שאלות פתוחות: דלתון: הגדרה, זוויות והאלכסון הראשי - כיתה ט'

שאלות פתוחות על דלתון לכיתה ט': הגדרה, זוויות והאלכסון הראשי. התלמידים מזהים אילו מרובעים הם דלתונים לפי אורכי הצלעות, מוצאים x כשהצלעות נתונות כביטויים, ומחשבים אורכים בדלתון עם זוויות ראש נתונות או עם שתי זוויות צד ישרות. יש גם נקודה על האלכסון הראשי שמוכיחים עליה טענה, ודלתון במערכת צירים. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו את המתאימות לבוחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים להורדה ב-Word.

38 שאלותרמה א': 20רמה ב': 11מצוינות: 7

שאלה 1 · צלעות הדלתון בביטוייםשאלה מלאה · רמה א'

ABCDABCDABCD הוא דלתון קמור שקודקודי הראש שלו AAA ו-CCC: AB=ADAB=ADAB=AD ו-CB=CDCB=CDCB=CD. אורכי הצלעות בס"מ: AB=3x−1AB=3x-1AB=3x−1, AD=x+7AD=x+7AD=x+7, CB=2x+5CB=2x+5CB=2x+5.

א.

מצאו את xxx, את אורכי ארבע הצלעות ואת היקף הדלתון.

ב.

רון כתב עבור CDCDCD את הביטוי 4x−74x-74x−7, בנוסף לביטויים הנתונים. הסבירו מדוע עם הביטוי הזה אין דלתון כזה.

ג.

PQRSPQRSPQRS הוא דלתון קמור שלא כל צלעותיו שוות, אבל לא ידוע מהם קודקודי הראש שלו. אורכי שלוש צלעות בס"מ: PQ=y+2PQ=y+2PQ=y+2, QR=2y−1QR=2y-1QR=2y−1, RS=3y−6RS=3y-6RS=3y−6.
מצאו את כל האפשרויות: לכל אפשרות כתבו את קודקודי הראש, את yyy, את ארבע הצלעות ואת ההיקף.

ד.

האם ייתכן ערך של yyy שבו כל ארבע הצלעות של PQRSPQRSPQRS שוות? נמקו.

שאלה 2 · מי מהמרובעים הוא דלתון?שאלה קצרה · רמה ב'

דלתון הוא מרובע שיש בו שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות שוות.
בטבלה אורכי הצלעות (בס"מ) של חמישה מרובעים קמורים ABCDABCDABCD. הצלעות רשומות לפי הסדר סביב המרובע.
מרובעABABABBCBCBCCDCDCDDADADA
1666666101010101010
2888131313888131313
3121212777777121212
4333333333777
5999999999999

מרובע	$AB$	$BC$	$CD$	$DA$
1	$6$	$6$	$10$	$10$
2	$8$	$13$	$8$	$13$
3	$12$	$7$	$7$	$12$
4	$3$	$3$	$3$	$7$
5	$9$	$9$	$9$	$9$

א.

אילו מהמרובעים הם דלתונים? לכל דלתון כתבו את קודקודי הראש ואת האלכסון הראשי.

ב.

נועה טוענת: 'במרובע 4 יש שלוש צלעות שוות, ולכן הוא בוודאי דלתון.' הסבירו את הטעות שלה. במרובע 1, אילו שתי זוויות שוות בוודאות?

שאלה 3 · דלתון עם זוויות ראש של 60° ושל 120°שאלת ביניים · מצוינות

ABCDABCDABCD הוא דלתון: AB=ADAB=ADAB=AD, CB=CDCB=CDCB=CD. זוויות הראש הן ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ∠BAD=60∘ ו-∠BCD=120∘\angle BCD=120^\circ∠BCD=120∘. אורך האלכסון הראשי AC=10AC=10AC=10 ס"מ.
ABCD

א.

מצאו את זוויות הצד ∠ABC\angle ABC∠ABC ו-∠ADC\angle ADC∠ADC, ואת הזוויות ∠BAC\angle BAC∠BAC ו-∠BCA\angle BCA∠BCA. נמקו.

ב.

חשבו את BCBCBC ואת ABABAB. את ABABAB כתבו עם שורש, ודייקו גם עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

ג.

הוכיחו שהמשולש ABDABDABD שווה צלעות, וחשבו את שטח הדלתון בשתי דרכים שונות. דייקו עד ספרה אחת אחרי הנקודה.

שאלה 4 · מה מספיק כדי שמרובע יהיה דלתון?שאלה מלאה · רמה א'

במרובע קמור ABCDABCDABCD האלכסונים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה OOO. בכל סעיף נתון מידע אחר, ואין להסיק דבר מהסרטוט.
ABCDO

א.

נתון: AC⊥BDAC\perp BDAC⊥BD ו-BO=ODBO=ODBO=OD. הוכיחו ש-AB=ADAB=ADAB=AD ו-CB=CDCB=CDCB=CD, והסיקו ש-ABCDABCDABCD דלתון. מהו האלכסון הראשי שלו?

ב.

נתון: AB=ADAB=ADAB=AD והאלכסון ACACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD∠BAD. הוכיחו ש-ABCDABCDABCD דלתון.

ג.

תמר טוענת: 'אם האלכסונים מאונכים, המרובע דלתון.' במרובע ABCDABCDABCD נתון: AC⊥BDAC\perp BDAC⊥BD, AO=4AO=4AO=4, OC=9OC=9OC=9, BO=3BO=3BO=3, OD=12OD=12OD=12 (בס"מ). חשבו את ארבע הצלעות, והסבירו מה הדוגמה מראה על הטענה של תמר.

ד.

יואב מחק מהנתונים של סעיף א את הניצבות AC⊥BDAC\perp BDAC⊥BD, והשאיר רק BO=ODBO=ODBO=OD. הוא טוען שההוכחה של סעיף א עדיין עובדת. הצביעו על השורה בטבלת ההוכחה שכבר אין לה נימוק, והסבירו למה.

שאלה 5 · נקודה על האלכסון הראשי וקיפול לאורכושאלת ביניים · רמה ב'

KLMNKLMNKLMN הוא דלתון: KL=KNKL=KNKL=KN, ML=MNML=MNML=MN. הנקודה PPP נמצאת על האלכסון הראשי KMKMKM.
KLMNP

א.

הוכיחו ש-△KLP≅△KNP\triangle KLP\cong\triangle KNP△KLP≅△KNP, והסיקו ש-PL=PNPL=PNPL=PN.

ב.

מקפלים את הסרטוט לאורך הישר KMKMKM. לאן עובר כל אחד מהקודקודים, ולאן עוברת PPP? הסבירו בעזרת הקיפול, בלי חפיפה, למה PL=PNPL=PNPL=PN.
שירה כתבה: "בקיפול הזה KKK עובר ל-MMM, ולכן ∠LKN=∠LMN\angle LKN=\angle LMN∠LKN=∠LMN." מה שגוי בדבריה? אילו שתי זוויות של הדלתון שוות בוודאות?

ג.

נתון: ∠LKN=64∘\angle LKN=64^\circ∠LKN=64∘ ו-∠KPL=110∘\angle KPL=110^\circ∠KPL=110∘. חשבו את ∠KLP\angle KLP∠KLP ואת ∠LPN\angle LPN∠LPN. הסבירו למה גם KLPNKLPNKLPN דלתון (קעור). מהם קודקודי הראש שלו?

שאלה 6 · דלתון עם שתי זוויות צד ישרות: קשר בין קטעי האלכסוניםשאלת ביניים · מצוינות

ABCDABCDABCD הוא דלתון: AB=ADAB=ADAB=AD, CB=CDCB=CDCB=CD, ושתי זוויות הצד ישרות: ∠ABC=∠ADC=90∘\angle ABC=\angle ADC=90^\circ∠ABC=∠ADC=90∘. האלכסונים נחתכים בנקודה OOO. נסמן AO=mAO=mAO=m, OC=nOC=nOC=n ו-BO=hBO=hBO=h.
ABCDO

א.

הוכיחו ש-h2=m⋅nh^2=m\cdot nh2=m⋅n. (רמז: כתבו את משפט פיתגורס במשולשים AOBAOBAOB, COBCOBCOB ו-ABCABCABC.)

ב.

נתון AO=4AO=4AO=4 ס"מ ו-OC=9OC=9OC=9 ס"מ. חשבו את BOBOBO, את BDBDBD ואת שטח הדלתון.

ג.

בדלתון מהסוג הזה נתון בנוסף ש-AC=BDAC=BDAC=BD. הוכיחו ש-m=n=hm=n=hm=n=h, והסיקו ש-ABCDABCDABCD ריבוע.
רוני אומר: "כל דלתון שאלכסוניו שווים הוא ריבוע, גם בלי הזוויות הישרות." הפריכו את דבריו בדוגמה מספרית.

שאלה 7 · איזה דלתון אפשר לבנות?שאלת ביניים · רמה א'

בדלתון ABCDABCDABCD קודקודי הראש הם AAA ו-CCC: AB=AD=10AB=AD=10AB=AD=10 ס"מ ו-CB=CD=17CB=CD=17CB=CD=17 ס"מ. האלכסונים נחתכים בנקודה OOO.
ABCDO

א.

שי מציע לבנות דלתון כזה שבו האלכסון המשני BDBDBD באורך 222222 ס"מ. הסבירו בעזרת המשולש ABDABDABD למה אין דלתון כזה. מהו האורך השלם (בס"מ) הגדול ביותר האפשרי של BDBDBD?

ב.

בונים את הדלתון עם BD=16BD=16BD=16 ס"מ. חשבו את AOAOAO, את OCOCOC ואת שטח הדלתון. עמית טוען שבדלתון כזה אפשר ש-AO=11AO=11AO=11 ס"מ. הסבירו בלי חישוב למה הוא טועה.

ג.

נגה טוענת: "אורכי הצלעות של דלתון קובעים את השטח שלו." חשבו את שטח הדלתון כאשר BD=12BD=12BD=12 ס"מ (בקירוב לספרה אחת אחרי הנקודה), והשוו לסעיף ב. מה צריך להוסיף לאורכי הצלעות כדי לקבוע את השטח?

שאלה 8 · דלתונים עם אותם קודקודי ראש ואותו שטחשאלת ביניים · רמה ב'

הנקודות K(−2,1)K(-2,1)K(−2,1) ו-M(6,1)M(6,1)M(6,1) הן קודקודי הראש של הדלתון KLMNKLMNKLMN: KL=KNKL=KNKL=KN ו-ML=MNML=MNML=MN. האלכסון הראשי הוא KMKMKM. הקודקוד LLL הוא (0,4)(0,4)(0,4).
xyKLMNT

א.

האלכסון הראשי בדלתון חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו. מצאו את שיעורי NNN ונמקו. חשבו את שטח הדלתון.

ב.

חשבו את אורכי הצלעות KLKLKL ו-LMLMLM (עם שורש), ואת היקף הדלתון בקירוב של ספרה אחת אחרי הנקודה.

ג.

לדלתון אחר, KPMQKPMQKPMQ, אותם קודקודי ראש KKK ו-MMM, ושטחו שווה לשטח KLMNKLMNKLMN. הקודקודים PPP ו-QQQ נמצאים על הישר x=5x=5x=5, ו-PPP מעל KMKMKM.
(1) מצאו את PPP ואת QQQ.
(2) נועה אומרת: "לדלתונים ששטחיהם שווים יש אותם אורכי צלעות." בדקו את הטענה בעזרת KPKPKP ו-PMPMPM.
(3) לדלתון שלישי שטח 242424 ואלכסון ראשי באורך 121212. מהו אורך האלכסון המשני שלו?

שאלה 9 · אלכסונים מאונכים: אלכסון שעובר באמצע האלכסון השנישאלת ביניים · מצוינות

בסעיפים א-ב ABCDABCDABCD הוא מרובע קמור, והאלכסונים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה OOO.
ABCDO

א.

נתון AC⊥BDAC\perp BDAC⊥BD. הוכיחו שתי טענות:
(1) אם BO=ODBO=ODBO=OD, אז AB=ADAB=ADAB=AD.
(2) אם AB=ADAB=ADAB=AD, אז BO=ODBO=ODBO=OD.

ב.

דני אומר: "כדי לדעת אם מרובע שאלכסוניו מאונכים הוא דלתון, מספיק לבדוק אם אחד האלכסונים עובר דרך האמצע של האלכסון השני. וגם להפך: בכל דלתון אחד האלכסונים עובר דרך האמצע של האלכסון השני." הסבירו בעזרת סעיף א למה שני החלקים של דברי דני נכונים.

ג.

במערכת צירים נתונות הנקודות A(−3,0)A(-3,0)A(−3,0), B(−2,−3)B(-2,-3)B(−2,−3), C(6,0)C(6,0)C(6,0), D(2,3)D(2,3)D(2,3). האלכסון BDBDBD עובר דרך ראשית הצירים OOO, שנמצאת על האלכסון ACACAC.
חשבו את OBOBOB, את ODODOD ואת ארבע הצלעות של ABCDABCDABCD (אפשר להשאיר שורש). האם ABCDABCDABCD דלתון? מה המרובע הזה מלמד על דברי דני כשהאלכסונים אינם מאונכים? נמקו גם בעזרת תכונה של כל דלתון.

שאלה 10 · זוויות הדלתון במשוואהשאלת ביניים · רמה א'

ABCDABCDABCD הוא דלתון: AB=ADAB=ADAB=AD ו-CB=CDCB=CDCB=CD. גודלי הזוויות במעלות: ∠BAD=2x+20\angle BAD=2x+20∠BAD=2x+20, ∠ABC=4x+6\angle ABC=4x+6∠ABC=4x+6, ∠BCD=x+20\angle BCD=x+20∠BCD=x+20.
ABCD

א.

איזו זווית של הדלתון שווה ל-∠ABC\angle ABC∠ABC? נמקו. מצאו את xxx ואת ארבע זוויות הדלתון.

ב.

חשבו את ∠BAC\angle BAC∠BAC, את ∠ACB\angle ACB∠ACB ואת ∠ABD\angle ABD∠ABD. בדקו את סכום הזוויות במשולש ABCABCABC.

ג.

רז כתב: "האלכסון BDBDBD חוצה את ∠ABC\angle ABC∠ABC, ולכן ∠ABD=59∘\angle ABD=59^\circ∠ABD=59∘." הסבירו מדוע הנימוק שגוי. חשבו את ∠CBD\angle CBD∠CBD. באיזה מקרה BDBDBD כן חוצה את ∠ABC\angle ABC∠ABC?

עוד 19 שאלות על דלתון: הגדרה, זוויות והאלכסון הראשי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

זוויות בדלתון בעזרת משוואה (שאלה קצרה · רמה ב')
$ABCD$ הוא דלתון: $AB=AD$ , $CB=CD$ . האלכסונים נפגשים בנקודה $O$ . נתון: $\angle BAO=2x$ , $\angle ABO=x+15$ . מצאו את $x$ , את $\angle BAD$ ואת…
דלתונים מחוצה זווית ומקיפול נייר (שאלה מלאה · מצוינות)
בשאלה שני חלקים. בכל הוכחה כתבו טענה ונימוק.
למה שטח הדלתון הוא מחצית מכפלת האלכסונים? (שאלה קצרה · רמה א')
$ABCD$ הוא דלתון: $AB=AD$ ו- $CB=CD$ . האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ .
שני המשולשים שהאלכסון המשני חותך (שאלת ביניים · רמה ב')
$ABCD$ הוא דלתון: $AB=AD$ , $CB=CD$ , ו- $AC$ הוא האלכסון הראשי. האלכסונים נפגשים בנקודה $O$ . נתון: $AC=40$ ס"מ, $BO=8$ ס"מ, $AB=17$ ס"מ.
דלתון במערכת צירים (שאלת ביניים · מצוינות)
במערכת צירים (יחידה $=1$ ס"מ) נתונות הנקודות $A(-4,0)$ , $B(0,3)$ , $D(0,-3)$ . הנקודה $C(c,0)$ נמצאת על החלק החיובי של ציר $x$ ( $c>0$ ). סרטטו…
דלתונים עם זווית ישרה (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא דלתון: $AB=AD=20$ ס"מ, $CB=CD=15$ ס"מ ו- $\angle ABC=90^\circ$ .
דלתון על המשך האלכסון של ריבוע (שאלה קצרה · רמה ב')
$ABCD$ הוא ריבוע. מאריכים את האלכסון $AC$ מעבר לנקודה $C$ עד הנקודה $E$ , ומחברים את $E$ עם $B$ ועם $D$ . שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
דלתון שאלכסוניו על הצירים, ומלבן בתוכו (שאלה מלאה · מצוינות)
במערכת צירים הנקודות $B$ ו- $D$ נמצאות על ציר ה- $x$ ( $B$ משמאל לראשית $O$ ו- $D$ מימינה), והנקודות $A$ ו- $C$ נמצאות על ציר ה- $y$ ( $A$ מעל $O$ …
שני דלתונים עם קודקוד משותף: נקודות על ישר אחד (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא מרובע: $A(-3,4)$ , $B(-6,0)$ , $C(-3,-6)$ , $D(0,0)$ . $DEFG$ הוא דלתון: $DE=DG$ ו- $FE=FG$ . האלכסון הראשי שלו, $DF$ , מונח על ציר…
חוצי זוויות בדלתון יוצרים דלתון קטן (שאלת ביניים · רמה ב')
$PQRS$ הוא דלתון: $PQ=PS$ , $RQ=RS$ , ו- $PR$ הוא האלכסון הראשי. $QE$ חוצה את $\angle PQS$ ( $E$ על $PS$ ), ו- $SF$ חוצה את $\angle PSQ$ ( $F$ על…
דלתון שאלכסוניו על ישרים נתונים (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא דלתון: $AB=AD$ ו- $CB=CD$ . האלכסון הראשי $AC$ מונח על הישר $x=-2$ , והאלכסון $BD$ מונח על הישר $y=1$ . הצלע $BC$ מונחת על הישר…
דלתון שקודקודי הראש שלו על ציר ה-y (שאלת ביניים · רמה א')
$PQRS$ הוא דלתון: $PQ=PS$ ו- $RQ=RS$ . קודקודי הראש $P$ ו- $R$ נמצאים על ציר ה- $y$ ( $P$ מעל $R$ ), והאלכסון $QS$ מקביל לציר ה- $x$ . האלכסונים…
דלתון בתוך משולש שווה שוקיים (שאלת ביניים · רמה א')
$KLM$ הוא משולש שווה שוקיים ( $KL=KM$ ). הנקודה $E$ נמצאת על השוק $KL$ והנקודה $F$ נמצאת על השוק $KM$ , כך ש- $KE=KF$ . הקטעים $LF$ ו- $ME$ נחתכים…
קטע המקביל לאלכסון המשני של דלתון (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא דלתון: $AB=AD$ , $CB=CD$ . האלכסונים נפגשים בנקודה $O$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $AD$ , כך…
דלתון שנבנה על צלע של מלבן (שאלת ביניים · רמה א')
$KLMN$ הוא מלבן שאלכסוניו נפגשים בנקודה $O$ . מחוץ למלבן, על הצלע $KL$ , בנו משולש שווה שוקיים $PKL$ ( $PK=PL$ ).
האם המרובע הוא דלתון? (שאלה קצרה · רמה א')
$KLMN$ הוא מלבן: $KL=9$ ס"מ, $LM=7$ ס"מ. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $KN$ , והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $NM$ , כך ש- $NE=NF=4$ ס"מ.
שני ריבועים ודלתונים (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ ו- $AEFG$ הם ריבועים. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , הנקודה $G$ נמצאת על הצלע $AD$ , והנקודה $F$ נמצאת על האלכסון $AC$ . מחברים את $C$ …
דלתון שנוצר על אלכסון הריבוע (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא ריבוע. על האלכסון $AC$ מסמנים את הנקודה $E$ , כך ש- $AE=AB$ . דרך $E$ מעבירים אנך לאלכסון $AC$ , והוא חותך את הצלע $BC$ בנקודה $F$ .
שני גבהים במשולש שווה שוקיים ודלתון (שאלת ביניים · רמה א')
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ) שכל זוויותיו חדות. $BE$ הוא הגובה לשוק $AC$ , ו- $CD$ הוא הגובה לשוק $AB$ . הגבהים נחתכים בנקודה $H$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

זוויות שוות בדלתון לפי חפיפה צ.צ.צ (שאלה קצרה · רמה ב')
נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB=AD=6$ , $CB=CD=8$ .
היקף ושטח של דלתון מחלקי האלכסונים (שאלה קצרה · רמה ב')
$ABCD$ הוא דלתון ( $AB=AD$ , $CB=CD$ ). האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון: $AO=6$ , $OB=8$ , $OC=15$ .
זוויות הדלתון מהזוויות שליד האלכסון הראשי (שאלה קצרה · רמה א')
$ABCD$ הוא דלתון ( $AB=AD$ , $CB=CD$ ). נתון: $\angle BAC=35^\circ$ , $\angle BCA=25^\circ$ .
קטעים שווים מהקודקוד השני של דלתון (שאלה קצרה · רמה א')
$ABCD$ הוא דלתון ( $AB=AD$ , $CB=CD$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $AD$ , כך…
צלע, אלכסון וגובה בדלתון מהיקפו (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא דלתון ( $AB=AD$ , $CB=CD$ ) שאלכסוניו נחתכים בנקודה $O$ . נתון: $AB=13$ , $BD=24$ , והיקף הדלתון הוא…
כמה בד צריך לעפיפון? (שאלה קצרה · רמה ב')
יואב בונה עפיפון. הוא מחבר שני מקלות עץ, $AC$ ו- $BD$ , כך שהם מאונכים זה לזה ונפגשים בנקודה $M$ , ומותח בד על…
אלכסון שחוצה אלכסון ומאונך לו (שאלת ביניים · רמה א')
במרובע $DLTN$ נתון: $DL = DN$ ו- $TL = TN$ . $DT$ ו- $LN$ הם האלכסונים של המרובע, ו- $K$ היא נקודת החיתוך שלהם.
עפיפון מנייר ומקל (שאלה מלאה · רמה ב')
יעל בונה עפיפון בצורת המרובע $ABCD$ . נתון: $AB = AD = 40$ ס"מ, $CB = CD = 30$ ס"מ. לאורך הקטע $AC$ היא מדביקה…
ארבע טענות על מרובע: מתי יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות? (שאלה מלאה · מצוינות)
קבעו מי מהטענות הבאות נכונה תמיד. אם הטענה נכונה – הוכיחו אותה. בכל הטענות $ABCD$ הוא מרובע, $AC$ ו- $BD$ הם…