מבחן לדוגמה: גיאומטריה: מרובעים - כיתה ט'

שי מציע לבנות דלתון כזה שבו האלכסון המשני $BD$ באורך $22$ ס"מ. הסבירו בעזרת המשולש $ABD$ למה אין דלתון כזה. מהו האורך השלם (בס"מ) הגדול ביותר האפשרי של $BD$?

בונים את הדלתון עם $BD=16$ ס"מ. חשבו את $AO$, את $OC$ ואת שטח הדלתון. עמית טוען שבדלתון כזה אפשר ש-$AO=11$ ס"מ. הסבירו בלי חישוב למה הוא טועה.

נגה טוענת: "אורכי הצלעות של דלתון קובעים את השטח שלו." חשבו את שטח הדלתון כאשר $BD=12$ ס"מ (בקירוב לספרה אחת אחרי הנקודה), והשוו לסעיף ב. מה צריך להוסיף לאורכי הצלעות כדי לקבוע את השטח?

לכל אחת משתי הקבוצות הבאות כתבו איזה קו או קווים הנקודות שלה יוצרות, וסרטטו אותה.

(1) כל הנקודות ששיעור ה-$x$ שלהן הוא $-2$.

(2) כל הנקודות שהמרחק שלהן מציר ה-$x$ הוא $3$ יחידות.

מצאו את כל הנקודות ששייכות לשתי הקבוצות של סעיף א. מה המרחק של כל אחת מהן מהנקודה $P(-2,7)$?

חשבו את שלוש הזוויות של המשולש $KLM$.

הוכיחו: $NP\parallel KL$.

חשבו את הזוויות של המשולש $NPM$. אילו שתי צלעות של המשולש $NPM$ שוות? נמקו.

$ABCD$ הוא טרפז שווה שוקיים ($AB\parallel DC$, $AD=BC$). האלכסונים $AC$ ו-$BD$ נחתכים בנקודה $O$.

נתון: $\angle ODC=28^\circ$, $\angle ADB=46^\circ$.

(1) הוכיחו: $\triangle ADC\cong\triangle BCD$, והסיקו ש-$\angle OCD=28^\circ$.

(2) חשבו את $\angle DOC$ ואת ארבע הזוויות של הטרפז.

$KLMN$ הוא טרפז שווה שוקיים ($KL\parallel NM$, $KN=LM$). בטרפז הזה גם $KL=KN$. מעבירים את האלכסון $NL$.

גודלי הזוויות במעלות: $\angle NKL=6x+12$, $\angle LNM=2x+4$.

מצאו את $x$ ואת ארבע הזוויות של הטרפז.

הוכיחו שתי טענות: (1) אם $OE=OF$, אז $EBFD$ מעוין. (2) אם $EBFD$ מעוין, אז $OE=OF$.

הראו גם שלא כל בחירה של $E$ ו-$F$ נותנת מעוין: חשבו את $EB$ ואת $FB$ כאשר $OE=5$ ס"מ ו-$OF=9$ ס"מ.

מצאו את $OE$ שעבורו $EBFD$ ריבוע, הוכיחו שבבחירה הזו הוא אכן ריבוע, וחשבו איזה חלק משטח $ABCD$ הוא שטחו.

נועה רוצה לבחור את $E$ ואת $F$ כך ש-$EBFD$ יהיה מעוין שצלעו $11$ ס"מ. הסבירו למה זה בלתי אפשרי.

הוכיחו ש-$CE=CG$, והסיקו שהמרובע $CEFG$ הוא דלתון. מהו ציר הסימטריה שלו?

מצאו בסרטוט דלתון נוסף שאחד מקודקודיו הוא $C$, והוכיחו שהוא דלתון.

נתון: $\angle BCE=25^\circ$. חשבו את $\angle ECF$, את $\angle CEF$ ואת $\angle BEC$.

המשולש השני הוא $ADC$: הוא מונח על הצלע $AC$, ו-$AD=9$ ס"מ, $CD=12$ ס"מ.

הוכיחו ש-$ABCD$ דלתון שאינו מעוין, וחשבו את היקפו.

הפעם המשולש השני הוא $CEA$: הוא מונח על הצלע $AC$, ו-$CE=9$ ס"מ, $EA=12$ ס"מ.

הוכיחו ש-$ABCE$ מלבן, וחשבו את אורך האלכסון $BE$.

הפעם המשולש השני הוא $FCB$: הוא מונח על הניצב $BC$, הזווית הישרה שלו היא $\angle FCB=90^\circ$, ו-$CF=9$ ס"מ.

הוכיחו ש-$ABFC$ מקבילית, והסבירו למה היא אינה מלבן ואינה מעוין. חשבו את שטחה.

תלמיד הניח את המשולש השני כך שהוא מונח על הניצב $BC$ וגם הזווית הישרה שלו נמצאת בקודקוד $B$. הסבירו למה במקרה הזה לא מתקבל מרובע. איזו צורה מתקבלת?

עכשיו התלמידים גזרו שני משולשים ישרי זווית חופפים שבכל אחד מהם שני הניצבים שווים זה לזה. הם הניחו אותם כמו בסעיף א וכמו בסעיף ב. איזה מרובע מתקבל בכל אחד מהמקרים? נמקו בעזרת הקשרים בין המרובעים.

הוכיחו ש-$OB=OD$ ושהמרובע $ABCD$ הוא דלתון.

מצאו את השיעורים של $Q$ ושל $S$. נמקו.

נתון גם: $OD=6$. מצאו את משוואות הישרים $AD$ ו-$CD$, ואת השיעורים של $A$ ושל $C$.

חשבו את אורכי האלכסונים $AC$ ו-$BD$, את שטח הדלתון ואת היקפו (בקירוב של שתי ספרות אחרי הנקודה).

גיל אומר: "בדלתון $ABCD$ האלכסונים שווים ומאונכים זה לזה, ולכן הוא ריבוע." האם גיל צודק? נמקו.