שאלות פתוחות: טרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס, האלכסונים והמשפט ההפוך - כיתה ט'

$ABCD$ הוא טרפז שווה שוקיים ($AB\parallel DC$, $AD=BC$), ו-$\angle ADC=71^\circ$.

(1) חשבו את שלוש הזוויות האחרות של הטרפז.

(2) הסבירו למה אין טרפז שווה שוקיים שבו גם זוויות הבסיס הקצר שוות לזוויות הבסיס הארוך.

במרובע $KLMN$ נתון (במעלות): $\angle K=\angle L=3x+12$, $\angle M=\angle N=2x+28$.

מצאו את $x$ ואת זוויות המרובע. הוכיחו ש-$KLMN$ טרפז, וקבעו אם הוא טרפז שווה שוקיים. נמקו לפי משפטים.

חשבו את אורך כל שוק. איזו תכונה של הטרפז מאפשרת למצוא אותו מההיקף ומאורכי הבסיסים בלבד?

הסבירו למה $AE=FB$, וחשבו את $AE$ ואת גובה הטרפז $DE$.

חשבו את שטח הטרפז.

שני תלמידים טעו: גלית כפלה את סכום הבסיסים באורך השוק וחילקה ב-$2$, ורועי כתב $DE^2=10^2-22^2$. מה יצא לגלית? הסבירו בלי חישוב נוסף למה התוצאה שלה גדולה מהשטח הנכון. מה הטעות של רועי?

הוכיחו: $OE=\frac{AB}{2}$ ו-$OF=\frac{DC}{2}$, והסיקו שגובה הטרפז שווה ל-$\frac{AB+DC}{2}$.

נתון ששטח הטרפז $64$ סמ"ר, והבסיס $AB$ ארוך פי $3$ מהבסיס $DC$. מצאו את גובה הטרפז ואת אורכי הבסיסים.

הוכיחו ש-$ABCD$ הוא טרפז שווה שוקיים, וציינו את המשפט שבו השתמשתם. מצאו את $\angle ADC$ ואת $\angle BCD$.

הסבירו למה $AH=BK$, ומצאו את אורכם. היעזרו בזוויות של המשולש $AHD$, ומצאו את הגובה $DH$.

חשבו את שטח הטרפז ואת היקפו. את אורך השוק כתבו בעזרת שורש, ודייקו גם עד ספרה אחת אחרי הנקודה.

$ABCD$ הוא טרפז שווה שוקיים ($AB\parallel DC$, $AD=BC$). האלכסונים $AC$ ו-$BD$ נחתכים בנקודה $O$.

נתון: $\angle ODC=28^\circ$, $\angle ADB=46^\circ$.

(1) הוכיחו: $\triangle ADC\cong\triangle BCD$, והסיקו ש-$\angle OCD=28^\circ$.

(2) חשבו את $\angle DOC$ ואת ארבע הזוויות של הטרפז.

$KLMN$ הוא טרפז שווה שוקיים ($KL\parallel NM$, $KN=LM$). בטרפז הזה גם $KL=KN$. מעבירים את האלכסון $NL$.

גודלי הזוויות במעלות: $\angle NKL=6x+12$, $\angle LNM=2x+4$.

מצאו את $x$ ואת ארבע הזוויות של הטרפז.

הראו ש-$h^2=13^2-\left(\frac{30-b}{2}\right)^2$. חשבו את $h$ כאשר $b=20$ וכאשר $b=6$.

האם אפשר לבנות טרפז כזה שבו $b=2$? מצאו את כל הערכים של $b$ שבעבורם יש טרפז כזה, והסבירו למה כשהבסיס הקצר מתקצר הגובה קטן.

הוכיחו: $\triangle PDB\cong\triangle QCA$.

הוכיחו: $MP=MQ$.

הוכיחו: $MA=MB$.

הסבירו למה $\angle BEC=\angle ADC$, ולמה $\angle BEC=\angle BCE$.

הסבירו למה $ABCD$ הוא טרפז שווה שוקיים.

גודלי הזוויות במעלות: $\angle EBC=x+20$, $\angle BCE=2x-10$. מצאו את $x$ ואת ארבע הזוויות של הטרפז.

הוכיחו ש-$AE=BF$, ושהמרובע $EFCD$ הוא טרפז שווה שוקיים: יש בו זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות, והשוקיים שלו שוות.

נתון $AE=5$ ס"מ. חשבו את השטח ואת ההיקף של הטרפז $EFCD$. (אורכים שאינם שלמים השאירו עם שורש.)

תמר אומרת: "מכאן נובע שהמרובע $KLMN$ הוא בהכרח טרפז שווה שוקיים." האם תמר צודקת? נמקו, והראו מרובע שמתאים לנתונים אם היא טועה.

במרובע אחר שבו $KL\parallel NM$ ו-$KN=LM$ נתון גם: $\angle KNM=\angle LMN=70^\circ$. הוכיחו ש-$KLMN$ הוא טרפז שווה שוקיים.