דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: הסתברות במרחב שווה-הסתברות - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הסתברות במרחב שווה-הסתברות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים הסתברויות בהטלת שתי קוביות, בהוצאת כדור מכד שיש בו x כדורים אדומים ו-x+5 כחולים, ובמשחק עם כרטיסים ממוספרים, ופותרים בעיות סקר שבהן בונים טבלה דו-ממדית - הזמנות בחנות מקוונת, לקוחות של רשת חנויות ותלמידי שכבה בחוג רובוטיקה. רוב השאלות קלות ובינוניות. מכאן אפשר להרכיב בוחן או דף עבודה בהסתברות, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

34 שאלותקלה: 14בינונית: 17קשה: 3

שאלה 1 · הסתברות במרחב שווה-הסתברותשאלה קצרה · קלה

מטילים שתי קוביות משחק הוגנות.

א.

הראו כי ההסתברות שסכום המספרים זוגי שווה להסתברות שהסכום אי-זוגי.

ב.

האם ההסתברות שמכפלת המספרים זוגית שווה להסתברות שסכום המספרים זוגי? אם כן - נמקו; אם לא - מצאו איזו משתי ההסתברויות גדולה יותר ובכמה.

שאלה 2 · שאלות קצרות: פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, כוכב בעל 7 קודקודיםשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

בסרטוט שלפניכם: גרף של פונקציה אי-זוגית f(x)f(x) בתחום: −3≤x≤3-3\le x\le3 והישרים: y=−1y=-1, y=1y=1. קבעו עבור כל אחת מן הטענות הבאות אם היא נכונה או לא. נמקו.

-4-3-2-11234-2-112
(1)

∫−31f(x)dx=−∫13f(x)dx\int_{-3}^{1}f(x)dx=-\int_{1}^{3}f(x)dx

(2)

∫03(f(x))3dx>−∫−30f(x)dx\int_0^3 (f(x))^3dx>-\int_{-3}^{0}f(x)dx

ב.

נתונה טבלת הסתברויות ובה מידע חלקי:

AAAˉ\bar Aסה"כ
BB6a2−186a^2-\frac183a3a
Bˉ\bar B
סה"כ2a2a11
(1)

האם המאורעות AA ו-BB תלויים זה בזה? נמקו.

(2)

נתון: P(Aˉ∩Bˉ)=5P(A∩B)P(\bar A\cap\bar B)=5P(A\cap B). חשבו את aa.

ג.

נתונה הפונקציה: f(x)=ax2−x+53x2+3x−18f(x)=\frac{ax^2-x+5}{3x^2+3x-18}. aa הוא פרמטר חיובי. ציר ה-xx והאסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים יוצרים מלבן ששטחו 10.

(1)

מהו הערך של הפרמטר aa?

(2)

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x+1)g(x)=f(x+1). מהו השטח של המלבן שנוצר על ידי ציר ה-xx והאסימפטוטות של הפונקציה g(x)g(x) המאונכות לצירים? נמקו.

ד.

במעגל שמרכזו בנקודה OO חסום כוכב בעל 7 קודקודים. הקודקודים AA, BB, CC, DD, EE, FF, GG מסודרים על המעגל לפי הסדר הזה, וצלעות הכוכב הן המיתרים ACAC, CECE, EGEG, GBGB, BDBD, DFDF, FAFA (ראו סרטוט).

OABCDEFG

הוכיחו שסכום 7 הזוויות של קודקודי הכוכב: ∢A+∢B+∢C+∢D+∢E+∢F+∢G\sphericalangle A+\sphericalangle B+\sphericalangle C+\sphericalangle D+\sphericalangle E+\sphericalangle F+\sphericalangle G הוא 540∘540^\circ.

שאלה 3 · טבלה דו-ממדית בפרמטר: אי-תלות, השוואת הסתברויות מותנות וברנולי הפוךשאלה מלאה · קשה

בחנות מקוונת גדולה בדקו את ההזמנות לפי סוג המשלוח (מהיר או רגיל) ולפי שביעות רצון הלקוח (מרוצה או לא מרוצה). נמצא שמספר ההזמנות במשלוח רגיל שהלקוח מרוצה בהן גדול פי 2 ממספר ההזמנות במשלוח מהיר שהלקוח מרוצה בהן, ושבדיוק 38\frac38 מההזמנות במשלוח רגיל הן הזמנות שהלקוח מרוצה בהן. נסמן ב-pp את ההסתברות שהזמנה שנבחרה באקראי היא במשלוח מהיר והלקוח מרוצה בה.

א.

הביעו באמצעות pp את ההסתברות שהזמנה שנבחרה באקראי היא במשלוח מהיר והלקוח אינו מרוצה בה, ומצאו את תחום הערכים האפשרי של pp.

ב.

מצאו את הערך של pp שבעבורו המאורעות "משלוח מהיר" ו"לקוח מרוצה" בלתי תלויים.

ג.

מצאו את כל ערכי pp שבעבורם ההסתברות שהזמנה היא במשלוח מהיר, בהינתן שהלקוח מרוצה, גדולה מההסתברות שהזמנה היא במשלוח מהיר, בהינתן שהלקוח אינו מרוצה.

ד.

בוחרים באקראי 4 הזמנות. ההסתברות שאף אחת מהן אינה הזמנה במשלוח רגיל שהלקוח מרוצה בה היא 0.4096.

מצאו את pp, ואת ההסתברות שהלקוח מרוצה בהינתן שההזמנה במשלוח מהיר.

שאלה 4 · הסתברות במרחב שווה-הסתברותשאלה קצרה · קלה

בכד xx כדורים אדומים ו-x+5x+5 כדורים כחולים, כאשר xx מספר שלם חיובי. מוציאים מהכד כדור אחד באקראי. ידוע שההסתברות שהכדור אדום קטנה מ-13\frac13.

א.

מצאו את הערך הגדול ביותר האפשרי של xx.

ב.

עבור הערך שמצאתם בסעיף א' מוציאים מהכד שני כדורים בזה אחר זה בלי החזרה. מצאו את ההסתברות ששניהם אדומים.

שאלה 5 · הסתברות: לקוחות מבוגרים וצעירים - יחסים מילוליים ואי-תלותשאלה מלאה · בינונית

ערכו סקר בין הלקוחות של רשת חנויות ומצאו: 60% מהלקוחות המבוגרים משלמים בכרטיס אשראי.

מספר הלקוחות הצעירים גדול פי 2 ממספר הלקוחות המבוגרים שמשלמים בכרטיס אשראי.

כל לקוח של הרשת הוא מבוגר או צעיר.

א.

מהי ההסתברות לבחור לקוח מבוגר מבין כל הלקוחות?

ב.

מהי ההסתברות לבחור לקוח שמשלם בכרטיס אשראי (מבוגר או צעיר), אם ידוע שהמאורעות: "נבחר לקוח מבוגר" ו-"נבחר לקוח שמשלם בכרטיס אשראי" הם בלתי תלויים? הסבירו.

ג.

נבחר באקראי לקוח. ידוע שהוא משלם בכרטיס אשראי. מה סביר יותר, שהוא מבוגר או צעיר? הסבירו.

שאלה 6 · איזה כרטיס כדאי להוציא כדי שסכום 8 יהיה סביר יותרשאלה קצרה · קשה

בקופסה 6 כרטיסים, ועל כל אחד מהם רשום אחד מן המספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

במשחק מוציאים באקראי כרטיס, רושמים את המספר ומחזירים את הכרטיס, ושוב מוציאים כרטיס באקראי.

במשחק זה ההסתברות שסכום המספרים בשתי ההוצאות הוא 8 היא 536\frac5{36}. כאשר מניחים בצד כרטיס, משחקים באותו אופן עם הכרטיסים שנותרו בקופסה.

מוציאים מן הקופסה המקורית כרטיס אחד ומניחים אותו בצד. מצאו את כל הכרטיסים שהוצאתם מגדילה את ההסתברות שסכום המספרים יהיה 8 (לעומת המשחק בקופסה המקורית).

שאלה 7 · הסתברות: חוג רובוטיקה - טבלה דו-ממדית ואי-תלותשאלה מלאה · קלה

בשכבה י"א בבית ספר יש 400 בנים. 75% מהבנים משתתפים בחוג רובוטיקה.

מספר הבנות בשכבה גדול פי 1.4 ממספר הבנים שמשתתפים בחוג.

א.

כמה בנות יש בשכבה? מהי ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מהשכבה הוא בן?

ב.

נתון שהמאורעות "נבחר בן" ו-"נבחר תלמיד שמשתתף בחוג" הם בלתי תלויים.

הסבירו מדוע ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מהשכבה משתתף בחוג היא 0.750.75, ומצאו כמה בנות משתתפות בחוג.

ג.

השלימו את הטבלה הדו-ממדית של מספרי התלמידים בשכבה:

משתתפים בחוגלא משתתפים בחוגסה"כ
בנים
בנות
סה"כ
ד.

נבחר באקראי תלמיד מבין המשתתפים בחוג. מה סביר יותר, שהוא בן או שהיא בת? חשבו את שתי ההסתברויות.

שאלה 8 · טבלה דו-ממדית בפרמטר: התנדבות בקרב בנים ובנותשאלה מלאה · בינונית

בבית ספר גדול נערך סקר ובו נבדק אם התלמידים מתנדבים בקהילה. בסקר השתתפו תלמידים רבים – בנים ובנות. בסקר נמצא שמספר הבנות המתנדבות גדול פי 2 ממספר הבנים המתנדבים, ומספר הבנות שאינן מתנדבות גדול פי 1121\frac12 ממספר הבנות המתנדבות. נסמן ב-pp את ההסתברות לבחור באקראי בן מתנדב מבין כלל המשתתפים בסקר.

א.

מצאו את ההסתברות לבחור באקראי בת מתנדבת מבין כלל הבנות שהשתתפו בסקר.

ב.

בוחרים באקראי ארבע בנות מבין הבנות שהשתתפו בסקר. מצאו את ההסתברות שבדיוק שלוש מהן מתנדבות.

ג.
(1)

הביעו באמצעות pp את ההסתברות לבחור באקראי בן שאינו מתנדב מבין כלל המשתתפים בסקר.

(2)

הראו כי תחום הערכים האפשרי בעבור pp הוא: 0<p<160<p<\frac16.

ד.

ידוע כי ההסתברות לבחור באקראי בת מבין משתתפי הסקר שאינם מתנדבים גדולה פי 2 מההסתברות לבחור באקראי בן מבין משתתפי הסקר שאינם מתנדבים.

מצאו את הערך של pp.

ה.

האם המאורעות "להתנדב" ו"להיות בת" תלויים זה בזה? נמקו את תשובתכם.

שאלה 9 · ההסתברות לבחור מספר זוגי מבין 1 עד nשאלת ביניים · קשה

בוחרים באקראי מספר שלם מבין המספרים 1,2,…,n1,2,\dots,n (n≥2n\ge2 מספר שלם), ולכל מספר אותה הסתברות להיבחר.

א.

הראו כי אם nn זוגי, ההסתברות שהמספר שנבחר זוגי היא 12\frac12, ואם nn אי-זוגי, ההסתברות היא n−12n\frac{n-1}{2n}.

ב.

ההסתברות שהמספר שנבחר זוגי היא 0.480.48. מצאו את nn.

ג.

עבור nn שמצאתם, מצאו את ההסתברות שהמספר שנבחר זוגי וגם מתחלק ב-33, ואת ההסתברות שהמספר שנבחר אינו זוגי ואינו מתחלק ב-33.

שאלה 10 · הסתברות מסקר: אי-תלות, הסתברות מותנית וברנולי במספריםשאלה מלאה · קלה

במועדון גדול מאוד נערך סקר: 25% מהנשים חברות המועדון קוראות עיתון בוקר. מספר הגברים במועדון גדול פי 2 ממספר הנשים שקוראות עיתון בוקר.

א.

נסמן ב-WW את מספר הנשים. הביעו באמצעות WW את מספר הנשים הקוראות ואת מספר הגברים, והראו שההסתברות לבחור גבר היא 13\frac13.

ב.

ידוע שהמאורעות "נבחר גבר" ו-"נבחר/ה קורא/ת עיתון" בלתי תלויים. מהי ההסתברות שחבר מועדון שנבחר באקראי קורא עיתון? מהי ההסתברות לבחור גבר שקורא עיתון?

ג.

נבחר באקראי חבר/ת מועדון, וידוע שהוא/היא קורא/ת עיתון. מהי ההסתברות שזו אישה?

ד.

בוחרים באקראי 4 חברי מועדון. מהי ההסתברות שבדיוק 2 מהם גברים שקוראים עיתון?

עוד 6 שאלות על הסתברות במרחב שווה-הסתברות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. שתי שקיות והעברת סוכרייה: הסתברות בפרמטרים, הסתברות מותנית, ברנולי וסידור ההצלחות (שאלה מלאה · בינונית)

    בחנות ממתקים יש שתי שקיות סוכריות. בשקית א' יש aa סוכריות: 4 בטעם לימון והשאר בטעם תות. בשקית ב' יש bb סוכריות: 9 בטעם לימון והשאר בטעם…

  2. בחירת תלמיד באקראי משכבה: מספר הבנות וההסתברות לבחור בן (שאלה קצרה · קלה)

    בשכבה י"א בבית ספר יש 400 בנים. 75% מהבנים משתתפים בחוג רובוטיקה. מספר הבנות בשכבה גדול פי 1.4 ממספר הבנים שמשתתפים בחוג.

  3. הסתברות עם פרמטר: אי-תלות, הסתברות מותנית וברנולי (שאלה מלאה · בינונית)

    ערכו סקר בין תלמידי תיכון גדול ומצאו: 30% מהבנים מנגנים בכלי נגינה. מספר הבנות גדול פי aa ממספר הבנים שמנגנים.

  4. הסתברות במרחב שווה-הסתברות (שאלה קצרה · בינונית)

    בספרייה עירונית 25% מהמבקרים המבוגרים שואלים ספרים. מספר המבקרים הילדים גדול פי aa ממספר המבוגרים ששואלים ספרים. כל מבקר הוא ילד או מבוגר.

  5. בחירת מספר דו-ספרתי באקראי: ספירת תוצאות (שאלה קצרה · בינונית)

    בוחרים באקראי מספר דו-ספרתי (מבין המספרים 1010 עד 9999), ולכל מספר אותו סיכוי להיבחר.

  6. מספר הכדורים בקופסה מתוך הסתברות נתונה (שאלת ביניים · בינונית)

    בקופסה כדורים בשלושה צבעים: 66 כדורים אדומים, 99 כדורים כחולים וכמה כדורים ירוקים. מוציאים מהקופסה כדור אחד באקראי. ההסתברות להוציא כדור…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (13)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.