שאלות פתוחות: תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציה - כיתה י"ב 3 יח"ל

תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות של פונקציה ריבועית מתוך הביטוי שלה, לכיתה י"ב 3 יחידות. בשאלות מוצאים את התחומים לפונקציות כמו f(x)=x²-3x-4 ו-f(x)=-x²+5x-4, ומפרשים אותם בגשר מעל תעלת מים, בשביל מעל גבעה, במגלשה ובמסלול מים שיוצאים מצינור. יש גם שאלה שבה תחום השליליות הוא קטע שאורכו 8, ומוצאים ממנו את c. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מורה יכול לבחור מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא ויצוא ל-Word.

47 שאלותקלה: 7בינונית: 36קשה: 4

שאלה 1 · תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−3x−4f(x)=x^2-3x-4f(x)=x2−3x−4. בסרטוט גרף הפונקציה.
f(x)

א.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב.

לאילו ערכי xxx הפונקציה חיובית?

שאלה 2 · תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציהשאלה קצרה · בינונית

מעל תעלת מים בנו גשר בצורת פרבולה. הגשר מתחיל בנקודה OOO ומסתיים בנקודה BBB, ששתיהן על פני המים. צורת הגשר מתוארת על ידי הפונקציה y=−18x2+2xy=-\frac{1}{8}x^2+2xy=−81​x2+2x, כאשר xxx הוא המרחק האופקי (במטרים) מהנקודה OOO, ו-yyy הוא הגובה (במטרים) מעל פני המים (ראו סרטוט).
OB

א.

מצאו את הגובה המרבי של הגשר מעל פני המים, ובאיזה מרחק אופקי מהנקודה OOO הוא מתקבל.

ב.

יוסי הלך על הגשר מ-OOO ל-BBB. כשהלך במגמת ירידה, הוא עבר בנקודה שגובהה מעל פני המים 666 מטרים. מצאו את המרחק האופקי של הנקודה הזו מהנקודה OOO.

שאלה 3 · תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−2x+cf(x)=x^2-2x+cf(x)=x2−2x+c. תחום השליליות של הפונקציה הוא קטע אחד שאורכו 888 יחידות.

מצאו את ccc ואת תחום השליליות של הפונקציה.

שאלה 4 · תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=−x2+5x−4f(x)=-x^2+5x-4f(x)=−x2+5x−4.

מצאו את תחום החיוביות של הפונקציה.

שאלה 5 · תחומי עלייה וירידהשאלה קצרה · בינונית

שביל עובר מעל גבעה, מהנקודה AAA ועד הנקודה BBB שבצד השני של הגבעה. צורת השביל מתוארת על ידי הפונקציה y=−0.02x2+0.8xy=-0.02x^2+0.8xy=−0.02x2+0.8x, כאשר xxx הוא המרחק האופקי (במטרים) מהנקודה AAA, ו-yyy הוא הגובה (במטרים) ביחס לנקודה AAA (ראו סרטוט). מטייל הולך מ-AAA ל-BBB.
AB

כשהמטייל נמצא במרחק אופקי של 303030 מטרים מ-AAA, האם הוא בעלייה או בירידה? באיזה גובה הוא נמצא? נמקו.

שאלה 6 · מודל ריבועי: מקדמי המגלשה מתוך הסולם ונקודת המינימוםשאלה מלאה · קשה

בפארק מים מתכננים מגלשה שצורתה פרבולה שמשוואתה y=0.5x2+bx+cy=0.5x^2+bx+cy=0.5x2+bx+c (bbb ו-ccc קבועים).
למגלשה עולים בסולם אנכי מהנקודה OOO (ראשית הצירים) עד הנקודה AAA שעל ציר ה-yyy. ציר ה-xxx מונח על הקרקע ומתאר את המרחק (במטרים) מן הסולם, וציר ה-yyy את הגובה (במטרים).
מ-AAA המגלשה יורדת עד הנקודה הנמוכה ביותר CCC, שנמצאת מימין לסולם, ועולה עד הקצה BBB.
גובה הסולם הוא 12 מטרים, והנקודה CCC נמצאת בגובה 4 מטרים מעל הקרקע.
OACB

א.

מצאו את ccc ואת bbb.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC.

ג.

הקצה BBB של המגלשה נמצא באותו גובה כמו ראש הסולם AAA.

מצאו את שיעור ה-xxx של הקצה BBB.

ד.

עבור אילו ערכים של xxx המגלשה עולה?

ה.

בגובה hhh מטרים מעל הקרקע מותחים חבל אופקי לאורך כל המגלשה. עבור אילו ערכים של hhh החבל פוגש את המגלשה בשתי נקודות בדיוק?

שאלה 7 · מודל ריבועי: מתקן טיפוס בצורת פרבולהשאלה מלאה · קלה

בגן משחקים בנו מתקן טיפוס בצורת פרבולה. המתקן מתחיל בנקודה AAA על הקרקע ומסתיים בנקודה BBB על הקרקע.
עמוד תמיכה אנכי ODODOD מחבר את הקרקע בראשית הצירים OOO לנקודה DDD שעל המתקן.
הפונקציה המתארת את המתקן היא y=−x2+6x+7y=-x^2+6x+7y=−x2+6x+7, כאשר xxx הוא המרחק (במטרים) מעמוד התמיכה ו-yyy הוא הגובה (במטרים).
AOBD

א.

מצאו את גובה עמוד התמיכה ODODOD.

ב.

הראו כי A(−1,0)A(-1,0)A(−1,0) ו-B(7,0)B(7,0)B(7,0), ומצאו את אורך הקטע ABABAB.

ג.

(1)

מצאו את הגובה המקסימלי של המתקן.

(2)

מצאו עבור אילו ערכים של xxx מי שמטפס על המתקן מ-AAA ל-BBB נמצא במגמת עלייה.

ד.

הנקודה DDD ונקודה נוספת EEE על המתקן נמצאות באותו גובה. מצאו את שיעורי EEE.

שאלה 8 · תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציהשאלה קצרה · בינונית

מים יוצאים מצינור שבקיר. מסלול המים מתואר על ידי הפונקציה y=−x2+4x+5y=-x^2+4x+5y=−x2+4x+5, כאשר xxx הוא המרחק האופקי (במטרים) מהקיר ו-yyy הוא גובה המים (במטרים) מעל הקרקע. הקיר מונח על ציר ה-yyy, והמים יוצאים מהצינור בנקודה שבה x=0x=0x=0 (ראו סרטוט).

א.

מצאו באיזה גובה נמצא הצינור, ובאיזה מרחק מהקיר המים פוגעים בקרקע.

ב.

באיזה תחום של xxx המים נמצאים במגמת עלייה, ובאיזה תחום הם במגמת ירידה?

שאלה 9 · תחום שליליות שאורכו נתוןשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−2x+cf(x)=x^2-2x+cf(x)=x2−2x+c. תחום השליליות של הפונקציה הוא קטע אחד שאורכו 888 יחידות.

מצאו את ccc ואת תחום השליליות של הפונקציה.

שאלה 10 · מודל ריבועי: כדור שנזרק ממרפסתשאלה מלאה · קלה

כדור נזרק ממרפסת. מסלול הכדור הוא חלק מפרבולה שמשוואתה y=−x2+4x+5y=-x^2+4x+5y=−x2+4x+5 (ראו סרטוט),
כאשר xxx הוא המרחק האופקי (במטרים) מקיר הבניין ו-yyy הוא הגובה (במטרים) מעל הקרקע. הכדור נזרק מהנקודה שבה x=0x=0x=0.

א.

מה היה הגובה של הכדור כאשר המרחק האופקי שלו מהקיר היה 1 מטר?

ב.

מצאו את הגובה המקסימלי של הכדור, ובאיזה מרחק אופקי מהקיר הוא התקבל.

ג.

הראו שהכדור פוגע בקרקע במרחק 5 מטרים מהקיר.

ד.

בעבור אילו ערכים של xxx הכדור עלה?

עוד 25 שאלות על תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים הפרבולה $f(x)=x^2-2x-3$ והישר $g(x)=x+1$ . בסרטוט הגרפים של שתי הפונקציות.
מציר הסימטריה ונקודת חיתוך אחת לתחומי סימן ומגמה (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2+bx+c$ . גרף הפונקציה חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(-2,0)$ , וציר הסימטריה שלו הוא הישר $x=1$ .
מודל ריבועי: רמפת סקייטבורד (שאלה מלאה · קלה)
מסלול של רמפת סקייטבורד בנוי בצורת פרבולה שמשוואתה $y=0.5x^2-4x+9$ , עבור $0\le x\le7$ . ציר ה- $x$ מונח על הקרקע ומתאר את המרחק האופקי…
תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציה (שאלה קצרה · בינונית)
לפרבולה $y=f(x)=ax^2+bx+c$ ידוע כי $a>0$ וכי ציר הסימטריה שלה הוא $x=3$ .
תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציה (שאלה קצרה · בינונית)
תחום השליליות של הפונקציה $f(x)=x^2+bx+c$ הוא $2<x<5$ .
תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציה (שאלה קצרה · בינונית)
גשר בנוי בצורת פרבולה שמשוואתה $y=-0.05x^2+4x$ . הגשר מתחיל בנקודה $O(0,0)$ ומסתיים בנקודה $B(80,0)$ . ציר ה- $x$ מייצג את המרחק האופקי…
מודל ריבועי: מסלול רכבת הרים לילדים (שאלה מלאה · בינונית)
בגן שעשועים בנו על קרקע מישורית מסלול של רכבת הרים לילדים בצורת פרבולה. המסלול מתחיל בנקודה $A$ ומסתיים בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם.…
מודל ריבועי: זריקה לחבר על מרפסת (שאלה מלאה · בינונית)
גל זרק כדור לחברו, שעומד על מרפסת. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.3x^2+1.8x+1.5$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק…
תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציה (שאלה קצרה · בינונית)
דולפין קפץ מעל פני המים. המסלול של הדולפין מתואר על ידי הפרבולה $y=-0.5x^2+4x-6$ : $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) ו- $y$ הוא הגובה מעל פני המים…
מודל ריבועי: קפיצה של צפרדע (שאלה מלאה · בינונית)
צפרדע קפצה מאבן אל גדם של עץ. הצפרדע נעה במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.8x^2+1.6x+0.3$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק…
מודל ריבועי: סילון מים במזרקה (שאלה מלאה · בינונית)
במזרקה בגן ציבורי יוצא סילון מים מפיית המזרקה, ומסלולו הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.2x^2+1.2x+3.2$ . הסילון יוצא מהפייה בנקודה $A$ שעל ציר…
מודל ריבועי: קפיצה של קנגורו (שאלה מלאה · בינונית)
קנגורו קפץ על קרקע מישורית. הקנגורו התנתק מהקרקע בנקודה $A$ ונחת בנקודה $B$ . מסלול הקפיצה הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.2x^2+2.4x-5.4$ ,…
מודל ריבועי: מגלשת מים (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק מים יש מגלשת מים שצורתה היא פרבולה שמשוואתה $y=0.5x^2-5x+15$ . למגלשה עולים מסולם אנכי המתחיל בקרקע, בנקודה $O$ (ראשית הצירים), ומסתיים…
תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציה (שאלה קצרה · בינונית)
מסלול אופניים בפארק בנוי בצורת פרבולה שמשוואתה $y=2x^2-16x+35$ , עבור $0\le x\le6$ ( $x$ - המרחק האופקי במטרים, $y$ - הגובה במטרים).
מודל ריבועי: אומגה בין שני עמודים (שאלה מלאה · בינונית)
באתר טיולים יש אומגה: כבל שמתוח בין מגדל לעמוד, ונוסעים לאורכו כשהם תלויים ברתמה. צורת הכבל היא פרבולה שמשוואתה $y=0.02x^2-1.2x+22$ . הכבל…
מודל ריבועי: כדור לכלב (שאלה מלאה · בינונית)
שירה משחקת עם הכלב שלה בכדור טניס בחצר שהקרקע שלה מישורית. שירה זרקה את הכדור לכלב. הכדור נע בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.5x^2+2.8x+1.2$ ,…
מודל ריבועי: הגשה בכדורעף (שאלה מלאה · בינונית)
מאיה הגישה כדור במשחק כדורעף. המגרש מישורי. הכדור נע בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.05x^2+0.6x+2.25$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את…
מודל ריבועי: מגלשת מים בפארק (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק מים בנו מגלשה על קרקע מישורית. אחד מן הקטעים של המגלשה הוא בצורת פרבולה. קטע זה מתחיל בנקודה $A$ על ציר ה- $y$ ומסתיים בנקודה $B$ (ראו…
תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציה (שאלה קצרה · בינונית)
הגובה של מטוס נייר (במטרים) מתואר על ידי הפונקציה $h(x)=-0.1x^2+0.8x+1.5$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הזריקה, $0\le x\le9$ .
מודל ריבועי: שביל הליכה על גבעה (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק טבע סללו שביל הליכה שעובר מעל גבעה. אחד מן הקטעים של השביל הוא בצורת פרבולה. קטע שביל זה מתחיל בנקודה $A$ על ציר ה- $y$ ומסתיים בנקודה…
מודל ריבועי: רכבת הרים במנהרה (שאלה מלאה · בינונית)
קטע ממסלול של רכבת הרים עובר במנהרה מתחת לפני הקרקע. הקטע הוא בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=0.5x^2-4x+6$ . הקטע מתחיל בנקודה $P$ שעל ציר…
תחומי עלייה, ירידה, חיוביות ושליליות מתוך הפונקציה (שאלה קצרה · בינונית)
אבן נזרקת מראש צוק. מסלול האבן הוא בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.25x^2+2x+5$ , כאשר $x\ge0$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מן הצוק ו- $y$ הוא…
מודל ריבועי: שקע במסלול אופניים (שאלה מלאה · בינונית)
במסלול לאופני BMX חפרו בקרקע שקע. רוכבת נוסעת לאורך המסלול, נכנסת לשקע בנקודה $A$ ויוצאת ממנו בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. בין $A$ ל- $B$ …
דולפין: מעל פני המים ועולה (שאלה קצרה · בינונית)
דולפין קפץ מעל פני המים. המסלול של הדולפין מתואר על ידי הפרבולה $y=-0.5x^2+4x-6$ : $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) ו- $y$ הוא הגובה מעל פני המים…
סילון מזרקה: גובה מקסימלי, תחום ירידה ונקודה בירידה (שאלת ביניים · בינונית)
במזרקה בגן ציבורי יוצא סילון מים מפיית המזרקה, ומסלולו הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.2x^2+1.2x+3.2$ . הסילון יוצא מהפייה בנקודה $A(0,3.2)$ …

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מודל ריבועי: מסלול טיפוס בצורת פרבולה · בגרות 372 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
בפארק שעשועים בנו על קרקע מישורית מסלול טיפוס בצורת פרבולה. המסלול מתחיל בנקודה $A$ ומסתיים בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנו למסלול עמוד תמיכה אנכי מבטון.…
מודל ריבועי: זריקה לסל · בגרות 372 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
נועה זרקה כדור לסל. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.5x^2+2x+2$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק האופקי (במטרים) של הכדור מנקודת הזריקה.…
מודל ריבועי: גשר בצורת פרבולה · בגרות 372 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
מעל נהר בנו גשר בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.1x^2+0.8x$ . הגשר מתחיל בנקודה $O$ ומסתיים בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק האופקי (במטרים) מן…
מודל ריבועי: מגלשת מים · בגרות 372 חורף 2025, שאלה 4
בפארק מים יש מגלשת מים שצורתה היא פרבולה שמשוואתה $y=x^2-6x+11$ . למגלשה עולים מסולם אנכי המתחיל בקרקע, בנקודה $O$ (ראשית הצירים), ומסתיים בנקודה $A$ . ציר ה- $x$ …
מודל ריבועי: מסירה בכדור · בגרות 372 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
תומר ויואב שיחקו במסירות בכדור קטן. הם שיחקו במגרש שהקרקע שלו מישורית. באחת המסירות זרק תומר את הכדור ליואב. הכדור נע בצורת פרבולה שמשוואתה היא…
מודל ריבועי: קטע של רכבת הרים · בגרות 372 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
בפארק שעשועים התקינו רכבת הרים על קרקע מישורית. אחד מן הקטעים של מסילת הרכבת הוא בצורת פרבולה. קטע מסילה זה מתחיל בנקודה $A$ על ציר ה- $y$ ומסתיים בנקודה $B$ …
מודל ריבועי: מסלול סקייטבורד · בגרות 372 חורף 2026, שאלה 4
נועם גולש בסקייטבורד על מסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=0.4x^2-1.2x$ . המסלול מתחיל בראשית הצירים $O$ ומסתיים בנקודה $A$ הנמצאת על ציר ה- $x$ , כמתואר בסרטוט.…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פרבולה בהקשר: מזרקה ומסלול המים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפרבולה: $f(x)=-x^2+3x$ . לפניכם ארבעה גרפים, 1-4: גרף 1: גרף 2: גרף 3: גרף 4:
פרבולה בהקשר: קפיצה של דולפין (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפרבולה: $f(x)=-0.4x^2+2x$ . לפניכם ארבעה גרפים, 1-4: גרף 1: גרף 2: גרף 3: גרף 4:
פרבולה בהקשר: מעוף של כדור (שאלה מלאה · קלה)
כדור נבעט מהקרקע. מסלול הכדור מתואר על ידי הפרבולה $f(x)=-x^2+6x$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת…
פרבולה וישר אופקי: חיתוכים, תחומים ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-10x+16$ . הגרף שלה חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $x$ בנקודות $B$ ו- $C$ ( $B$ …
פרבולה לפי נקודות האפס ועוד נתון אחד (שאלה קצרה · בינונית)
בכל סעיף נתונה פרבולה אחרת, ונתונות נקודות החיתוך שלה עם ציר ה- $x$ .