שאלות פתוחות: היחסים בין המרובעים - כיתה ט'

בחרו את המשפט הנכון לכל זוג, ונמקו. כשבחרתם במשפט (2), תנו דוגמה למרובע $X$ שהוא $Y$ ולמרובע $X$ שאינו $Y$.

1. $X$ - מלבן, $Y$ - ריבוע.

2. $X$ - ריבוע, $Y$ - מקבילית.

3. $X$ - טרפז, $Y$ - מקבילית.

4. $X$ - דלתון, $Y$ - מעוין.

האם הטענה "יש מעוין שהוא מלבן" נכונה? אם כן, מהו כל מעוין כזה? נמקו.

השלימו את הטבלה.

איזו תכונה של האלכסונים מתקיימת בכל ריבוע אבל לא בכל מעוין? ואיזו תכונה מתקיימת בכל ריבוע אבל לא בכל מלבן?

האם ייתכן שהדלתון $ABCD$ הוא טרפז? הוכיחו את תשובתכם.

הדרכה: בדקו מה קורה בדלתון כשיש בו זוג צלעות מקבילות.

חשבו את אורכי ארבע הצלעות של המרובע $ABCD$. האם המרובע מפריך את הטענה של רוני? נמקו.

דנה מציעה להוסיף לטענה של רוני תנאי אחד על האלכסונים, כך שתתקבל טענה נכונה. איזה מהתנאים הבאים מתאים? נמקו, והסבירו למה שני התנאים האחרים אינם מתאימים.

(1) האלכסונים שווים זה לזה.

(2) האלכסונים חוצים זה את זה.

(3) אחד האלכסונים חוצה את האלכסון האחר.

$ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=BC$.

$KLMN$ הוא מעוין שבו $\angle K=70^\circ$.

הוכיחו: אם $\angle BAD=\angle BCD$, אז $ABCD$ מעוין.

הסיקו: אם $\angle BAD=\angle BCD=90^\circ$, אז $ABCD$ ריבוע.

בדלתון קמור אחר, $KLMN$, נתון: $KL=KN=5$ ס"מ, $ML=MN=12$ ס"מ ו-$\angle KLM=90^\circ$.

הראו שגם $\angle KNM=90^\circ$, חשבו את אורך האלכסון $KM$, והסבירו למה $KLMN$ אינו ריבוע, אף שיש בו שתי זוויות ישרות. למה אין כאן סתירה לסעיף ב?

הוכיחו ש-$\triangle AEH\cong\triangle BFE$. הסבירו למה מכאן, ומחפיפות דומות, נובע שכל צלעות המרובע $EFGH$ שוות.

הוכיחו ש-$EFGH$ ריבוע.

חשבו את ההיקף ואת השטח של $EFGH$. איזה חלק משטח הריבוע $ABCD$ הוא שטח $EFGH$?

הסבירו למה בכל מצב המסגרת היא מעוין, ולמה האלכסונים שלה חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה.

הנגר הזיז את המסגרת עד שאורך האלכסון $AC$ היה $72$ ס"מ. חשבו את אורך האלכסון $BD$.

הנגר רוצה שהמסגרת תהיה ריבוע. הוא אומר: "מספיק שאזיז את המסגרת עד ששני האלכסונים יהיו שווים". הסבירו למה הוא צודק, וחשבו את אורך כל אלכסון כשהמסגרת ריבוע (דייקו עד ספרה אחת אחרי הנקודה).

המשולש השני הוא $ADC$: הוא מונח על הצלע $AC$, ו-$AD=9$ ס"מ, $CD=12$ ס"מ.

הוכיחו ש-$ABCD$ דלתון שאינו מעוין, וחשבו את היקפו.

הפעם המשולש השני הוא $CEA$: הוא מונח על הצלע $AC$, ו-$CE=9$ ס"מ, $EA=12$ ס"מ.

הוכיחו ש-$ABCE$ מלבן, וחשבו את אורך האלכסון $BE$.

הפעם המשולש השני הוא $FCB$: הוא מונח על הניצב $BC$, הזווית הישרה שלו היא $\angle FCB=90^\circ$, ו-$CF=9$ ס"מ.

הוכיחו ש-$ABFC$ מקבילית, והסבירו למה היא אינה מלבן ואינה מעוין. חשבו את שטחה.

תלמיד הניח את המשולש השני כך שהוא מונח על הניצב $BC$ וגם הזווית הישרה שלו נמצאת בקודקוד $B$. הסבירו למה במקרה הזה לא מתקבל מרובע. איזו צורה מתקבלת?

עכשיו התלמידים גזרו שני משולשים ישרי זווית חופפים שבכל אחד מהם שני הניצבים שווים זה לזה. הם הניחו אותם כמו בסעיף א וכמו בסעיף ב. איזה מרובע מתקבל בכל אחד מהמקרים? נמקו בעזרת הקשרים בין המרובעים.

הוכיחו ש-$EFGH$ מקבילית, וש-$EF=AC$ ו-$FG=BD$.

1. הוכיחו: אם $ABCD$ מעוין, אז $EFGH$ מלבן.

2. הוכיחו: אם $ABCD$ מלבן, אז $EFGH$ מעוין.

עכשיו בוחרים מקבילית $ABCD$ שבה $AC=BD=10$ ס"מ ו-$AC\perp BD$, ובונים את $EFGH$ באותה דרך.

איזה מרובע הוא $ABCD$, ואיזה מרובע הוא $EFGH$? נמקו. חשבו את ההיקף ואת השטח של $EFGH$ ואת השטח של $ABCD$.