שאלות פתוחות: נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים מתוך הפונקציה - כיתה י"ב 3 יח"ל

נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים מתוך הפונקציה, לכיתה י"ב 3 יחידות. השאלות דורשות להציב x=0 ולפתור y=0, וגם ללכת בכיוון ההפוך: למצוא b כשידועה נקודת חיתוך, או למצוא את הפונקציה כשנתונים שלושה חיתוכים. יש פונקציה שאין לה חיתוך עם ציר x, פרמטר k שקובע את מספר החיתוכים, ובעיות מסלול של כדור ושל סילון מים. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. בחרו מהן שאלות לבוחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים להורדה ב-Word.

37 שאלותקלה: 9בינונית: 23קשה: 5

שאלה 1 · מודל ריבועי: מתקן טיפוס בצורת פרבולהשאלה מלאה · קלה

בגן משחקים בנו מתקן טיפוס בצורת פרבולה. המתקן מתחיל בנקודה AAA על הקרקע ומסתיים בנקודה BBB על הקרקע.
עמוד תמיכה אנכי ODODOD מחבר את הקרקע בראשית הצירים OOO לנקודה DDD שעל המתקן.
הפונקציה המתארת את המתקן היא y=−x2+6x+7y=-x^2+6x+7y=−x2+6x+7, כאשר xxx הוא המרחק (במטרים) מעמוד התמיכה ו-yyy הוא הגובה (במטרים).
AOBD

א.

מצאו את גובה עמוד התמיכה ODODOD.

ב.

הראו כי A(−1,0)A(-1,0)A(−1,0) ו-B(7,0)B(7,0)B(7,0), ומצאו את אורך הקטע ABABAB.

ג.

(1)

מצאו את הגובה המקסימלי של המתקן.

(2)

מצאו עבור אילו ערכים של xxx מי שמטפס על המתקן מ-AAA ל-BBB נמצא במגמת עלייה.

ד.

הנקודה DDD ונקודה נוספת EEE על המתקן נמצאות באותו גובה. מצאו את שיעורי EEE.

שאלה 2 · נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים מתוך הפונקציהשאלה קצרה · בינונית

הפרבולה y=x2+bx+18y=x^2+bx+18y=x2+bx+18 חותכת את ציר ה-xxx בנקודה (3,0)(3,0)(3,0).

א.

מצאו את bbb.

ב.

מצאו את נקודת החיתוך השנייה של הפרבולה עם ציר ה-xxx.

שאלה 3 · נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים מתוך הפונקציהשאלה קצרה · קשה

גרף הפונקציה y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c חותך את ציר ה-yyy בנקודה (0,6)(0,6)(0,6), ואת ציר ה-xxx בנקודות (1,0)(1,0)(1,0) ו-(3,0)(3,0)(3,0).

מצאו את aaa, את bbb ואת ccc.

שאלה 4 · מודל ריבועי: סילון מיםשאלה מלאה · קלה

סילון מים יוצא מצינור הקבוע בקיר. הפונקציה y=−x2+4x+12y=-x^2+4x+12y=−x2+4x+12 מתארת את הגובה של הסילון מעל הקרקע במטרים (yyy) כפונקציה של המרחק האופקי מהקיר במטרים (xxx), כמתואר בסרטוט.

א.

באיזה גובה נמצא הצינור (הסילון ב-x=0x=0x=0)?

ב.

מהו הגובה המקסימלי של הסילון, ובאיזה מרחק מהקיר הוא מתקבל?

ג.

באילו מרחקים מהקיר הסילון נמצא בגובה 15 מטרים?

ד.

באיזה מרחק מהקיר פוגע הסילון בקרקע?

שאלה 5 · נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים מתוך הפונקציהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה y=2x2+3x+4y=2x^2+3x+4y=2x2+3x+4.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

שאלה 6 · נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים מתוך הפונקציהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה y=x2+kx+9y=x^2+kx+9y=x2+kx+9, כאשר kkk פרמטר.

א.

מצאו את ערכי kkk שעבורם לגרף הפונקציה יש נקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה-xxx.

ב.

עבור כל אחד מערכי kkk שמצאתם, מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

שאלה 7 · מודל ריבועי: בעיטה בכדורשאלה מלאה · קלה

דני בעט בכדור מהקרקע. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא y=−0.2x2+2xy=-0.2x^2+2xy=−0.2x2+2x, כמתואר בסרטוט.
ציר ה-xxx מייצג את המרחק האופקי (במטרים) של הכדור מנקודת הבעיטה, וציר ה-yyy מייצג את גובה הכדור (במטרים).
‫המרחק האופקי‬‫גובה הכדור‬

א.

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-xxx. מה המרחק האופקי שעבר הכדור עד שנחת?

ב.

מצאו את שיעור ה-xxx של קדקוד הפרבולה בעזרת הנוסחה x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab​, ואת הגובה המקסימלי של הכדור.

ג.

חשבו את גובה הכדור כאשר המרחק האופקי שלו מנקודת הבעיטה הוא 2 מטרים.

ד.

הפרבולה סימטרית סביב הישר האנכי שעובר דרך הקדקוד. מצאו מרחק אופקי נוסף שבו הכדור היה בגובה 3.2 מטרים.

שאלה 8 · מודל ריבועי: מספר המבקרים בפארק מים לאורך זמןשאלה מלאה · בינונית

הפונקציה y=0.5x2−6x+22y=0.5x^2-6x+22y=0.5x2−6x+22 מתארת את מספר המבקרים בפארק מים לפי הזמן, במשך תקופה מסוימת.
לפניכם גרף המתאר את מספר המבקרים בפארק בתקופה זו (ציר ה-yyy: מספר המבקרים בשבוע, באלפים; ציר ה-xxx: הזמן, בשבועות).
נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy היא תחילת התקופה.

א.

מה היה מספר המבקרים בפארק בשבוע שבו התחילה התקופה?

ב.

מצאו את מספר המבקרים בפארק כעבור 10 שבועות מתחילת התקופה.

ג.

מצאו כעבור כמה שבועות מתחילת התקופה מספר המבקרים בפארק היה הקטן ביותר.

ד.

כעבור כמה שבועות מתחילת התקופה היו בפארק 6,000 מבקרים בשבוע?
מצאו את שתי האפשרויות.

שאלה 9 · מודל ריבועי: מקדמים לא ידועים ועמודים באותו גובהשאלה מלאה · קשה

גשר בנוי בצורת קשת פרבולית שמתארת הפונקציה y=−x2+bx+cy=-x^2+bx+cy=−x2+bx+c, כאשר xxx הוא המרחק האופקי (במטרים) מעמוד אנכי ODODOD שעומד בראשית הצירים, ו-yyy הוא הגובה (במטרים) מעל פני הקרקע.
הקשת יוצאת מהקרקע בנקודה A(−3,0)A(-3,0)A(−3,0) ונוחתת על הקרקע בנקודה BBB. גובה העמוד ODODOD, מהקרקע עד הקשת, הוא 21 מטרים.
AOBD

א.

מצאו את bbb ואת ccc.

ב.

מצאו את אורך הקטע ABABAB ואת הגובה המקסימלי של הקשת.

ג.

מתחת לקשת הציבו שני עמודים אנכיים נוספים, שווים בגובהם, מהקרקע עד הקשת. המרחק בין שני העמודים הוא 6 מטרים. מצאו את גובה העמודים.

ד.

לכל גובה hhh, כמה נקודות על הקשת (מ-AAA עד BBB) נמצאות בגובה hhh?

שאלה 10 · מודל ריבועי: רמפת סקייטבורדשאלה מלאה · קלה

מסלול של רמפת סקייטבורד בנוי בצורת פרבולה שמשוואתה y=0.5x2−4x+9y=0.5x^2-4x+9y=0.5x2−4x+9, עבור 0≤x≤70\le x\le70≤x≤7.
ציר ה-xxx מונח על הקרקע ומתאר את המרחק האופקי (במטרים) מנקודת ההתחלה, וציר ה-yyy מתאר את גובה הרמפה (במטרים).
הרמפה מתחילה בנקודה AAA שעל ציר ה-yyy, יורדת עד הנקודה הנמוכה ביותר CCC ועולה עד הקצה BBB, שבו x=7x=7x=7.
ACB

א.

מצאו את הגובה של הנקודה AAA.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC.

ג.

מצאו את הגובה של הקצה BBB.

ד.

ברמפה יש נקודה נוספת שנמצאת באותו גובה כמו BBB. מצאו את שיעור ה-xxx שלה.

ה.

עבור אילו ערכים של xxx הרמפה עולה?

עוד 17 שאלות על נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים מתוך הפונקציה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מודל ריבועי: מסלול רכבת הרים לילדים (שאלה מלאה · בינונית)
בגן שעשועים בנו על קרקע מישורית מסלול של רכבת הרים לילדים בצורת פרבולה. המסלול מתחיל בנקודה $A$ ומסתיים בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם.…
מודל ריבועי: מקדמי המגלשה מתוך הסולם ונקודת המינימום (שאלה מלאה · קשה)
בפארק מים מתכננים מגלשה שצורתה פרבולה שמשוואתה $y=0.5x^2+bx+c$ ( $b$ ו- $c$ קבועים). למגלשה עולים בסולם אנכי מהנקודה $O$ (ראשית הצירים) עד…
מודל ריבועי: כדור שנזרק מגג (שאלה מלאה · קלה)
נועם זרק כדור מגג של בניין. גובה הכדור מעל הקרקע (במטרים) מתואר על ידי הפונקציה $y=-0.5x^2+3x+8$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) של…
נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים מתוך הפונקציה (שאלה קצרה · בינונית)
הגובה (במטרים) של כדור שנזרק מתואר על ידי הפונקציה $h(x)=-0.25x^2+x+3$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הזריקה.
שתי פרבולות עם אותן נקודות חיתוך עם ציר ה-x (שאלת ביניים · קשה)
נתונות הפונקציות $f(x)=x^2-2x-8$ ו- $g(x)=-0.5x^2+x+4$ .
מודל ריבועי: סילון מים של מזרקה (שאלה מלאה · קלה)
סילון המים של מזרקה נע במסלול בצורת פרבולה. הגובה של המים (במטרים) מתואר על ידי הפונקציה $h(x)=-0.5x^2+4x+2$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי…
מודל ריבועי: זריקת כדור (שאלה מלאה · בינונית)
מיכל זורקת כדור כלפי מעלה. הפונקציה הריבועית $y=-5x^2+14x+1$ מתארת במטרים את הגובה של הכדור מעל הקרקע (ציר ה- $y$ ) כפונקציה של הזמן בשניות…
גובה עמוד ואורך קטע: חיתוך עם הצירים (שאלה קצרה · קלה)
בגן שעשועים בנו על קרקע מישורית מסלול של רכבת הרים לילדים בצורת פרבולה. המסלול מתחיל בנקודה $A$ ומסתיים בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם.…
מודל ריבועי: זריקה לחבר על מרפסת (שאלה מלאה · בינונית)
גל זרק כדור לחברו, שעומד על מרפסת. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.3x^2+1.8x+1.5$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק…
מודל ריבועי: קפיצה של צפרדע (שאלה מלאה · בינונית)
צפרדע קפצה מאבן אל גדם של עץ. הצפרדע נעה במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.8x^2+1.6x+0.3$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק…
מודל ריבועי: סילון מים במזרקה (שאלה מלאה · בינונית)
במזרקה בגן ציבורי יוצא סילון מים מפיית המזרקה, ומסלולו הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.2x^2+1.2x+3.2$ . הסילון יוצא מהפייה בנקודה $A$ שעל ציר…
מודל ריבועי: קפיצה של קנגורו (שאלה מלאה · בינונית)
קנגורו קפץ על קרקע מישורית. הקנגורו התנתק מהקרקע בנקודה $A$ ונחת בנקודה $B$ . מסלול הקפיצה הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.2x^2+2.4x-5.4$ ,…
מודל ריבועי: מגלשת מים (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק מים יש מגלשת מים שצורתה היא פרבולה שמשוואתה $y=0.5x^2-5x+15$ . למגלשה עולים מסולם אנכי המתחיל בקרקע, בנקודה $O$ (ראשית הצירים), ומסתיים…
מודל ריבועי: אומגה בין שני עמודים (שאלה מלאה · בינונית)
באתר טיולים יש אומגה: כבל שמתוח בין מגדל לעמוד, ונוסעים לאורכו כשהם תלויים ברתמה. צורת הכבל היא פרבולה שמשוואתה $y=0.02x^2-1.2x+22$ . הכבל…
מודל ריבועי: מגלשת מים בפארק (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק מים בנו מגלשה על קרקע מישורית. אחד מן הקטעים של המגלשה הוא בצורת פרבולה. קטע זה מתחיל בנקודה $A$ על ציר ה- $y$ ומסתיים בנקודה $B$ (ראו…
מודל ריבועי: שביל הליכה על גבעה (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק טבע סללו שביל הליכה שעובר מעל גבעה. אחד מן הקטעים של השביל הוא בצורת פרבולה. קטע שביל זה מתחיל בנקודה $A$ על ציר ה- $y$ ומסתיים בנקודה…
כדור שנזרק ממרפסת: מקדם מנקודת הנחיתה (שאלת ביניים · בינונית)
כדור נזרק ממרפסת. מסלול הכדור הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.25x^2+bx+6$ , כאשר $b$ מספר קבוע, $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מקיר הבניין…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מודל ריבועי: כמות המוצרים במפעל לאורך זמן · בגרות 372 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
הפונקציה $y=x^2-8x+17$ מתארת את כמות המוצרים שייצרו במפעל מסוים לפי הזמן, במשך תקופה מסוימת. לפניכם גרף המתאר את כמות המוצרים שייצרו במפעל בתקופה זו (ציר ה- $y$ :…
מודל ריבועי: מסלול טיפוס בצורת פרבולה · בגרות 372 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
בפארק שעשועים בנו על קרקע מישורית מסלול טיפוס בצורת פרבולה. המסלול מתחיל בנקודה $A$ ומסתיים בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנו למסלול עמוד תמיכה אנכי מבטון.…
מודל ריבועי: זריקת אבן · בגרות 372 חורף 2024, שאלה 4
נדב זורק אבן כלפי מעלה. הפונקציה הריבועית $y=-5x^2+16x+2$ מתארת במטרים את הגובה של האבן מעל הקרקע (ציר ה- $y$ ) כפונקציה של הזמן בשניות (ציר ה- $x$ ), כמתואר בסרטוט…
מודל ריבועי: זריקה לסל · בגרות 372 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
נועה זרקה כדור לסל. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.5x^2+2x+2$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק האופקי (במטרים) של הכדור מנקודת הזריקה.…
מודל ריבועי: גשר בצורת פרבולה · בגרות 372 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
מעל נהר בנו גשר בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.1x^2+0.8x$ . הגשר מתחיל בנקודה $O$ ומסתיים בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק האופקי (במטרים) מן…
מודל ריבועי: מגלשת מים · בגרות 372 חורף 2025, שאלה 4
בפארק מים יש מגלשת מים שצורתה היא פרבולה שמשוואתה $y=x^2-6x+11$ . למגלשה עולים מסולם אנכי המתחיל בקרקע, בנקודה $O$ (ראשית הצירים), ומסתיים בנקודה $A$ . ציר ה- $x$ …
מודל ריבועי: קטע של רכבת הרים · בגרות 372 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
בפארק שעשועים התקינו רכבת הרים על קרקע מישורית. אחד מן הקטעים של מסילת הרכבת הוא בצורת פרבולה. קטע מסילה זה מתחיל בנקודה $A$ על ציר ה- $y$ ומסתיים בנקודה $B$ …

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פרבולה בהקשר: מזרקה ומסלול המים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפרבולה: $f(x)=-x^2+3x$ . לפניכם ארבעה גרפים, 1-4: גרף 1: גרף 2: גרף 3: גרף 4:
פרבולה בהקשר: קפיצה של דולפין (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפרבולה: $f(x)=-0.4x^2+2x$ . לפניכם ארבעה גרפים, 1-4: גרף 1: גרף 2: גרף 3: גרף 4:
פרבולה בהקשר: מעוף של כדור (שאלה מלאה · קלה)
כדור נבעט מהקרקע. מסלול הכדור מתואר על ידי הפרבולה $f(x)=-x^2+6x$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת…