שאלות פתוחות: דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובה - כיתה י"א 3 יח"ל

דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס לכיתה י"א, 3 יחידות: צל, עמודים ומדידת גובה. התלמידים מחשבים גובה של עמוד או עץ לפי הצל שלו ושל מקל, אורך צל של אדם שעומד ליד פנס, גובה בניין בעזרת מראה על הקרקע, וגובה עץ בעזרת משולש נגרים. יש גם עמוד חשמל עם כבל ועוגן, וגג של מחסן שעמוד אנכי יורד בו לבסיס. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מכאן אפשר להרכיב מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים להורדה.

29 שאלותקלה: 5בינונית: 18קשה: 6

שאלה 1 · דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובהשאלה קצרה · קלה

מוט אנכי שגובהו 1.51.51.5 מטר מטיל צל שאורכו 222 מטר, ובאותו רגע עמוד אנכי מטיל צל שאורכו 121212 מטר. בשעה מאוחרת יותר אורך הצל של המוט 2.52.52.5 מטר.

א.

חשבו את גובה העמוד.

ב.

מה יהיה אורך הצל של העמוד בשעה המאוחרת?

שאלה 2 · דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובהשאלה קצרה · בינונית

עמוד חשמל אנכי ABABAB עומד על קרקע מישורית, וגובהו AB=6AB=6AB=6 מטר. מראש העמוד AAA מתוח כבל ישר אל עוגן בקרקע בנקודה EEE, ואורך הכבל AE=10AE=10AE=10 מטר. במרחק BD=5BD=5BD=5 מטר מבסיס העמוד הוצב עמוד תמיכה אנכי CDCDCD, שקצהו העליון CCC נוגע בכבל (ראו סרטוט).
BADEC

חשבו את גובה עמוד התמיכה CDCDCD.

שאלה 3 · דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובהשאלה קצרה · קשה

בלילה עמדה נועה, שגובהה 1.61.61.6 מטר, על מדרכה ישרה במרחק 333 מטר מעמוד אנכי שבראשו פנס. הצל שלה נופל בכיוון הרחק מהעמוד, ואורכו (מהרגליים עד קצה הצל) 222 מטר.

א.

חשבו את גובה הפנס מעל המדרכה.

ב.

נועה התרחקה מהעמוד עוד 333 מטר לאורך אותו קו. חשבו את אורך הצל שלה עכשיו.

שאלה 4 · דמיון משולשים: תורן, חבל וילד מתחתיושאלה מלאה · קלה

תורן AB ניצב על הקרקע בנקודה B. מראש התורן, הנקודה A, מתוח חבל ישר אל יתד בקרקע בנקודה E (ראו ציור).
גובה התורן (AB) הוא 4.8 מטרים, והמרחק BE הוא 6.4 מטרים.
ילד עומד זקוף בנקודה D, במרחק 4.4 מטרים מן התורן (BD), וראשו C נוגע בדיוק בחבל.
BAEDC

א.

הסבירו מדוע המשולשים ABE ו-CDE דומים.

ב.

מהו יחס הדמיון בין המשולש CDE למשולש ABE?

ג.

מהו הגובה של הילד (CD)?

ד.

מהו המרחק בין ראש הילד ליתד (CE)?

שאלה 5 · דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובהשאלה קצרה · בינונית

גג של מחסן הוא משולש ABCABCABC שהזווית בקודקוד העליון שלו ישרה (∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘). מהקודקוד AAA יורד עמוד אנכי ADADAD אל קורת הבסיס BCBCBC (AD⊥BCAD\perp BCAD⊥BC), ומחלק אותה לקטעים BD=4BD=4BD=4 מטר ו-DC=9DC=9DC=9 מטר (ראו סרטוט).
BCDA

א.

הוכיחו כי △DBA∼△DAC\triangle DBA\sim\triangle DAC△DBA∼△DAC.

ב.

חשבו את אורך העמוד ADADAD.

שאלה 6 · מראה שזזה: גובה הפגיעה של קרן לייזר בבנייןשאלה מלאה · קשה

נועה עומדת בנקודה AAA, במרחק 150 מטרים מבניין. הנקודה CCC נמצאת בתחתית הבניין. נועה מניחה מראה על הקרקע בנקודה BBB שעל הקטע ACACAC, ומכוונת קרן לייזר מנקודה DDD, בגובה 1.5 מטרים מעל AAA, אל המראה. הקרן פוגעת במראה ומוחזרת אל קיר הבניין CECECE (ראו סרטוט; הסרטוט אינו בקנה מידה).
נתון: AD⊥ACAD\perp ACAD⊥AC, EC⊥ACEC\perp ACEC⊥AC, והקרן מוחזרת מהמראה כך שהזווית שבין הקרן הפוגעת לקרקע שווה לזווית שבין הקרן המוחזרת לקרקע.
ABCDE

א.

כשהמראה במרחק 3 מטרים מנועה, הקרן פוגעת בדיוק בקצה הגג, EEE. הוכיחו כי △CBE∼△ABD\triangle CBE\sim\triangle ABD△CBE∼△ABD, ומצאו את גובה הבניין.

ב.

נועה הזיזה את המראה מטר אחד לכיוון הבניין (היא עצמה לא זזה). באיזה גובה תפגע הקרן בקיר הבניין?

ג.

על קיר הבניין, בגובה 36 מטרים, מותקן חיישן. נועה לא זזה ממקומה. באיזה מרחק ממנה עליה להניח את המראה, כדי שהקרן תפגע בחיישן?

ד.

מהו המרחק הקטן ביותר מנועה שבו אפשר להניח את המראה על הקטע ACACAC, כך שהקרן תפגע בקיר הבניין ולא תעבור מעל הגג? נמקו.

שאלה 7 · דמיון משולשים: מקל, עץ וצל בשמששאלה מלאה · קלה

ביום שמש, מקל אנכי MNMNMN שגובהו 1.51.51.5 מ' מטיל על הקרקע צל MPMPMP שאורכו 222 מ'. באותו רגע עץ אנכי ABABAB מטיל צל BEBEBE שאורכו 121212 מ'. קרני השמש מקבילות זו לזו (ראו סרטוט).
NMPABE

א.

הסבירו מדוע △NMP∼△ABE\triangle NMP\sim\triangle ABE△NMP∼△ABE.

ב.

מה גובה העץ?

ג.

באיזו זווית פוגעות קרני השמש בקרקע?

ד.

מה המרחק מראש העץ לקצה הצל שלו (AEAEAE)?

שאלה 8 · דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובהשאלה קצרה · בינונית

שירה מעריכה את הגובה של עץ בעזרת משולש נגרים (כלי עם זווית ישרה). היא עומדת על קרקע מישורית ומחזיקה את הכלי צמוד לעין, בנקודה EEE. דרך צלע אחת של הזווית הישרה היא רואה את ראש העץ TTT, ודרך הצלע השנייה את בסיס העץ BBB, כך ש-∠TEB=90∘\angle TEB=90^\circ∠TEB=90∘. הנקודה KKK על גזע העץ נמצאת בגובה העיניים: EKEKEK אופקי ומאונך לגזע, EK=6EK=6EK=6 מטר ו-KB=1.5KB=1.5KB=1.5 מטר (ראו סרטוט).
EKBT

א.

הוכיחו כי △EKB∼△TKE\triangle EKB\sim\triangle TKE△EKB∼△TKE.

ב.

חשבו את גובה העץ.

שאלה 9 · דמיון משולשים: גובה המנורה משתי עמדותשאלה מלאה · קשה

אדם שגובהו 1.81.81.8 מ' עומד ליד עמוד תאורה, והצל שהמנורה מטילה ממנו הוא באורך 2.42.42.4 מ'. האדם מתרחק מהעמוד עוד 555 מ' בקו ישר, ועכשיו אורך הצל שלו 3.63.63.6 מ'. העמוד והאדם מאונכים לקרקע.
ABCDEKLF
AAA - המנורה, BBB - בסיס העמוד. CDCDCD ו-KLKLKL - האדם בעמדה הראשונה ובעמדה השנייה, EEE ו-FFF - קצות הצל בהתאמה. (הסרטוט אינו בקנה מידה.)

א.

מה היה המרחק של האדם מעמוד התאורה בעמדה הראשונה?

ב.

מה גובה המנורה?

ג.

מה הזווית שבה רואים את המנורה מקצה הצל בעמדה השנייה?

ד.

באיזה מרחק מעמוד התאורה צריך האדם לעמוד כדי שאורך הצל שלו יהיה שווה לגובהו?

שאלה 10 · מראה על הקרקע: יחס דמיון וגובה עמודשאלה מלאה · קלה

יואב מניח מראה על הקרקע בנקודה RRR, כדי למדוד את גובה העמוד TSTSTS. הוא עומד כך שהוא רואה במראה את ראש העמוד.
גובה העיניים של יואב (PQPQPQ) הוא 1.6 מ'. המרחק בין יואב למראה (QRQRQR) הוא 2.4 מ', והמרחק בין המראה לעמוד (RSRSRS) הוא 36 מ'.
נתון: ∠PRQ=∠TRS\angle PRQ=\angle TRS∠PRQ=∠TRS.
(הסרטוט אינו בקנה מידה.)
QPRST

א.

הסבירו מדוע משולש PRQPRQPRQ דומה למשולש TRSTRSTRS.

ב.

מצאו את יחס הדמיון בין משולש TRSTRSTRS למשולש PRQPRQPRQ.

ג.

מצאו את גובה העמוד TSTSTS.

ד.

מצאו את המרחק בין ראש העמוד TTT למראה RRR.

עוד 15 שאלות על דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובה (שאלה קצרה · בינונית)
סולם כבאים $AB$ שאורכו $13$ מטר נשען על קיר אנכי של בניין: הקצה $A$ על הקיר, והקצה $B$ על הקרקע, במרחק $BC=5$ מטר מבסיס הקיר $C$ . בגובה $4$ …
שתי מדידות במראה: גובה בניין ומרחק לא ידוע (שאלה מלאה · קשה)
נוי רוצה למצוא את גובה בניין ( $TB$ ) בעזרת מראה קטנה, בלי למדוד את המרחק עד הבניין. בפעם הראשונה הניחה את המראה על הקרקע בנקודה $R$ , ועמדה…
גובה עץ לפי הצל שלו וצל של מקל (שאלה קצרה · קלה)
ביום שמש, מקל אנכי $MN$ שגובהו $1.5$ מ' מטיל על הקרקע צל $MP$ שאורכו $2$ מ'. באותו רגע עץ אנכי $AB$ מטיל צל $BE$ שאורכו $12$ מ'. קרני השמש…
דמיון משולשים: עמוד אוהל, חבל ומוט תמיכה (שאלה מלאה · בינונית)
באתר קמפינג הציבו עמוד אנכי AB לאוהל גדול (B על הקרקע). מראש העמוד, הנקודה A, מתחו חבל ישר אל יתד בקרקע בנקודה E (ראו ציור). גובה העמוד (AB)…
מיקום מראה כך שקרן לייזר תפגע בחיישן (שאלה קצרה · קשה)
נועה עומדת בנקודה $A$ , במרחק 150 מטרים מבניין. הנקודה $C$ נמצאת בתחתית הבניין. נועה מניחה מראה על הקרקע בנקודה $B$ שעל הקטע $AC$ , ומכוונת…
דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובה (שאלה קצרה · בינונית)
באותה שעה ביום מטילים עץ ומקל אנכי צל על קרקע מישורית. אורך המקל 1.5 מטרים, ואורך הצל שלו 2 מטרים. אורך הצל של העץ 12 מטרים.
אדם ליד עמוד תאורה בשתי עמדות: מרחק, גובה המנורה וצל שווה לגובה (שאלת ביניים · קשה)
אדם שגובהו $1.8$ מ' עומד ליד עמוד תאורה, והצל שהמנורה מטילה ממנו הוא באורך $2.4$ מ'. האדם מתרחק מהעמוד עוד $5$ מ' בקו ישר, ועכשיו אורך הצל…
מדידת גובה מגדל מים במראה: משולשים דומים (שאלה מלאה · בינונית)
יואב מדד את הגובה של מגדל מים. הנקודה $C$ נמצאת בתחתית המגדל. יואב הניח מראה על הקרקע בנקודה $B$ , המרוחקת 96 מטרים מן הנקודה $C$ . יואב נעמד…
דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובה (שאלה קצרה · בינונית)
בשעה מסוימת עמוד שגובהו 1.8 מטרים מטיל על הקרקע צל שאורכו 2.4 מטרים. באותה שעה עץ מטיל על הקרקע צל שאורכו 14 מטרים. העמוד והעץ ניצבים לקרקע,…
דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובה (שאלה קצרה · בינונית)
בשעה מסוימת עמוד שגובהו 2.4 מטרים מטיל על הקרקע צל שאורכו 1.8 מטרים. באותה שעה בניין מטיל על הקרקע צל שאורכו 15 מטרים. העמוד ( $PQ$ ) והבניין…
דמיון משולשים: צל של ילד ליד פנס (שאלה מלאה · בינונית)
ילד שגובהו $1.6$ מ' עומד במרחק $9$ מ' מעמוד שבראשו פנס. גובה הפנס מעל הקרקע הוא $6.4$ מ' (ראו סרטוט). $A$ - הפנס, $B$ - בסיס העמוד, $D$ -…
דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובה (שאלה קצרה · בינונית)
נועה רוצה למדוד את גובה הבניין שליד ביתה. היא מניחה מראה קטנה על הקרקע, במרחק $16$ מ' מבסיס הבניין, ומתרחקת מהמראה לאחור עד שהיא רואה במראה…
מראה על הקרקע: משולשים דומים ומשפט פיתגורס (שאלה מלאה · בינונית)
דנה רוצה לראות את ראש הבניין שמול ביתה. היא מניחה מראה קטנה על הקרקע, בנקודה $R$ , ועומדת כך שהיא רואה במראה את ראש הבניין $T$ . המרחק ( $QS$ )…
דמיון במשולשים ישרי זווית ומשפט פיתגורס: צל, עמודים ומדידת גובה (שאלה קצרה · בינונית)
באותה שעה ביום, אדם שגובהו 1.8 מ' מטיל צל באורך 1.2 מ', ועץ מטיל צל באורך 7.6 מ'. האדם והעץ עומדים ניצבים לקרקע מישורית, וקרני השמש מקבילות.
מדידה מעבר לנהר: פיתגורס, יחס הדמיון ומרחק לעץ (שאלת ביניים · בינונית)
עומר רוצה למדוד מרחקים מעבר לנהר בלי לחצות אותו. על הגדה הנגדית של הנהר יש עץ בנקודה $A$ . עומר עמד בנקודה $B$ שעל הגדה הקרובה, מול העץ ( $AB$ …

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

דמיון משולשים: הגשה בטניס מעל הרשת · בגרות 371 חורף 2022, שאלה 4
שחקנית טניס עומדת בנקודה B. היא מגישה את הכדור מן הנקודה A, שגובהה (AB) הוא 2.25 מטרים. בנקודה D עומדת רשת אנכית. גובה הרשת הוא CD. המרחק בין השחקנית המגישה…
מדידת גובה בניין במראה: משולשים דומים · בגרות 371 חורף 2023, שאלה 3
רוני מדדה את הגובה של בניין מסוים. הנקודה $C$ נמצאת בתחתית הבניין. רוני הניחה מראה על הקרקע בנקודה $B$ , המרוחקת 280 מטרים מן הנקודה $C$ . רוני נעמדה בנקודה $A$ ,…
דמיון משולשים: צל של אדם ליד עמוד תאורה · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 2
אדם, שגובהו $1.75$ מ', מתרחק מעמוד תאורה מרחק של $8$ מ'. הגובה של המנורה הוא $8.75$ מ' (ראו סרטוט). $A$ - המנורה, $B$ - בסיס העמוד, $D$ - ראש האדם, $C$ - כפות…
השתקפות מגדל במים: משולשים דומים ומשפט פיתגורס · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 3
שלומי צילם את השתקפותו של מגדל אייפל במים, בנקודה $A$ . בזמן הצילום, שלומי היה במרחק ( $BC$ ) של 1,206 מ' ממגדל אייפל. הגובה של מגדל אייפל ( $NB$ ) הוא 324 מ',…