שאלות פתוחות: פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשים - כיתה י"ב 3 יח"ל

פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשים, שאלות לכיתה י"ב 3 יחידות. מלבד משוואות ישירות יש בעיות שמובילות למשוואה: גינה ריבועית שהפכה למלבן ששטחו 50 מ"ר, תמונה במסגרת ברוחב אחיד, קופסה שמקפלים מגיליון קרטון אחרי גזירת ריבועים בפינות, וארגזי הובלה. יש גם סילון מים, מנויים במכון כושר וציפור ים שצוללת לצוד דג, שבהם פותרים כדי למצוא נקודה על המסלול. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. בחרו מכאן שאלות למבחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל אחת.

51 שאלותקלה: 4בינונית: 39קשה: 8

שאלה 1 · פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשיםשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה הריבועית 2x2−7x+3=02x^2-7x+3=02x2−7x+3=0.

פתרו את המשוואה בעזרת נוסחת השורשים.

שאלה 2 · פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשיםשאלה קצרה · בינונית

גינה הייתה בצורת ריבוע. הגנן האריך צלע אחת של הגינה ב-333 מטרים וקיצר את הצלע הסמוכה לה ב-222 מטרים, והתקבלה גינה מלבנית ששטחה 505050 מ"ר.

מצאו את אורך הצלע של הגינה הריבועית.

שאלה 3 · גופים: ארגזים בעלי נפח שונה ושטח פנים שווהשאלה מלאה · קשה

חברת הובלות משתמשת בשני סוגים של ארגזי קרטון, A ו-B. כל הארגזים הם תיבות שבסיסן מלבן.
ממדי ארגז A: בסיס של 30 ס"מ על 20 ס"מ, וגובה 8 ס"מ.
בארגז B: אורך אחת מצלעות הבסיס הוא xxx ס"מ, אורך הצלע האחרת גדול ב-5 ס"מ מ-xxx, והגובה 20 ס"מ.
הנפח של ארגז B גדול ב-25% מהנפח של ארגז A.
כמות הקרטון הדרושה לארגז שווה לשטח הפנים שלו.
ארגז A30208ABCDEFGK
ארגז Bx+5x20ABCDEFGK

א.

מצאו את xxx.

ב.

לאיזה ארגז דרוש יותר קרטון? נמקו.

ג.

החברה רוצה להנמיך את ארגז B (בלי לשנות את הבסיס) כך שהנפח שלו יהיה שווה לנפח של ארגז A.

בכמה אחוזים צריך להקטין את הגובה של ארגז B? לאיזה ארגז יידרש אז יותר קרטון?

שאלה 4 · מודל ריבועי: סילון מיםשאלה מלאה · קלה

סילון מים יוצא מצינור הקבוע בקיר. הפונקציה y=−x2+4x+12y=-x^2+4x+12y=−x2+4x+12 מתארת את הגובה של הסילון מעל הקרקע במטרים (yyy) כפונקציה של המרחק האופקי מהקיר במטרים (xxx), כמתואר בסרטוט.

א.

באיזה גובה נמצא הצינור (הסילון ב-x=0x=0x=0)?

ב.

מהו הגובה המקסימלי של הסילון, ובאיזה מרחק מהקיר הוא מתקבל?

ג.

באילו מרחקים מהקיר הסילון נמצא בגובה 15 מטרים?

ד.

באיזה מרחק מהקיר פוגע הסילון בקרקע?

שאלה 5 · פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשיםשאלה קצרה · בינונית

תמונה מלבנית שממדיה 202020 ס"מ על 303030 ס"מ הוכנסה למסגרת. רוחב המסגרת שווה בכל ארבעת הצדדים של התמונה. השטח של התמונה יחד עם המסגרת הוא 1,0001{,}0001,000 סמ"ר.

מצאו את רוחב המסגרת. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

שאלה 6 · מודל ריבועי: מנויים במכון כושר - מקדמים חסרים ומספר הזמנים שבהם מתקבל ערך נתוןשאלה מלאה · קשה

מספר המנויים של מכון כושר (במאות) לפי הזמן מפתיחת המכון (בחודשים) מתואר על ידי הפונקציה y=x2+bx+cy=x^2+bx+cy=x2+bx+c, במשך 10 החודשים הראשונים (0≤x≤100\le x\le100≤x≤10).
ידוע שכעבור חודש אחד מהפתיחה היו במכון 3,200 מנויים, וכעבור 3 חודשים - 1,600 מנויים.
לפניכם גרף הפונקציה בתקופה זו.

א.

מצאו את bbb ואת ccc.

ב.

מתי מספר המנויים היה הקטן ביותר, ומה היה מספר המנויים אז?

ג.

מצאו כעבור כמה חודשים מהפתיחה היה מספר המנויים שווה למספר המנויים בסוף התקופה.

ד.

בעבור אילו ערכים של kkk היו במכון בדיוק kkk מאות מנויים בשני זמנים שונים במהלך התקופה?
ובעבור אילו ערכים של kkk - בזמן אחד בלבד?

שאלה 7 · מודל ריבועי: ציפור צוללת אל מתחת לפני המיםשאלה מלאה · קלה

ציפור ים צוללת אל מתחת לפני המים כדי לצוד דג. המסלול של הציפור מתחת לפני המים הוא בצורת פרבולה שמשוואתה היא y=0.5x2−2xy=0.5x^2-2xy=0.5x2−2x.
הציפור נכנסת למים בנקודה OOO (ראשית הצירים) ויוצאת מהם בנקודה AAA, שתיהן על פני המים, כמתואר בסרטוט.
ציר ה-xxx מייצג את פני המים ואת המרחק האופקי (במטרים) מ-OOO, וציר ה-yyy מייצג את הגובה (במטרים) ביחס לפני המים.
OA

א.

הראו כי שיעורי הנקודה AAA הם (4,0)(4,0)(4,0).

ב.

מצאו את העומק המרבי שאליו הגיעה הציפור מתחת לפני המים, ואת המרחק האופקי מ-OOO שבו הגיעה אליו.

ג.

מהו העומק של הציפור כשהיא נמצאת במרחק אופקי של 3.5 מטרים מ-OOO?

ד.

באילו מרחקים אופקיים מ-OOO הייתה הציפור בעומק של 1.5 מטרים?

שאלה 8 · פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשיםשאלה קצרה · בינונית

מגיליון קרטון מלבני שממדיו 303030 ס"מ על 202020 ס"מ גוזרים בכל אחת מארבע הפינות ריבוע שאורך צלעו xxx ס"מ, ומקפלים את השוליים כלפי מעלה. מתקבלת קופסה פתוחה בצורת תיבה שגובהה xxx ס"מ. שטח הבסיס של הקופסה הוא 336336336 סמ"ר.

א.

מצאו את xxx.

ב.

חשבו את נפח הקופסה.

שאלה 9 · מודל ריבועי עם פרמטר: מהירות הזריקה מתוך הגובה המרבישאלה מלאה · קשה

כדור נזרק אנכית כלפי מעלה מגובה 1.5 מטרים. הגובה שלו במטרים כעבור xxx שניות מתואר על ידי הפונקציה y=−5x2+20x+1.5y=-5x^2+20x+1.5y=−5x2+20x+1.5.

א.

כעבור כמה שניות מגיע הכדור לגובה המקסימלי? מהו הגובה המקסימלי?

ב.

כעבור כמה שניות מרגע הזריקה פוגע הכדור בקרקע? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

ג.

כמה זמן נמצא הכדור בגובה של יותר מ-16.5 מטרים?

ד.

מצאו לאילו גבהים hhh הכדור נמצא בגובה hhh פעמיים בדיוק במהלך התנועה (מרגע הזריקה ועד הפגיעה בקרקע), ולאילו גבהים פעם אחת בלבד.

שאלה 10 · פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשיםשאלה קצרה · בינונית

לרינה הייתה ערוגה בצורת ריבוע. היא הגדילה את הערוגה: האריכה צלע אחת ב-333 מטרים ואת הצלע הסמוכה לה ב-222 מטרים, והתקבלה ערוגה מלבנית ששטחה גדול פי 222 משטח הערוגה הריבועית.

בכמה מ"ר גדל שטח הערוגה?

עוד 28 שאלות על פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משולש ישר זווית שקודקודו על ציר ה-x: זווית ישרה ושטח מרובע הפוך (שאלה מלאה · קשה)
במשולש $ABC$ הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $x$ , מימין לנקודה $D$ שבה הצלע $AB$ חותכת את ציר ה- $x$ …
מודל ריבועי: מספר המבקרים בפארק מים לאורך זמן (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $y=0.5x^2-6x+22$ מתארת את מספר המבקרים בפארק מים לפי הזמן, במשך תקופה מסוימת. לפניכם גרף המתאר את מספר המבקרים בפארק בתקופה זו (ציר…
מודל ריבועי: מסלול של רחפן ומספר הנקודות בגובה נתון (שאלה מלאה · קשה)
רחפן צעצוע יוצא לדרך מראש מגדל (הנקודה $A$ ) ונוחת על הקרקע בנקודה $B$ . מסלול הטיסה מתואר על ידי הפונקציה $f(x)=-0.25x^2+2x+5$ , כאשר $x$ הוא…
פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשים (שאלה קצרה · בינונית)
מספר המבקרים במוזיאון (באלפים) בכל שבוע, $x$ שבועות אחרי פתיחת תערוכה, מתואר על ידי הפונקציה $y=x^2-6x+20$ .
מודל ריבועי: מסלול מזחלת עם מקדם לא ידוע (שאלה מלאה · קשה)
מזחלת שלג נוסעת בעמק על מסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=0.2x^2+bx$ ( $b$ פרמטר). המסלול מתחיל בראשית הצירים $O$ ומסתיים בנקודה $A$ שעל ציר…
מודל ריבועי: מסלול רכבת הרים לילדים (שאלה מלאה · בינונית)
בגן שעשועים בנו על קרקע מישורית מסלול של רכבת הרים לילדים בצורת פרבולה. המסלול מתחיל בנקודה $A$ ומסתיים בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם.…
משוואה ריבועית מפיתגורס: ריבוע חסום בריבוע (שאלה קצרה · קשה)
שלט עשוי מלוח ריבועי $ABCD$ שאורך צלעו 85 ס״מ. על צלעות הלוח מסמנים את הנקודות $E$ , $F$ , $G$ , $H$ כך ש- $AE=BF=CG=DH$ , ומחברים אותן. המרובע…
מודל ריבועי: זריקת כדור (שאלה מלאה · בינונית)
מיכל זורקת כדור כלפי מעלה. הפונקציה הריבועית $y=-5x^2+14x+1$ מתארת במטרים את הגובה של הכדור מעל הקרקע (ציר ה- $y$ ) כפונקציה של הזמן בשניות…
טיל דגם: מקדם לא ידוע וזמנים בגובה נתון (שאלת ביניים · קשה)
הגובה (במטרים) של טיל דגם $t$ שניות אחרי שיגורו מהקרקע נתון בנוסחה $h=-5t^2+bt$ , כאשר $b$ מספר קבוע. ידוע שכעבור $2$ שניות מהשיגור, בדרכו…
פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשים (שאלה קצרה · בינונית)
הגובה במטרים של טיל צעצוע כעבור $x$ שניות משיגורו מתואר על ידי הפונקציה $y=-5x^2+30x$ .
מודל ריבועי: זריקה לחבר על מרפסת (שאלה מלאה · בינונית)
גל זרק כדור לחברו, שעומד על מרפסת. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.3x^2+1.8x+1.5$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק…
מודל ריבועי: קפיצה של צפרדע (שאלה מלאה · בינונית)
צפרדע קפצה מאבן אל גדם של עץ. הצפרדע נעה במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.8x^2+1.6x+0.3$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק…
מודל ריבועי: סילון מים במזרקה (שאלה מלאה · בינונית)
במזרקה בגן ציבורי יוצא סילון מים מפיית המזרקה, ומסלולו הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.2x^2+1.2x+3.2$ . הסילון יוצא מהפייה בנקודה $A$ שעל ציר…
פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשים (שאלה קצרה · בינונית)
רחפן צעצוע טס במסלול שהוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.5x^2+3x+2$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת ההמראה ו- $y$ הוא הגובה (במטרים).
מודל ריבועי: קפיצה של קנגורו (שאלה מלאה · בינונית)
קנגורו קפץ על קרקע מישורית. הקנגורו התנתק מהקרקע בנקודה $A$ ונחת בנקודה $B$ . מסלול הקפיצה הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.2x^2+2.4x-5.4$ ,…
מודל ריבועי: מגלשת מים (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק מים יש מגלשת מים שצורתה היא פרבולה שמשוואתה $y=0.5x^2-5x+15$ . למגלשה עולים מסולם אנכי המתחיל בקרקע, בנקודה $O$ (ראשית הצירים), ומסתיים…
פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשים (שאלה קצרה · בינונית)
כדור נבעט ממגרש, ומסלולו מתואר על ידי הפונקציה $y=-x^2+8x+2$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה ו- $y$ הוא גובה הכדור…
מודל ריבועי: אומגה בין שני עמודים (שאלה מלאה · בינונית)
באתר טיולים יש אומגה: כבל שמתוח בין מגדל לעמוד, ונוסעים לאורכו כשהם תלויים ברתמה. צורת הכבל היא פרבולה שמשוואתה $y=0.02x^2-1.2x+22$ . הכבל…
מודל ריבועי: כדור לכלב (שאלה מלאה · בינונית)
שירה משחקת עם הכלב שלה בכדור טניס בחצר שהקרקע שלה מישורית. שירה זרקה את הכדור לכלב. הכדור נע בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.5x^2+2.8x+1.2$ ,…
מודל ריבועי: הגשה בכדורעף (שאלה מלאה · בינונית)
מאיה הגישה כדור במשחק כדורעף. המגרש מישורי. הכדור נע בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.05x^2+0.6x+2.25$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את…
מודל ריבועי: מגלשת מים בפארק (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק מים בנו מגלשה על קרקע מישורית. אחד מן הקטעים של המגלשה הוא בצורת פרבולה. קטע זה מתחיל בנקודה $A$ על ציר ה- $y$ ומסתיים בנקודה $B$ (ראו…
פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשים (שאלה קצרה · בינונית)
קשת של גשר מתוארת על ידי הפונקציה $y=-0.1x^2+2x$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מתחילת הקשת ו- $y$ הוא הגובה (במטרים) מעל המים,…
מודל ריבועי: שביל הליכה על גבעה (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק טבע סללו שביל הליכה שעובר מעל גבעה. אחד מן הקטעים של השביל הוא בצורת פרבולה. קטע שביל זה מתחיל בנקודה $A$ על ציר ה- $y$ ומסתיים בנקודה…
מודל ריבועי: רכבת הרים במנהרה (שאלה מלאה · בינונית)
קטע ממסלול של רכבת הרים עובר במנהרה מתחת לפני הקרקע. הקטע הוא בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=0.5x^2-4x+6$ . הקטע מתחיל בנקודה $P$ שעל ציר…
פתרון משוואה ריבועית בנוסחת השורשים (שאלה קצרה · בינונית)
כדור נזרק מגובה 2 מטרים. מסלול הכדור הוא בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.5x^2+3x+2$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הזריקה ו- $y$ …
מודל ריבועי: שקע במסלול אופניים (שאלה מלאה · בינונית)
במסלול לאופני BMX חפרו בקרקע שקע. רוכבת נוסעת לאורך המסלול, נכנסת לשקע בנקודה $A$ ויוצאת ממנו בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. בין $A$ ל- $B$ …
מתי הכדור בגובה נתון (שאלה קצרה · בינונית)
מיכל זורקת כדור כלפי מעלה. הפונקציה הריבועית $y=-5x^2+14x+1$ מתארת במטרים את הגובה של הכדור מעל הקרקע (ציר ה- $y$ ) כפונקציה של הזמן בשניות…
ערוגה מלבנית ושביל סביבה (שאלת ביניים · בינונית)
ערוגה מלבנית אורכה גדול מרוחבה ב- $7$ מטרים, ושטחה $60$ מ"ר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מודל ריבועי: כמות המוצרים במפעל לאורך זמן · בגרות 372 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
הפונקציה $y=x^2-8x+17$ מתארת את כמות המוצרים שייצרו במפעל מסוים לפי הזמן, במשך תקופה מסוימת. לפניכם גרף המתאר את כמות המוצרים שייצרו במפעל בתקופה זו (ציר ה- $y$ :…
מודל ריבועי: מסלול טיפוס בצורת פרבולה · בגרות 372 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
בפארק שעשועים בנו על קרקע מישורית מסלול טיפוס בצורת פרבולה. המסלול מתחיל בנקודה $A$ ומסתיים בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנו למסלול עמוד תמיכה אנכי מבטון.…
מודל ריבועי: זריקת אבן · בגרות 372 חורף 2024, שאלה 4
נדב זורק אבן כלפי מעלה. הפונקציה הריבועית $y=-5x^2+16x+2$ מתארת במטרים את הגובה של האבן מעל הקרקע (ציר ה- $y$ ) כפונקציה של הזמן בשניות (ציר ה- $x$ ), כמתואר בסרטוט…
מודל ריבועי: זריקה לסל · בגרות 372 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
נועה זרקה כדור לסל. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.5x^2+2x+2$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק האופקי (במטרים) של הכדור מנקודת הזריקה.…
מודל ריבועי: גשר בצורת פרבולה · בגרות 372 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
מעל נהר בנו גשר בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.1x^2+0.8x$ . הגשר מתחיל בנקודה $O$ ומסתיים בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק האופקי (במטרים) מן…
מודל ריבועי: מגלשת מים · בגרות 372 חורף 2025, שאלה 4
בפארק מים יש מגלשת מים שצורתה היא פרבולה שמשוואתה $y=x^2-6x+11$ . למגלשה עולים מסולם אנכי המתחיל בקרקע, בנקודה $O$ (ראשית הצירים), ומסתיים בנקודה $A$ . ציר ה- $x$ …
מודל ריבועי: מסירה בכדור · בגרות 372 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
תומר ויואב שיחקו במסירות בכדור קטן. הם שיחקו במגרש שהקרקע שלו מישורית. באחת המסירות זרק תומר את הכדור ליואב. הכדור נע בצורת פרבולה שמשוואתה היא…
מודל ריבועי: קטע של רכבת הרים · בגרות 372 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
בפארק שעשועים התקינו רכבת הרים על קרקע מישורית. אחד מן הקטעים של מסילת הרכבת הוא בצורת פרבולה. קטע מסילה זה מתחיל בנקודה $A$ על ציר ה- $y$ ומסתיים בנקודה $B$ …
מודל ריבועי: מסלול סקייטבורד · בגרות 372 חורף 2026, שאלה 4
נועם גולש בסקייטבורד על מסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=0.4x^2-1.2x$ . המסלול מתחיל בראשית הצירים $O$ ומסתיים בנקודה $A$ הנמצאת על ציר ה- $x$ , כמתואר בסרטוט.…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

משולש ישר-זווית: ניצב אחד ארוך מהשני (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש ישר-זווית אורך היתר הוא $25$ ס"מ, וניצב אחד ארוך מהניצב השני ב- $17$ ס"מ. מסמנים ב- $x$ את אורך הניצב…
האם המספר הוא פתרון? (שאלה קצרה · קלה)
נתונה המשוואה $2x^2-x-6=0$ .
איפה הטעות בנוסחת השורשים? (שאלה קצרה · בינונית)
שלושה תלמידים פתרו את המשוואה $x^2-4x-5=0$ בנוסחת השורשים $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , וכל אחד…
מדבקה משולשת: בסיס, גובה ושטח (שאלת ביניים · בינונית)
מדבקה היא משולש. אורך הבסיס שלה ארוך ב- $3$ ס"מ מהגובה לבסיס, ושטח המדבקה $27$ סמ"ר. נסמן ב- $h$ את אורך הגובה…