שאלות פתוחות: נקודת מפגש חוצי הזוויות - כיתה י"א 4 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על נקודת מפגש חוצי הזוויות, לתלמידי כיתה י"א 4 יח"ל, מתוך הנושא "גאומטריה של המישור (חומר קודם)". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · זוויות במשולש מתוך הזוויות שליד נקודת המפגש של חוצי הזוויותשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC הנקודה III היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות של המשולש. נתון: ∠IBC=25∘\angle IBC=25^\circ∠IBC=25∘, ∠ICB=35∘\angle ICB=35^\circ∠ICB=35∘ (ראו סרטוט).
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
ABCI

א.

מצאו את גודל הזווית BICBICBIC.

ב.

מצאו את גודל הזווית BACBACBAC.

שאלה 2 · זוויות המשולש מתוך שתי זוויות שבנקודת המפגש של חוצי הזוויותשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC הנקודה III היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות של המשולש. נתון: ∠AIB=120∘\angle AIB=120^\circ∠AIB=120∘, ∠AIC=125∘\angle AIC=125^\circ∠AIC=125∘ (ראו סרטוט).
ABCI

מצאו את זוויות המשולש ABCABCABC.

שאלה 3 · הזווית בין הגובה לבין הקטע מהקודקוד לנקודת המפגש של חוצי הזוויותשאלה קצרה · קשה

במשולש ABCABCABC הזוויות BBB ו-CCC חדות, ו-∠ABC>∠ACB\angle ABC>\angle ACB∠ABC>∠ACB. נסמן: ∠ABC=β\angle ABC=\beta∠ABC=β, ∠ACB=γ\angle ACB=\gamma∠ACB=γ.
הנקודה III היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות של המשולש, ו-AHAHAH הוא הגובה לצלע BCBCBC (ראו סרטוט).
ABCIH

הוכיחו כי ∠HAI=β−γ2\angle HAI=\frac{\beta-\gamma}{2}∠HAI=2β−γ​.

שאלה 4 · המרחקים של נקודת המפגש של חוצי הזוויות מהצלעותשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC הנקודה III היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות של המשולש.
מהנקודה III הורידו אנכים לצלעות המשולש: ID⊥ABID\perp ABID⊥AB, IE⊥BCIE\perp BCIE⊥BC, IF⊥ACIF\perp ACIF⊥AC (ראו סרטוט).
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
ABCIDEF

א.

נתון: ID=3ID=3ID=3 ס"מ. מהו אורך הקטע IEIEIE, ומהו אורך הקטע IFIFIF? נמקו.

ב.

נתון: ∠ABC=58∘\angle ABC=58^\circ∠ABC=58∘. חשבו את גודל הזווית DIEDIEDIE.

שאלה 5 · קטעים שווים על הצלעות מקודקוד אל רגלי האנכים מנקודת המפגש של חוצי הזוויותשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC נתון: AB=7AB=7AB=7 ס"מ, BC=8BC=8BC=8 ס"מ, AC=9AC=9AC=9 ס"מ. הנקודה III היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות של המשולש.
מהנקודה III הורידו אנכים לצלעות: ID⊥ABID\perp ABID⊥AB, IE⊥BCIE\perp BCIE⊥BC, IF⊥ACIF\perp ACIF⊥AC. הנקודות DDD, EEE ו-FFF נמצאות על הצלעות (ראו סרטוט).
ABCIDEF

הוכיחו כי BD=BEBD=BEBD=BE, ומצאו את אורך הקטע BDBDBD.

שאלה 6 · מהיתר ומהמרחק של נקודת המפגש של חוצי הזוויות מהצלעות - אל הניצביםשאלת ביניים · קשה

במשולש ABCABCABC הזווית CCC ישרה, ואורך היתר הוא AB=10AB=10AB=10 ס"מ. הנקודה III היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות של המשולש, והמרחק שלה מכל אחת מצלעות המשולש הוא 2 ס"מ.
מהנקודה III הורידו אנכים לצלעות: ID⊥ABID\perp ABID⊥AB, IE⊥BCIE\perp BCIE⊥BC, IF⊥ACIF\perp ACIF⊥AC (ראו סרטוט).
ABCIDEF

א.

הוכיחו כי AD=AFAD=AFAD=AF וכי BD=BEBD=BEBD=BE.

ב.

הוכיחו כי CE=CF=2CE=CF=2CE=CF=2 ס"מ, ומצאו את היקף המשולש ABCABCABC.

ג.

נתון: AC>BCAC>BCAC>BC. מצאו את אורכי הניצבים ACACAC ו-BCBCBC.

שאלה 7 · משולש ישר זווית: המרחק של נקודת המפגש של חוצי הזוויות מהצלעותשאלת ביניים · בינונית

במשולש ABCABCABC הזווית CCC ישרה, AC=12AC=12AC=12 ס"מ ו-BC=9BC=9BC=9 ס"מ. הנקודה III היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות של המשולש.
מהנקודה III הורידו אנכים לניצבים: IE⊥BCIE\perp BCIE⊥BC, IF⊥ACIF\perp ACIF⊥AC (ראו סרטוט).
ABCIEF

א.

הסבירו מדוע המרחקים של III משלוש הצלעות של המשולש שווים זה לזה. נסמן מרחק זה ב-rrr.
היעזרו בשטחי המשולשים AIBAIBAIB, BICBICBIC ו-CIACIACIA, ומצאו את rrr.

ב.

הוכיחו כי המרובע CEIFCEIFCEIF הוא ריבוע, ומצאו את אורך צלעו.

ג.

חשבו את אורך הקטע CICICI ואת אורך הקטע BEBEBE.