שאלות פתוחות: הגדרת משולשים דומים ויחס הדמיון - כיתה י"א 3 יח"ל

הגדרת משולשים דומים ויחס הדמיון, שאלות לכיתה י"א 3 יחידות. התלמידים מזהים התאמה בין צלעות, מחשבים את יחס הדמיון ומוצאים אורכים חסרים במצבים כמו תליון שמוזמן בגודל אחר, לוגו בשני גדלים, שני אוהלים, דגלונים לקישוט כיתה, ותורן עם חבל מתוח ליתד. יש גם משולש שקטע מחלק לשני משולשים, ובו מחליטים איזה מהם דומה למשולש המקורי. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. בחרו מכאן שאלות למבחן או לדף עבודה, וקבלו אותן עם פתרונות מלאים.

44 שאלותקלה: 11בינונית: 31קשה: 2

שאלה 1 · דמיון משולשים: מעמד עם מדף בגובה נתוןשאלה מלאה · קלה

רועי בונה מעמד בצורת משולש שווה שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC), ובו קורה אנכית AGAGAG שאורכה 36 ס"מ, המאונכת למדף התחתון BCBCBC. אורך המדף התחתון BCBCBC הוא 54 ס"מ.
המדף הפנימי DEDEDE מקביל ל-BCBCBC וחותך את AGAGAG בנקודה FFF, כך ש-AF=24AF=24AF=24 ס"מ (ראו סרטוט). המשולש ADEADEADE גם הוא שווה שוקיים (AD=AEAD=AEAD=AE).
ABCGFDE

א.

הסבירו מדוע BG=27BG=27BG=27 ס"מ, וחשבו את אורך הקורה ABABAB.

ב.

הסבירו מדוע ∠AFD=∠AGB\angle AFD=\angle AGB∠AFD=∠AGB, והוכיחו כי המשולשים ADFADFADF ו-ABGABGABG דומים.

ג.

הראו כי יחס הדמיון בין המשולש ADFADFADF ובין המשולש ABGABGABG הוא 23\frac2332​.

ד.

חשבו את אורך המדף DEDEDE.

ה.

רועי רוצה להעמיד במרכז המדף התחתון אגרטל שגובהו 13 ס"מ.

האם האגרטל ייכנס בין המדפים? נמקו.

שאלה 2 · הגדרת משולשים דומים ויחס הדמיוןשאלה קצרה · בינונית

משפחה הקימה שני אוהלים. הפתח של כל אוהל הוא משולש שווה שוקיים: באוהל הגדול △ABC\triangle ABC△ABC (AB=ACAB=ACAB=AC) ובאוהל הקטן △EFG\triangle EFG△EFG (EF=EGEF=EGEF=EG). המשולשים דומים, ויחס הדמיון בין הפתח הגדול לפתח הקטן הוא 3:23:23:2. אורך הבסיס של הפתח הקטן FG=1.2FG=1.2FG=1.2 מטר. בפתח הגדול יש רוכסן ADADAD המאונך לבסיס BCBCBC, ואורכו 2.162.162.16 מטר (ראו סרטוט).
BCAFGED

א.

חשבו את אורך השוק EFEFEF של הפתח הקטן.

ב.

בד הפתח הקטן נקרע. האם בד ששטחו 0.70.70.7 מ"ר יספיק כדי להחליף אותו? נמקו.

שאלה 3 · הגדרת משולשים דומים ויחס הדמיוןשאלה קצרה · קשה

צורף מכין תליון שצורתו משולש שאורכי צלעותיו 444 מ"מ, 666 מ"מ ו-888 מ"מ. לקוחה הזמינה תליון שצורתו משולש הדומה לו, וביקשה שאחת הצלעות שלו תהיה באורך 121212 מ"מ, בלי לציין איזו.

מה יכול להיות אורכה של הצלע הארוכה ביותר בתליון שהזמינה? מצאו את כל האפשרויות.

שאלה 4 · דמיון משולשים: תורן, חבל וילד מתחתיושאלה מלאה · קלה

תורן AB ניצב על הקרקע בנקודה B. מראש התורן, הנקודה A, מתוח חבל ישר אל יתד בקרקע בנקודה E (ראו ציור).
גובה התורן (AB) הוא 4.8 מטרים, והמרחק BE הוא 6.4 מטרים.
ילד עומד זקוף בנקודה D, במרחק 4.4 מטרים מן התורן (BD), וראשו C נוגע בדיוק בחבל.
BAEDC

א.

הסבירו מדוע המשולשים ABE ו-CDE דומים.

ב.

מהו יחס הדמיון בין המשולש CDE למשולש ABE?

ג.

מהו הגובה של הילד (CD)?

ד.

מהו המרחק בין ראש הילד ליתד (CE)?

שאלה 5 · הגדרת משולשים דומים ויחס הדמיוןשאלה קצרה · בינונית

חברה מדפיסה לוגו שצורתו משולש בשני גדלים: △ABC\triangle ABC△ABC על כרטיס ביקור ו-△DEF\triangle DEF△DEF על מעטפה. המשולשים דומים, △ABC∼△DEF\triangle ABC\sim\triangle DEF△ABC∼△DEF (בהתאמה זו). אורך הצלע ABABAB קטן ב-20%20\%20% מאורך הצלע DEDEDE.

בכמה אחוזים אורך הצלע EFEFEF גדול מאורך הצלע BCBCBC?

שאלה 6 · משולש דומה לחלק ממנו: התאמה לפי סדר האותיותשאלת ביניים · קשה

במשולש ABCABCABC הנקודה DDD נמצאת על הצלע ABABAB, והקטע CDCDCD מחלק את המשולש לשני משולשים (ראו סרטוט).
נתון: AB=16AB=16AB=16 ס"מ, AC=12AC=12AC=12 ס"מ, BC=14BC=14BC=14 ס"מ.
המשולש ACDACDACD דומה למשולש ABCABCABC בהתאמה זו: △ACD∼△ABC\triangle ACD\sim\triangle ABC△ACD∼△ABC.
ABCD

א.

כתבו אילו צלעות מתאימות זו לזו בשני המשולשים, ואיזו זווית של המשולש ABCABCABC שווה לזווית ∠ACD\angle ACD∠ACD. מצאו את יחס הדמיון בין המשולש ACDACDACD למשולש ABCABCABC.

ב.

מצאו את אורכי הקטעים ADADAD ו-DBDBDB.

ג.

מצאו את אורך הקטע CDCDCD, ובדקו אם המשולש BCDBCDBCD דומה למשולש ABCABCABC. נמקו.

שאלה 7 · דמיון משולשים: שני דגלוניםשאלה מלאה · קלה

לקישוט כיתה תפרו שני דגלונים בצורת משולשים שווי שוקיים.
הדגלון הגדול הוא משולש ABCABCABC: אורך השוק AB=AC=50AB=AC=50AB=AC=50 ס"מ ואורך הבסיס BC=40BC=40BC=40 ס"מ.
הדגלון הקטן הוא משולש DEFDEFDEF: אורך השוק DE=DF=30DE=DF=30DE=DF=30 ס"מ.
זוויות הראש של שני הדגלונים שוות: ∠A=∠D\angle A=\angle D∠A=∠D.
BCAEFD

א.

הסבירו מדוע המשולשים ABCABCABC ו-DEFDEFDEF דומים.

ב.

מצאו את יחס הדמיון של המשולש הקטן למשולש הגדול.

ג.

מצאו את אורך הבסיס EFEFEF של הדגלון הקטן.

ד.

את שולי הדגלונים מקיפים בסרט. מהו האורך הכולל של הסרט הדרוש לשני הדגלונים?

שאלה 8 · הגדרת משולשים דומים ויחס הדמיוןשאלה קצרה · בינונית

בתוכנית של מבנה יש שני משולשים עם צלע משותפת BCBCBC. נתון: △ABC∼△CDB\triangle ABC\sim\triangle CDB△ABC∼△CDB (בהתאמה זו), AB=4AB=4AB=4 מטר, BC=5BC=5BC=5 מטר ו-CD=3CD=3CD=3 מטר.

א.

מצאו את יחס הדמיון בין △ABC\triangle ABC△ABC ל-△CDB\triangle CDB△CDB.

ב.

חשבו את אורכי הצלעות ACACAC ו-BDBDBD.

שאלה 9 · משולשים ישרי זווית דומים: אריחים לקירשאלה מלאה · קלה

אמן מכין פסיפס משני סוגים של אריחים בצורת משולשים ישרי זווית הדומים זה לזה (ראו סרטוט).
האריח הקטן הוא בצורת המשולש ABCABCABC (∠B=90∘\angle B=90^\circ∠B=90∘), שבו AB=6AB=6AB=6 ס"מ ו-BC=8BC=8BC=8 ס"מ.
האריח הגדול הוא בצורת המשולש DEFDEFDEF (∠E=90∘\angle E=90^\circ∠E=90∘). הצלע DEDEDE מתאימה לצלע ABABAB, והצלע EFEFEF מתאימה לצלע BCBCBC. נתון: DE=7.5DE=7.5DE=7.5 ס"מ.
BACEDF

א.

מצאו את השטח של אריח קטן.

ב.

מהו יחס הדמיון בין האריח הגדול לאריח הקטן?

ג.

מצאו את אורך הצלע EFEFEF, ואת השטח של אריח גדול.

ד.

הראו כי היחס בין השטח של אריח גדול לשטח של אריח קטן שווה לריבוע יחס הדמיון.

ה.

האמן כיסה באריחים קיר ששטחו 1,230 סמ"ר, והשתמש במספר שווה של אריחים קטנים וגדולים.

בכמה אריחים מכל סוג השתמש האמן?

שאלה 10 · משולשים דומים: גינה וערוגת פרחיםשאלה מלאה · בינונית

גנן מתכנן גינה שצורתה משולש ישר זווית KLMKLMKLM (∠KLM=90∘\angle KLM=90^\circ∠KLM=90∘).
אורך הצלע הארוכה ביותר של הגינה (KMKMKM) הוא 12.5 מטר, ואורך הצלע הקצרה ביותר (KLKLKL) הוא 3.5 מטר.
KLMPQR

א.

חשבו את אורך הצלע הבינונית של הגינה (LMLMLM).

ב.

בתוך הגינה תכנן הגנן ערוגת פרחים שצורתה משולש ישר זווית PQRPQRPQR (∠PQR=90∘\angle PQR=90^\circ∠PQR=90∘).
הגינה והערוגה הן משולשים דומים (△PQR∼△KLM\triangle PQR\sim\triangle KLM△PQR∼△KLM), ∠P=∠K\angle P=\angle K∠P=∠K.
אורך הצלע הארוכה ביותר של הערוגה (PRPRPR) הוא 5 מטר.

(1)

פי כמה גדולה הצלע הארוכה ביותר של הגינה מן הצלע הארוכה ביותר של הערוגה?

(2)

חשבו את אורך הצלע הקצרה ביותר של הערוגה (PQPQPQ).

(3)

חשבו את אורך הצלע הבינונית של הערוגה (QRQRQR).

ג.

הגנן החליט להקיף את הערוגה בגדר נמוכה לאורך כל היקפה.
המחיר של 1 מטר גדר הוא 45 שקלים.

(1)

מהו אורך הגדר הדרוש להקפת הערוגה?

(2)

כמה שקלים ישלם הגנן בעבור הגדר?

עוד 24 שאלות על הגדרת משולשים דומים ויחס הדמיון

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

דמיון משולשים: שני שלטים - צלעות מתאימות ויחס השטחים (שאלה מלאה · קלה)
שני שלטים בצורת משולשים ישרי זווית הם משולשים דומים: $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ ( $\angle B=\angle E=90^\circ$ ), כמתואר בסרטוט. הצלע…
דמיון משולשים: קורה בגג מחסן (שאלה מלאה · בינונית)
החתך של גג מחסן הוא משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). רצפת עליית הגג היא $BC$ , ואורכה 6.4 מטר. עמוד אנכי $AG$ , שאורכו 2.4 מטר, תומך בקודקוד…
דמיון משולשים: קו מקביל בשלט משולש (שאלה מלאה · קלה)
שלט שצורתו משולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle B=90^\circ$ ). הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ , והנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ , כך ש-…
משולשים דומים: דגלונים שווי שוקיים מבד (שאלה מלאה · בינונית)
תופרת גוזרת מבד דגלונים לקישוט. היא משתמשת בשתי תבניות בצורת משולשים שווי שוקיים הדומים זה לזה (ראו סרטוט). התבנית הקטנה היא בצורת המשולש…
משולשים דומים: תליון משולש עם חור (שאלה מלאה · קלה)
תכשיטנית הכינה תליון בצורת משולש שווה צלעות $ABC$ . במרכז התליון היא חתכה חור בצורת משולש שווה צלעות $DEF$ ( $EF\parallel BC$ ), כמתואר בסרטוט.…
מדידת גובה מגדל מים במראה: משולשים דומים (שאלה מלאה · בינונית)
יואב מדד את הגובה של מגדל מים. הנקודה $C$ נמצאת בתחתית המגדל. יואב הניח מראה על הקרקע בנקודה $B$ , המרוחקת 96 מטרים מן הנקודה $C$ . יואב נעמד…
דמיון משולשים: מסוע במפעל (שאלה מלאה · קלה)
במפעל הותקן מסוע משופע $AB$ . המסוע מתחיל בנקודה $A$ שעל הרצפה ומסתיים בנקודה $B$ . $BC$ ו- $DE$ הם עמודים מאונכים לרצפה, הנקודה $D$ נמצאת על…
דמיון משולשים: שתי מדשאות - צלעות, שטח ומחיר (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק יש שתי מדשאות בצורת משולשים ישרי זווית ( $\angle E=\angle B=90^\circ$ ), כמתואר בסרטוט. המדשאה הגדולה ( $\triangle ABC$ ) והמדשאה הקטנה…
מראה על הקרקע: יחס דמיון וגובה עמוד (שאלה מלאה · קלה)
יואב מניח מראה על הקרקע בנקודה $R$ , כדי למדוד את גובה העמוד $TS$ . הוא עומד כך שהוא רואה במראה את ראש העמוד. גובה העיניים של יואב ( $PQ$ ) הוא…
דמיון משולשים בציור קיר מלבני: יחס, צלע ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
על קיר שצורתו מלבן $ABCD$ מציירים ציור. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ , והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $CD$ . את שני המשולשים $ABE$ ו- $ECF$ צבעו…
דמיון משולשים: כיסא מתקפל, צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)
כיסא מתקפל בנוי משתי רגליים ישרות, $AD$ ו- $BE$ , הנחתכות בנקודה $C$ . המושב $AB$ מקביל לרצפה, ו- $ED$ הוא קו על הרצפה.
משולשים דומים: חלון משולש עם מסגרת (שאלה מלאה · בינונית)
בחזית של בית יש חלון בצורת משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). בתוך החלון מותקנת זכוכית בצורת משולש שווה שוקיים $DEF$ ( $DE=DF$ ). הצלע $EF$ …
יחס הדמיון בין שני משולשים שווי שוקיים (שאלה קצרה · קלה)
לקראת יום העצמאות מכינים שרשרת של דגלונים. כל דגלון הוא משולש שווה שוקיים $EFG$ , ומתוכו גוזרים ומוציאים משולש קטן $ABC$ , שגם הוא שווה שוקיים…
משולשים דומים: קיר טיפוס בצורת הר (שאלה מלאה · בינונית)
במרכז טיפוס בנו קיר טיפוס בצורת הר: משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הבסיס $BC$ נמצא על הרצפה. החלק העליון של הקיר, המשולש $ADE$ , צבוע…
דמיון משולשים: מגלשה בפארק מים (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק מים בנו מגלשה ישרה. המגלשה מתחילה בנקודה $B$ שבראש מגדל ומסתיימת בנקודה $A$ שעל הקרקע. הנקודה $D$ נמצאת על הקטע $AB$ . המגדל $BC$ ועמוד…
דמיון משולשים: מדידת הרוחב של נהר (שאלה מלאה · בינונית)
עומר רוצה למדוד את הרוחב של נהר בלי לחצות אותו. על הגדה הנגדית של הנהר יש עץ בנקודה $A$ . עומר עמד בנקודה $B$ שעל הגדה הקרובה, מול העץ ( $AB$ …
משולשים שווי שוקיים דומים: קישוט תאורה (שאלה מלאה · בינונית)
על החזית של אולם אירועים התקינו קישוט תאורה (ראו סרטוט). בבסיס הקישוט יש קורת עץ ישרה $BE$ . לקישוט יש ארבעה פסי תאורה $AB$ , $AC$ , $DC$ , $DE$ …
משולשים שווי שוקיים דומים: פסל בצורת שעון חול (שאלה מלאה · בינונית)
בכיכר העיר הציבו פסל מתכת בצורת שעון חול (ראו סרטוט). הפסל בנוי מארבעה מוטות משופעים $AB$ , $AC$ , $AD$ , $AE$ ומשני מוטות אופקיים: $BC$ מונח…
מראה על הקרקע: משולשים דומים ומשפט פיתגורס (שאלה מלאה · בינונית)
דנה רוצה לראות את ראש הבניין שמול ביתה. היא מניחה מראה קטנה על הקרקע, בנקודה $R$ , ועומדת כך שהיא רואה במראה את ראש הבניין $T$ . המרחק ( $QS$ )…
דמיון משולשים: מתקן לתליית כביסה (שאלה מלאה · בינונית)
מתקן לתליית כביסה בנוי מצינורות דקים ומשמונה חבלי מתכת. התרשים הבא מתאר את המתקן באופן גרפי. הצינור העליון ( $AB$ ) מקביל לרצפה. בתרשים נסמן…
דמיון משולשים: שולחן מתקפל (שאלה מלאה · בינונית)
שולחן מתקפל בנוי משתי רגליים ישרות, $AD$ ו- $BE$ , הנחתכות בנקודה $C$ . בסרטוט שלפניכם מתואר מבט מהצד על השולחן: $AB$ היא שפת המשטח, והיא…
דמיון משולשים: חוליות של שרשרת - יחס דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
לקראת מסיבת הסיום החליטה מועצת התלמידים להכין שרשרת לקישוט. השרשרת בנויה מחוליות בצורת משולשים. כדי ליצור חוליה מדביקים על המשולש הגדול…
דמיון משולשים: דגלונים עם חור - יחס דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
לקראת יום העצמאות מכינים שרשרת של דגלונים. כל דגלון הוא משולש שווה שוקיים $EFG$ , ומתוכו גוזרים ומוציאים משולש קטן $ABC$ , שגם הוא שווה שוקיים…
פסל שעון חול: צלעות מתאימות ויחס דמיון (שאלת ביניים · בינונית)
בכיכר העיר הציבו פסל מתכת בצורת שעון חול (ראו סרטוט). הפסל בנוי מארבעה מוטות משופעים $AB$ , $AC$ , $AD$ , $AE$ ומשני מוטות אופקיים: $BC$ מונח…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולשים דומים: שולחן פינתי ומשטח זכוכית · בגרות 371 קיץ 2022 מועד א', שאלה 3
נגר בונה שולחן כתיבה פינתי. השולחן עשוי ממשטח עץ שצורתו משולש ישר זווית $DEF$ ( $\angle DEF=90^\circ$ ). אורך הצלע הארוכה ביותר של משטח העץ ( $DF$ ) הוא 2.5 מטר,…
דמיון משולשים: מעמד עץ עם שני מדפים · בגרות 371 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
תלמידי מגמת אומנות בבית ספר מסוים בונים מעמדים מקורות עץ. רועי בונה מעמד בצורת משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) ובו קורה אנכית תומכת ( $AG$ ) שאורכה 46 ס"מ, ושני מדפים…
משולשים דומים: עוגיות משני חותכנים שווי שוקיים · בגרות 371 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3
רוני הכינה עוגיות מבצק פריך. היא השתמשה בשני חותכנים של עוגיות בצורת משולשים שווי שוקיים הדומים זה לזה (ראו סרטוט). החותכן הקטן הוא בצורת המשולש $ABC$ . נתון:…
מדידת גובה בניין במראה: משולשים דומים · בגרות 371 חורף 2023, שאלה 3
רוני מדדה את הגובה של בניין מסוים. הנקודה $C$ נמצאת בתחתית הבניין. רוני הניחה מראה על הקרקע בנקודה $B$ , המרוחקת 280 מטרים מן הנקודה $C$ . רוני נעמדה בנקודה $A$ ,…
דמיון משולשים: שני מפרשים - צלעות, שטח ומחיר בד · בגרות 371 חורף 2024, שאלה 3
בסרטוט שלפניכם מתוארת סירה ובה שני מפרשים בצורת משולשים ישרי זווית ( $\angle E=\angle B=90^\circ$ ). המפרש הגדול ( $\triangle ABC$ ) והמפרש הקטן ( $\triangle DEF$ )…
דמיון משולשים בדלת מלבנית: יחס, צלע ושטחים · בגרות 371 חורף 2025, שאלה 3
נתונה דלת שצורתה מלבן $ABCD$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AD$ , והנקודה $G$ נמצאת על הצלע $DC$ . צבעו את שני המשולשים $ABE$ ו- $DEG$ באפור. את החלק שנשאר צבעו בלבן…
משולשים דומים: תמרור בצורת משולש שווה צלעות · בגרות 371 קיץ 2026 מועד א', שאלה 3
בשיעור בנושא זהירות בדרכים סרטט אמיר תמרור בצורת משולש שווה צלעות $ABC$ . במרכז התמרור סרטט אמיר משולש שווה צלעות נוסף, המשולש $DEF$ (הצלע $EF$ מקבילה לצלע…
דמיון משולשים: עמודי התמיכה של מדרגות נעות · בגרות 371 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 3
במרכז קניות בן שתי קומות התקינו מדרגות נעות. המדרגות מתחילות בנקודה $A$ שעל הקרקע ומסתיימות בנקודה $B$ . הנקודה $D$ נמצאת על הקטע $AB$ . למדרגות הוסיפו שני עמודי…
משולשים שווי שוקיים דומים: גשר מיתרים · בגרות 371 חורף 2026, שאלה 3
בסרטוט שלפניכם מתואר גשר ישר, $BE$ . לגשר יש ארבעה מיתרים $AB$ , $AC$ , $DC$ , $DE$ היוצרים שני משולשים שווי שוקיים $ABC$ ו- $DCE$ ( $AB=AC$ , $DC=DE$ ). הנקודה $F$ …
השתקפות מגדל במים: משולשים דומים ומשפט פיתגורס · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 371, שאלה 3
שלומי צילם את השתקפותו של מגדל אייפל במים, בנקודה $A$ . בזמן הצילום, שלומי היה במרחק ( $BC$ ) של 1,206 מ' ממגדל אייפל. הגובה של מגדל אייפל ( $NB$ ) הוא 324 מ',…