שאלות פתוחות: מלבן: הגדרה, תכונות ומשפטי זיהוי - כיתה ט'

שאלות על מלבן לכיתה ט': הגדרה, תכונות ומשפטי זיהוי. יש מציאת משתנה במקבילית כדי שתהיה מלבן, אורכי קטעים מנקודת מפגש האלכסונים, אנכים מנקודה על היתר שיוצרים מלבן, והוכחה שמרובע שנבנה במשולש שווה שוקיים הוא מלבן. הבעיות המעשיות כוללות מסגרת רצפה של מחסן שצריך לבדוק אם היא מלבן, וחלון זכוכית צבעונית. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. אפשר לבנות מהן מבחן או דף עבודה עם פתרונות מלאים ב-Word.

40 שאלותרמה א': 19רמה ב': 11מצוינות: 10

שאלה 1 · מתי המקבילית היא מלבן?שאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף נתונה מקבילית. מצאו את ערך המשתנה, ונמקו.

א.

ABCDABCDABCD היא מקבילית. האלכסונים שלה נחתכים בנקודה OOO.
נתון: OA=x+7OA=x+7OA=x+7 ס"מ, OD=3x−5OD=3x-5OD=3x−5 ס"מ.
מצאו את xxx שעבורו ABCDABCDABCD היא מלבן, וחשבו את אורך האלכסון ACACAC במלבן הזה.

ב.

KLMNKLMNKLMN היא מקבילית. נתון: ∠K=(3y+12)∘\angle K=(3y+12)^\circ∠K=(3y+12)∘, ∠L=(5y−8)∘\angle L=(5y-8)^\circ∠L=(5y−8)∘.
מצאו את yyy. האם KLMNKLMNKLMN היא מלבן? נמקו.

שאלה 2 · זוויות במשולשים שיוצרים אלכסוני המלבןשאלה קצרה · רמה ב'

בכל סעיף נתון מלבן, ונתונה הנקודה שבה נחתכים האלכסונים שלו. נמקו כל שלב.

א.

ABCDABCDABCD הוא מלבן. האלכסונים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה OOO.
נתון: ∠ODC=26∘\angle ODC=26^\circ∠ODC=26∘.
ABCDO
הסבירו למה המשולש DOCDOCDOC שווה שוקיים, וחשבו את ∠OCD\angle OCD∠OCD ואת ∠DOC\angle DOC∠DOC.

ב.

KLMNKLMNKLMN הוא מלבן אחר. האלכסונים KMKMKM ו-LNLNLN נחתכים בנקודה PPP.
נתון: ∠KPL=116∘\angle KPL=116^\circ∠KPL=116∘.
KLMNP
חשבו את ∠PKL\angle PKL∠PKL ואת ∠PLM\angle PLM∠PLM.

שאלה 3 · קטע בין רגלי שני אנכיםשאלה קצרה · מצוינות

במשולש ABCABCABC הזווית AAA ישרה, AB=9AB=9AB=9 ס"מ, AC=12AC=12AC=12 ס"מ ו-BC=15BC=15BC=15 ס"מ.
הנקודה PPP נמצאת על היתר BCBCBC, בין BBB ל-CCC. מהנקודה PPP מורידים אנך PEPEPE לניצב ABABAB ואנך PFPFPF לניצב ACACAC.
ABCPEF

הוכיחו ש-EF=APEF=APEF=AP, ומצאו את האורך הקטן ביותר האפשרי של הקטע EFEFEF כאשר PPP זזה על BCBCBC.

שאלה 4 · מלבן שנבנה על הגובה במשולש שווה שוקייםשאלת ביניים · רמה א'

במשולש ABCABCABC נתון AB=ACAB=ACAB=AC. הקטע ADADAD הוא הגובה לבסיס BCBCBC.
דרך הקודקוד AAA העבירו ישר ℓ\ellℓ המקביל ל-BCBCBC. מהקודקוד CCC הורידו אנך CECECE לישר ℓ\ellℓ (הנקודה EEE על ℓ\ellℓ).
ABCDEℓ

א.

הוכיחו ש-ADCEADCEADCE מלבן.

ב.

הוכיחו ש-ABDEABDEABDE מקבילית, והסיקו ש-DE=ABDE=ABDE=AB.
הראו בדרך נוספת ש-DE=ABDE=ABDE=AB, בעזרת האלכסונים של המלבן ADCEADCEADCE.

ג.

נתון: AB=13AB=13AB=13 ס"מ, BC=10BC=10BC=10 ס"מ. חשבו את DEDEDE, את ADADAD ואת שטח המרובע ABCEABCEABCE.

שאלה 5 · בדיקת האלכסונים במסגרת למחסןשאלת ביניים · רמה ב'

פועלים בונים מסגרת עץ לרצפה של מחסן. המסגרת היא המרובע ABCDABCDABCD.
הפועלים מדדו את הצלעות ומצאו: AB=CD=4.2AB=CD=4.2AB=CD=4.2 מ', AD=BC=4AD=BC=4AD=BC=4 מ'.
ABCD

א.

הסבירו למה ABCDABCDABCD היא מקבילית. האם מהמדידות של הצלעות אפשר לדעת ש-ABCDABCDABCD מלבן? הסבירו.

ב.

מנהל העבודה אומר: "נמדוד את שני האלכסונים, ACACAC ו-BDBDBD. אם הם שווים, המסגרת מלבן".
הסבירו למה הוא צודק. מה צריך להיות אורך כל אלכסון כשהמסגרת מלבן?

ג.

פועל מדד את האלכסון ACACAC ומצא AC=6.1AC=6.1AC=6.1 מ'. האם המסגרת מלבן? נמקו.

שאלה 6 · סכום שני אנכים לאלכסוני המלבןשאלה קצרה · מצוינות

מנקודה שעל היקף המלבן מורידים אנך לכל אחד מאלכסוני המלבן.

שערו כיצד סכום האורכים של שני האנכים תלוי, אם בכלל, בנקודה שנבחרה. בדקו את השערתכם והוכיחו אותה.

שאלה 7 · מלבן בתוך טרפז שווה שוקייםשאלת ביניים · רמה א'

המרובע ABCDABCDABCD הוא טרפז שווה שוקיים (AD=BC)(AD = BC)(AD=BC)
המרובע ABEFABEFABEF הוא מלבן.
הקטעים ACACAC ו- BEBEBE נחתכים בנקודה KKK כך שהנקודה KKK היא אמצע BEBEBE
ABCDEFK
הוכיחו:

א.

EC=ABEC = ABEC=AB

ב.

FK=KCFK = KCFK=KC

שאלה 8 · חלון זכוכית צבעונית עם פסי מתכת באלכסוניםשאלה מלאה · רמה ב'

חלון בספרייה העירונית הוא המלבן ABCDABCDABCD, והוא עשוי זכוכית צבעונית. רוחב החלון AB=112AB=112AB=112 ס"מ, וגובהו BC=66BC=66BC=66 ס"מ.
לאורך שני האלכסונים, ACACAC ו-BDBDBD, יש פסי מתכת, והם נפגשים בנקודה OOO. פסי המתכת מחלקים את החלון לארבע חתיכות זכוכית בצורת משולשים: החתיכות AOBAOBAOB ו-CODCODCOD אדומות, והחתיכות BOCBOCBOC ו-DOADOADOA כחולות.
ABCDO

א.

חשבו את אורך פס המתכת ACACAC. מה אורך פס המתכת BDBDBD? נמקו.

ב.

הסבירו למה OA=OB=OC=ODOA=OB=OC=ODOA=OB=OC=OD, וחשבו את האורך הזה.

ג.

כל חתיכת זכוכית מוקפת בפס מתכת דק. חשבו את ההיקף של החתיכה האדומה AOBAOBAOB ואת ההיקף של החתיכה הכחולה BOCBOCBOC.

ד.

המרחק מהנקודה OOO לצלע ABABAB הוא 333333 ס"מ, והמרחק מהנקודה OOO לצלע BCBCBC הוא 565656 ס"מ.
חשבו את השטח של החתיכה AOBAOBAOB ואת השטח של החתיכה BOCBOCBOC. איזה חלק משטח החלון הוא השטח של כל אחת מהן?

ה.

מעצבת מתכננת חלון מלבני אחר, גם הוא עם פסי מתכת לאורך שני האלכסונים. היא רוצה שלארבע חתיכות הזכוכית יהיה אותו היקף.
הסבירו למה זה אפשרי רק אם כל ארבע הצלעות של החלון שוות.

שאלה 9 · נקודה בתוך מלבן ומרחקיה מהקודקודיםשאלת ביניים · מצוינות

PPP היא נקודה בתוך המלבן ABCDABCDABCD. דרך PPP העבירו שני קטעים:
קטע המקביל ל-ADADAD, שקצותיו KKK על הצלע ABABAB ו-MMM על הצלע CDCDCD;
קטע המקביל ל-ABABAB, שקצותיו NNN על הצלע ADADAD ו-LLL על הצלע BCBCBC.
ABCDPKLMN

א.

הוכיחו ש-AKPNAKPNAKPN מלבן. הסבירו למה גם KBLPKBLPKBLP, PLCMPLCMPLCM ו-NPMDNPMDNPMD מלבנים.
הסיקו: AK=DMAK=DMAK=DM ו-KB=MCKB=MCKB=MC, וגם AN=BLAN=BLAN=BL ו-ND=LCND=LCND=LC.

ב.

הוכיחו: PA2+PC2=PB2+PD2PA^2+PC^2=PB^2+PD^2PA2+PC2=PB2+PD2.

ג.

1. נתון: PA=6PA=6PA=6 ס"מ, PB=9PB=9PB=9 ס"מ, PC=7PC=7PC=7 ס"מ. חשבו את PDPDPD.
2. האם ייתכן ש-PA=1PA=1PA=1 ס"מ, PB=9PB=9PB=9 ס"מ ו-PC=2PC=2PC=2 ס"מ? נמקו.

שאלה 10 · קיפול דף מלבני לאורך האלכסוןשאלה מלאה · רמה א'

דף נייר הוא בצורת המלבן ABCDABCDABCD, שבו AB=12AB=12AB=12 ס"מ ו-AD=16AD=16AD=16 ס"מ.
מקפלים את הדף לאורך האלכסון BDBDBD. המשולש BCDBCDBCD מתהפך, והקודקוד CCC עובר לנקודה C′C'C′. הקטע BC′BC'BC′ חותך את הצלע ADADAD בנקודה EEE.
בקיפול אורכי הקטעים וגודלי הזוויות לא משתנים, ולכן △BC′D≅△BCD\triangle BC'D\cong\triangle BCD△BC′D≅△BCD. בסרטוט המקום של המשולש BCDBCDBCD לפני הקיפול מסומן בקו מקווקו.
ABCDEC'

א.

הוכיחו ש-EB=EDEB=EDEB=ED.

ב.

הוכיחו: △ABE≅△C′DE\triangle ABE\cong\triangle C'DE△ABE≅△C′DE, והסיקו ש-AE=C′EAE=C'EAE=C′E.

ג.

חשבו את AEAEAE ואת EDEDED. חשבו את שטח המשולש EBDEBDEBD: זה החלק של הדף המקופל שבו יש שתי שכבות נייר.

ד.

הוכיחו ש-AC′∥BDAC'\parallel BDAC′∥BD. הסבירו למה המרובע ABDC′ABDC'ABDC′ הוא טרפז שווה שוקיים.

עוד 23 שאלות על מלבן: הגדרה, תכונות ומשפטי זיהוי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אמצע צלע במלבן (שאלה קצרה · רמה ב')
$ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=16$ ס"מ, $BC=6$ ס"מ. הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $AB$ .
שערו, בדקו והוכיחו: טענות על מלבנים (שאלה מלאה · מצוינות)
שערו איזו מהטענות הבאות היא נכונה, בדקו את השערתכם והוכיחו את הטענה או הפריכו אותה:
נכון תמיד, לפעמים או אף פעם: טענות על מלבן (שאלה מלאה · רמה א')
קבעו איזו מבין הטענות הבאות נכונה בכל מקרה, איזו מהן שקרית בכל מקרה ואיזו מהן עשויה להיות נכונה רק במקרים מסוימים:
צירי סימטריה במלבן, וחצי סיבוב במקבילית (שאלה קצרה · רמה ב')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה. יחידות הצירים שוות.
מקבילית, אנכים וטרפז ישר זווית (שאלה מלאה · מצוינות)
נתון: המרובע $ABCD$ הוא מקבילית $(AB \parallel CD,\ AD \parallel BC)$ הנקודה $N$ היא אמצע $AB$ $NC \parallel AP$ $AP \perp DC$
ארבעה חלקי אלכסונים שווים: מלבן, ומתי ריבוע (שאלת ביניים · רמה א')
במרובע $ABCD$ האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $O$ . נתון: $OA=OB=OC=OD$ .
משולש שווה שוקיים בתוך מלבן (שאלה קצרה · רמה ב')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
מלבן: משוואה ריבועית ממשפט פיתגורס (שאלה קצרה · מצוינות)
במלבן $ABCD$ האורכים (בס"מ) הם: $AB=x+7$ , $BC=x$ , ואורך האלכסון $AC=2x+1$ . האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ .
מלבן נטוי: מפגש האלכסונים והמרחקים ממנו (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת צירים נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,1)$ , $B(4,3)$ , $C(3,5)$ , $D(-1,3)$ .
מעוין על חצאי האלכסונים של מלבן (שאלה קצרה · רמה ב')
$ABCD$ הוא מלבן שאלכסוניו נפגשים בנקודה $O$ . הנקודה $E$ נמצאת מחוץ למלבן, כך ש- $AOBE$ הוא מעוין. הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
מתי רואים את הצלע הנגדית בזווית ישרה? (שאלה קצרה · מצוינות)
$ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=w$ ו- $AD=h$ . הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $AB$ .
חוצה זווית במלבן (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=14$ ס"מ, $AD=9$ ס"מ. חוצה הזווית $\angle DAB$ חותך את הצלע $DC$ בנקודה $E$ .
טרפז שווה שוקיים בתוך מלבן (שאלה קצרה · מצוינות)
$ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=20$ ס"מ, $AD=8$ ס"מ. הנקודות $E$ ו- $F$ נמצאות על הצלע $AB$ ושונות מ- $A$ ומ- $B$ , הנקודה $E$ בין $A$ ל- $F$ , ו- $DE=CF$ .
אנך מקודקוד המלבן לאלכסון (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=20$ ס"מ, $BC=15$ ס"מ. מהקודקוד $B$ מורידים אנך $BF$ לאלכסון $AC$ (הנקודה $F$ על $AC$ ).
זווית של 60° בין האלכסון לצלע המלבן (שאלה קצרה · רמה א')
$ABCD$ הוא מלבן, ואלכסוניו נחתכים בנקודה $O$ . נתון: $\angle BAC=60^\circ$ .
מקבילית בתוך מלבן (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=18$ ס"מ, $AD=12$ ס"מ. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $DC$ , כך ש- $AE=CF=5$ ס"מ.
מלבן במערכת צירים: האלכסונים ונקודת המפגש שלהם (שאלה מלאה · רמה א')
צלעות המלבן $KLMN$ מקבילות לצירים. הקודקוד $K(-4,5)$ הוא הקודקוד השמאלי העליון, והקודקוד הנגדי לו הוא $M(4,-1)$ . הקודקוד $L$ נמצא מימין…
שני קטעים נחתכים במלבן: חפיפה וזוויות (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא מלבן. הנקודה $K$ נמצאת על הצלע $AD$ , והנקודה $L$ נמצאת על הצלע $BC$ , כך ש- $AK=BL$ . הקטעים $KC$ ו- $LD$ נחתכים בנקודה $P$ .
נקודה מחוץ למלבן: איזו זווית גדולה יותר? (שאלה קצרה · רמה א')
$KLMN$ הוא מלבן, והאלכסונים שלו נחתכים בנקודה $O$ . הנקודה $T$ נמצאת מחוץ למלבן, מהצד של הצלע $LM$ , כמו בסרטוט.
דלתון שנבנה על צלע של מלבן (שאלת ביניים · רמה א')
$KLMN$ הוא מלבן שאלכסוניו נפגשים בנקודה $O$ . מחוץ למלבן, על הצלע $KL$ , בנו משולש שווה שוקיים $PKL$ ( $PK=PL$ ).
האם המרובע הוא דלתון? (שאלה קצרה · רמה א')
$KLMN$ הוא מלבן: $KL=9$ ס"מ, $LM=7$ ס"מ. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $KN$ , והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $NM$ , כך ש- $NE=NF=4$ ס"מ.
שני קטרים במעגל: מלבן וריבוע (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף $O$ הוא מרכז המעגל. כתבו הוכחה בטענות ונימוקים. שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
מלבן, מקבילית והתיכון ליתר (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא מלבן. הנקודה $E$ נמצאת על המשך הצלע $AB$ מעבר ל- $B$ , כך ש- $CE\parallel BD$ . הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $CE$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (7)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

תכונות של משולשים ומרובעים (שאלה קצרה · רמה ב')
רפסודה היא בצורת מלבן $ABCD$ . אורך הצלע $AB$ הוא $3.5$ מטר, ואורך האלכסון $AC$ הוא $3.7$ מטר, כפי שרואים…
מקבילית שבה אמצע צלע שווה מרחק משני קודקודים היא מלבן (שאלה קצרה · רמה א')
$ABCD$ היא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $AB$ , ונתון: $MD=MC$ .
מלבן וריבוע: אלכסונים וזוויות (שאלה קצרה · רמה ב')
שדה דשא הוא מלבן שאורכו $40$ מטר. ממטרה מוצבת בנקודה שבה נחתכים אלכסוני השדה. המים של הממטרה מגיעים עד מרחק של…
שער מלבני עם מוטות חיזוק (שאלה מלאה · רמה ב')
שער בחצר בית הספר בנוי כמלבן $ABCD$ . כדי שהשער לא יתעקם, מרתכים לו שני מוטות חיזוק לאורך האלכסונים $AC$ …
עוגה מלבנית: חתך אחד, שני חלקים שווים (שאלה מלאה · מצוינות)
עוגה היא בצורת המלבן $ABCD$ , עם $AB = DC = 12$ ס"מ ו- $BC = AD = 8$ ס"מ. האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה…
מגרש מלבני: החלקים המרוצפים (שאלה קצרה · רמה ב')
על מגרש מלבני (בשרטוט המלבן מסומן באותיות $CDEF$ ) בנו מבנה בצורת טרפז שווה שוקיים (בשרטוט המבנה מסומן באותיות…
שני אנכים מקצות הקטע (שאלה מלאה · מצוינות)
הנקודות $R$ , $O$ , $S$ נמצאות על ישר אחד, ו- $O$ היא אמצע הקטע $RS$ . מהנקודה $O$ יוצאות שתי קרניים, $OU$ ו- $OV$ ,…