.

נכון שכיתה ו1 אספה יותר ב־3 שבועות, אבל שם ההפרשים קטנים (5, 15, 10 – יחד 30 ק"ג), ובשבוע 4 כיתה ו2 אספה 50 ק"ג יותר.

אפשר להשוות גם בממוצעים: לכיתה ו1 ממוצע של $160 : 4 = 40$ ק"ג בשבוע, ולכיתה ו2 ממוצע של $180 : 4 = 45$ ק"ג בשבוע.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. כיתה ו1 אספה בסך הכול 160 ק"ג וכיתה ו2 אספה 180 ק"ג. בשבוע 4 כיתה ו2 אספה הרבה יותר, וזה יותר מכל ההפרשים של השבועות האחרים."

התשובה: ו1 – 400 ק"ג; ו2 – 180 ק"ג; ו3 – 420 ק"ג.

ו1: $\frac{1}{3}$ מ־1,200: $1{,}200 : 3 = 400$ ק"ג.

ו2: $15\%$ מ־1,200: $10\%$ מ־1,200 הם $1{,}200 : 10 = 120$, ו־$5\%$ הם חצי מזה, 60. לכן $15\%$ הם $120 + 60 = 180$ ק"ג.

(דרך נוספת: $1\%$ מ־1,200 הוא 12, ו־$15 \cdot 12 = 180$.)

ו3: $0.35 = \frac{35}{100} = 35\%$. $1\%$ מ־1,200 הוא 12, ולכן $35\%$ הם $35 \cdot 12 = 420$ ק"ג.

($35 \cdot 12$: $30 \cdot 12 = 360$, $5 \cdot 12 = 60$, $360 + 60 = 420$. דרך נוספת: $30\%$ הם 360 ו־$5\%$ הם 60, יחד 420.)

התשובה: 200 ק"ג, שהם $\frac{1}{6}$ מכל הפסולת.

שלב 1 – כמה אספו ו1, ו2 ו־ו3 יחד: $400 + 180 + 420 = 1{,}000$ ק"ג.

שלב 2 – כמה נשאר לכיתה ו4: $1{,}200 - 1{,}000 = 200$ ק"ג.

שלב 3 – החלק: $\frac{200}{1{,}200}$. מצמצמים ב־200: $\frac{1}{6}$.

דרך נוספת בעזרת שברים: ו2 ו־ו3 יחד אספו $15\% + 35\% = 50\% = \frac{1}{2}$.

עם ו1: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

לכיתה ו4 נשארו $1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$, ו־$\frac{1}{6}$ מ־1,200 הם $1{,}200 : 6 = 200$ ק"ג.

התשובה: לא.

ו2 ו־ו3 יחד אספו $180 + 420 = 600$ ק"ג.

מחצית מכל הפסולת היא $1{,}200 : 2 = 600$ ק"ג.

600 שווה למחצית – לא יותר ממחצית. לכן אופיר לא צודק.

אפשר להסביר גם בלי ק"ג: $15\% + 0.35 = 15\% + 35\% = 50\%$, וזה בדיוק חצי.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "לא. ו2 אספה 15% ו־ו3 אספה 0.35, שזה 35%. יחד 50%, כלומר בדיוק חצי ולא יותר מחצי."