שאלות פתוחות: הקשר בין טנגנס הזווית לשיפוע של ישר - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על הקשר בין טנגנס הזווית לשיפוע של ישר, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מחשבים זווית בין ישר לציר ה-x מתוך השיפוע, ולהפך, ומשלבים זאת בחישובי זוויות במשולשים ומרובעים במערכת צירים. יש שאלות על טרפז ישר זווית ומקבילית שצלעותיהם על הצירים, על משולש שאמצע צלעו על ציר ה-x, ועל מעגל שמשיק לציר ה-y. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ומתאים לחזרה לקראת מבחן או לבוחן, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

44 שאלותקלה: 5בינונית: 31קשה: 8

שאלה 1 · טרפז ישר זווית במערכת צירים: ישרים מאונכים ומקביליםשאלה מלאה · קלה

המרובע ABCOABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C=90^\circ∠C=90∘, AB∥OCAB\parallel OCAB∥OC). OOO ראשית הצירים, הקודקוד B(0,6)B(0,6)B(0,6) נמצא על ציר ה-yyy, והקודקוד AAA נמצא על ציר ה-xxx. משוואת הצלע OCOCOC היא y=−xy=-xy=−x (כמתואר באיור).
OABCxy

א.

מצאו את משוואת הצלע BCBCBC.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ג.

מצאו את משוואת הצלע ABABAB ואת שיעורי הקודקוד AAA.

ד.

חשבו את גודל הזווית BOCBOCBOC.

ה.

חשבו את השטחים של המשולשים ABOABOABO ו-BOCBOCBOC, ואת היחס ביניהם.

שאלה 2 · גבהים במשולש במערכת צירים: דמיון ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

במשולש OBCOBCOBC העבירו גבהים ODODOD ו-BEBEBE לצלעות BCBCBC ו-OCOCOC בהתאמה. הנקודה OOO היא ראשית הצירים. הנקודה CCC נמצאת על ציר ה-xxx. משוואת הישר BCBCBC היא: y=−3x+18y=-3x+18y=−3x+18.
OBCDExy

א.

מצאו את אורך הצלע OCOCOC.

ב.

(1)

מצאו את משוואת הישר ODODOD.

(2)

חשבו את גודל הזוויות החדות של המשולש ODCODCODC.

ג.

הוכיחו כי המשולשים BECBECBEC ו-ODCODCODC דומים.

ד.

נתון: SBECSODC=0.9\frac{S_{BEC}}{S_{ODC}}=0.9SODC​SBEC​​=0.9.

(1)

חשבו את אורך הצלע BCBCBC.

(2)

חשבו את שטח המשולש OBCOBCOBC.

שאלה 3 · מקבילית: זווית ישרה בין שני חוצי זוויתשאלה מלאה · קשה

במקבילית ABCDABCDABCD הצלע ADADAD נמצאת על ציר ה-xxx, והקודקוד BBB נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yyy. הנקודה EEE נמצאת על הצלע ADADAD כך ש-AB=AEAB=AEAB=AE, ונתון: ∠BEC=90∘\angle BEC=90^\circ∠BEC=90∘.
ABCDExy

א.

הוכיחו: DE=DCDE=DCDE=DC.

ב.

נתון: A(−7,0)A(-7,0)A(−7,0), ואורך הצלע ADADAD הוא 50.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB, CCC, DDD ו-EEE.

ג.

מצאו את משוואת הישר ECECEC, וחשבו את גודל הזווית BCEBCEBCE.

ד.

הנקודה MMM היא אמצע הצלע BCBCBC.

איזה מרובע הוא ABMEABMEABME? נמקו.

שאלה 4 · מקבילית במערכת צירים: חוצה זווית וישר מאונךשאלה מלאה · קלה

במקבילית ABCDABCDABCD הצלע ADADAD נמצאת על ציר ה-xxx, והקודקוד BBB נמצא על ציר ה-yyy. הנקודה EEE נמצאת על הצלע ADADAD, וידוע כי: AB=AEAB=AEAB=AE.
ABCDExy

א.

(1)

הסבירו מדוע ∠ABE=∠AEB\angle ABE=\angle AEB∠ABE=∠AEB.

(2)

הסבירו מדוע ∠AEB=∠EBC\angle AEB=\angle EBC∠AEB=∠EBC, והסיקו כי BEBEBE חוצה את ∠ABC\angle ABC∠ABC.

ב.

נתון: ∠BEC=90∘\angle BEC=90^\circ∠BEC=90∘, B(0,6)B(0,6)B(0,6), A(−8,0)A(-8,0)A(−8,0).

חשבו את אורך הצלע ABABAB, ומצאו את שיעורי הנקודה EEE.

ג.

מצאו את השיפוע של הישר BEBEBE, ואת משוואת הישר ECECEC.

ד.

הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx. מצאו את שיעורי הנקודה CCC.

ה.

חשבו את גודל הזווית BCEBCEBCE.

שאלה 5 · מקבילית במערכת צירים: חוצה זווית וזוויות הטרפזשאלה מלאה · בינונית

במקבילית ABCDABCDABCD הצלע ADADAD נמצאת על ציר ה-xxx. הנקודה EEE נמצאת על הצלע ADADAD, וידוע כי: AB=AEAB=AEAB=AE.
ABCDExy

א.

הוכיחו: BEBEBE חוצה את ∠ABC\angle ABC∠ABC.

ב.

נתון: ∠BEC=90∘\angle BEC=90^\circ∠BEC=90∘, B(0,12)B(0,12)B(0,12), A(−5,0)A(-5,0)A(−5,0).

(1)

חשבו את שיעורי הנקודה EEE.

(2)

מצאו את משוואת הישר ECECEC.

(3)

מצאו את שיעורי הנקודה CCC.

ג.

(1)

חשבו את גודל הזווית BCEBCEBCE.

(2)

חשבו את הגודל של זוויות הטרפז BCEABCEABCEA.

שאלה 6 · מעגל המשיק לציר ה-y עם פרמטרשאלה מלאה · קשה

ציר ה-yyy משיק בנקודה A(0,−k)A(0,-k)A(0,−k) למעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 6, כאשר 0<k<60<k<60<k<6. המעגל חותך את ציר ה-xxx בנקודות BBB ו-CCC (BBB קרובה יותר לציר ה-yyy). ADADAD הוא קוטר במעגל (ראו איור).
ABCDM

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודות MMM, BBB, CCC ו-DDD.

ב.

מצאו את הערך של kkk שעבורו AB=BCAB=BCAB=BC.

ג.

עבור kkk שמצאתם, חשבו את גודל הזווית BADBADBAD ואת גודל הזווית BCDBCDBCD.

ד.

בסעיף זה kkk אינו נתון (0<k<60<k<60<k<6).

הוכיחו כי לכל ערך של kkk מתקיים ∠BAD>45∘\angle BAD>45^\circ∠BAD>45∘.

שאלה 7 · משולש במערכת צירים: אמצעים ומקביליתשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתואר משולש ABCABCABC. הקודקוד B(0,2)B(0,2)B(0,2) נמצא על ציר ה-yyy, והצלע ACACAC מקבילה לציר ה-yyy. נתון: A(6,5)A(6,5)A(6,5). הנקודה EEE היא אמצע הצלע BCBCBC, והיא נמצאת על ציר ה-xxx.
ABCE

א.

מצאו את שיעורי הנקודות CCC ו-EEE.

ב.

הנקודה DDD היא אמצע הצלע ACACAC. מצאו את שיעורי DDD, והראו כי ED∥ABED\parallel ABED∥AB.

ג.

מן הנקודה EEE העבירו ישר המקביל לציר ה-yyy, וחותך את הצלע ABABAB בנקודה FFF.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה FFF.

(2)

הסבירו מדוע המרובע FADEFADEFADE הוא מקבילית, וחשבו את שטחו.

ד.

(1)

חשבו את הזווית שהישר EDEDED יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-xxx.

(2)

חשבו את גודל הזווית ∠DEF\angle DEF∠DEF.

שאלה 8 · זוויות של טרפז במערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

נתון טרפז PQRSPQRSPQRS שקודקודיו P(−2,0)P(-2,0)P(−2,0), Q(0,6)Q(0,6)Q(0,6), R(4,6)R(4,6)R(4,6), S(9,0)S(9,0)S(9,0) (QR∥PSQR\parallel PSQR∥PS).

א.

חשבו את גודל הזווית QPSQPSQPS.

ב.

חשבו את גודל הזוויות PSRPSRPSR ו-QRSQRSQRS.

שאלה 9 · ריבוע במערכת צירים: יחס חלוקה, שיפוע מהיחס ותנאי לשוויון זוויותשאלה מלאה · קשה

נתון ריבוע ABCDABCDABCD. הצלע ABABAB עוברת דרך ראשית הצירים, OOO. הצלע ADADAD חותכת את ציר ה-yyy בנקודה EEE. הקודקוד CCC מונח על ציר ה-xxx (ראו סרטוט).
ABCDEO

א.

הוכיחו: ΔOAE∼ΔCBO\Delta OAE\sim\Delta CBOΔOAE∼ΔCBO.

ב.

נתון: E(0,−20)E(0,-20)E(0,−20), C(30,0)C(30,0)C(30,0).

מצאו את היחס AO:OBAO:OBAO:OB.

ג.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

(2)

מצאו את שטח הריבוע ABCDABCDABCD.

ד.

הוכיחו: בכל ריבוע שמונח כמתואר בשאלה (גם בלי הנתונים של סעיף ב), ∠BCO=∠OCE\angle BCO=\angle OCE∠BCO=∠OCE אם ורק אם OOO היא אמצע הצלע ABABAB. מה מתקבל בריבוע של סעיף ב?

שאלה 10 · טרפז ישר זווית: קודקודים מתוך משוואות האלכסוניםשאלה מלאה · קלה

נתון טרפז ישר זווית ABCDABCDABCD (AD⊥ABAD\perp ABAD⊥AB, AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC). הקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על ציר ה-xxx, כמתואר בסרטוט. משוואת האלכסון ACACAC היא y=−12x+2y=-\frac12x+2y=−21​x+2, ומשוואת האלכסון BDBDBD היא y=2x+2y=2x+2y=2x+2.
ABCDM

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB.

ב.

הראו כי האלכסונים מאונכים זה לזה.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקודים CCC ו-DDD.

ד.

חשבו את גודל הזווית ABDABDABD.

ה.

מצאו את שטח המשולש BCDBCDBCD.

עוד 22 שאלות על הקשר בין טנגנס הזווית לשיפוע של ישר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מלבן שאלכסונו על ציר ה-x (שאלה מלאה · בינונית)
במלבן $ABCD$ הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ . הקודקודים $A$ ו- $C$ נמצאים על ציר ה- $x$ , כמתואר באיור. $O$ - ראשית הצירים. נתון:…
משולש במערכת צירים: שטח מינימלי ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
במשולש $ABC$ הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $x$ . הצלע $AC$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $D$ . הצלע $CB$ מקבילה לציר ה- $x$ , וחותכת את ציר ה- $y$ בנקודה…
מעגל דרך שלוש נקודות: מרכז נתון, זווית ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הנקודות $A(5,-2)$ , $B(5,4)$ , $C(1,-4)$ והנקודה $M(1,1)$ .
משולש במערכת צירים: דמיון, ישרים מאונכים ושטח מרובע (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $x$ . הצלע $AC$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $D$ . הצלע $CB$ מקבילה לציר ה- $x$ , וחותכת את ציר ה- $y$ בנקודה…
משולש חסום במעגל: מזווית לקודקודים, וטרפז חסום (שאלה מלאה · קשה)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M(-9,0)$ . הקודקוד $C(-24,0)$ נמצא על המעגל. הקודקוד $A$ נמצא ברביע הראשון, ושיפוע הצלע $CA$ הוא $\frac13$ .…
משולש במערכת צירים: קטע אמצעים וזווית קהה (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר משולש $ABC$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והצלע $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ . נתון: $AB=5$ , $A(4,2)$ . שיעור ה- $y$ של…
דלתון במערכת צירים: קודקוד מתוך שטח וזווית ישרה על אלכסון (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם דלתון קמור $ABCD$ ( $AB=CB$ , $AD=CD$ ). הקודקוד $C$ נמצא ברביע השני, והצלע $BC$ מקבילה לציר ה- $x$ . נתון: $B(0,12)$ , $A(-6,4)$ ,…
זווית בין ישר משופע לישר אנכי (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים הישרים $\ell_1$ : $y=-2x+3$ ו- $\ell_2$ : $x=4$ .
מעגל משיק לציר: זווית היקפית קבועה ושטח מקסימלי (שאלה מלאה · קשה)
מעגל עובר דרך הנקודות $A(8,-3)$ ו- $B(8,5)$ ומשיק לציר ה- $y$ . מרכז המעגל נמצא מימין לציר ה- $y$ .
מעגל, משיק מראשית הצירים ומשולשים דומים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו $M$ . הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את הישר $BC$ בראשית הצירים $O$ ,…
חוצה זווית במערכת צירים: הצלע, נקודת המפגש של חוצי הזוויות ומעגלים המשיקים לשלוש הצלעות (שאלה מלאה · קשה)
המשולש $ABC$ ישר זווית ב- $B$ , ו- $B$ היא ראשית הצירים. $A(0,12)$ , והנקודה $C$ על החלק החיובי של ציר ה- $x$ . הישר $AD$ חוצה את $\angle BAC$ …
טרפז ישר זווית במערכת צירים: אלכסונים מאונכים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $AD\perp AB$ , $AB\parallel DC$ ). הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על ציר ה- $x$ , כמתואר בסרטוט. אלכסוני הטרפז נפגשים…
זוויות בטרפז מתוך שיפועים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון טרפז $KLMN$ שקודקודיו $K(-9,0)$ , $L(3,0)$ , $M(3,4)$ , $N(-1,4)$ ( $KL\parallel NM$ ).
משולש חסום במעגל במערכת צירים: חיתוך, זוויות ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ , כמתואר בסרטוט. נתון: $M(-7,0)$ , $C(-20,0)$ .
זוויות במשולש מתוך שיפועים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $C(-14,0)$ ו- $A(6,8)$ . $O$ היא ראשית הצירים.
דלתון במערכת צירים: אלכסונים, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם דלתון $ABCD$ ( $AB=CB$ , $AD=CD$ ). הקודקוד $C$ נמצא ברביע השני. הצלע $BC$ מקבילה לציר ה- $x$ . נתון: $B(0,13)$ , $A(-5,1)$ .
הזווית בין שני ישרים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים הישרים $y=2x+1$ ו- $y=-x+4$ .
מעגל חוסם משולש: אנכים אמצעיים, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל שמרכזו $M$ חסום משולש חד-זווית $ABC$ . נתון: $A(6,-6)$ , $B(6,8)$ , $C(0,6)$ .
מעגל חסום במשולש ישר זווית במערכת צירים (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABO$ הוא ישר זווית. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. הצלע $AO$ נמצאת על החלק החיובי של ציר ה- $x$ , והצלע $BO$ נמצאת על החלק החיובי של ציר…
שיפוע, זווית וחוצה זווית (שאלה קצרה · בינונית)
הישר $y=\frac{8}{15}(x+12)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . $O$ היא ראשית הצירים.
חוצה זווית במשולש במערכת צירים: שיפועים וזוויות (שאלה מלאה · בינונית)
הישר $AC$ יוצר עם הצירים את $\triangle ABC$ . $B$ היא נקודת ראשית הצירים ו- $A(0,8)$ . הישר $AD$ חוצה את $\angle BAC$ ויוצר זווית $\beta$ עם…
הזווית בין ישר לציר ה-x (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $P(0,5)$ ו- $Q(4,0)$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

גבהים במשולש במערכת צירים: דמיון ויחס שטחים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד א', שאלה 4
במשולש $OBC$ העבירו גבהים $OD$ ו- $BE$ לצלעות $BC$ ו- $OC$ בהתאמה. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. הנקודה $C$ נמצאת על ציר ה- $x$ . משוואת הישר $BC$ היא: $y=-2x+20$ .
מקבילית במערכת צירים: חוצה זווית וזוויות הטרפז · בגרות 471 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 4
במקבילית $ABCD$ הצלע $AD$ נמצאת על ציר ה- $x$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AD$ , וידוע כי: $AB=AE$ .
מלבן שאלכסונו על ציר ה-x · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 4
במלבן $ABCD$ הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ . הקודקודים $A$ ו- $C$ נמצאים על ציר ה- $x$ , כמתואר באיור. $O$ - ראשית הצירים. נתון: $\tan\angle BAO=2$ , $AO=3$ .
משולש במערכת צירים: דמיון, ישרים מאונכים ושטח מרובע · בגרות 471 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 5
במשולש $ABC$ הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $x$ . הצלע $AC$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $D$ . הצלע $CB$ מקבילה לציר ה- $x$ , וחותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $E$ , כמתואר בסרטוט…
משולש במערכת צירים: קטע אמצעים ומקבילית · בגרות 471 חורף 2022, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מתואר משולש $ABC$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והצלע $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ . נתון: $AB=\sqrt{40}$ , $A(6,6)$ . שיעור ה- $y$ של הקודקוד $B$ קטן…
מעגל, משיק מראשית הצירים ומשולשים דומים · בגרות 471 חורף 2022, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל שמרכזו $M$ . הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את הישר $BC$ בראשית הצירים $O$ , כמתואר בסרטוט. נתון:…
טרפז ישר זווית במערכת צירים: אלכסונים מאונכים · בגרות 471 חורף 2024, שאלה 4
נתון טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $AD\perp AB$ , $AB\parallel DC$ ). הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על ציר ה- $x$ , כמתואר בסרטוט. אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה $M$ , שנמצאת על…
משולש חסום במעגל במערכת צירים: חיתוך, זוויות ושטחים · בגרות 471 חורף 2025, שאלה 5
משולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $M$ , כמתואר בסרטוט. נתון: $M(-5,0)$ , $C(-15,0)$ .
דלתון במערכת צירים: אלכסונים, זווית ושטח · בגרות 471 חורף 2026, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם דלתון $ABCD$ ( $AB=CB$ , $AD=CD$ ). הקודקוד $C$ נמצא ברביע השני. הצלע $BC$ מקבילה לציר ה- $x$ . נתון: $B(0,12)$ , $A(-6,4)$ .
מעגל חוסם משולש: אנכים אמצעיים, זווית ושטח · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 5
במעגל שמרכזו $M$ חסום משולש חד-זווית $ABC$ . נתון: $A(7,-5)$ , $B(7,3)$ , $C(0,2)$ .
מעגל חסום במשולש ישר זווית במערכת צירים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 5
המשולש $ABO$ הוא ישר זווית. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. הצלע $AO$ נמצאת על ציר ה- $x$ , והצלע $BO$ נמצאת על ציר ה- $y$ (ראה ציור). במשולש $ABO$ חסום מעגל שמרכזו…
חוצה זווית במשולש במערכת צירים: שיפועים וזוויות · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 5
הישר $AC$ יוצר עם הצירים את $\triangle ABC$ . $B$ היא נקודת ראשית הצירים ו- $A(0,9)$ . הישר $AD$ חוצה את $\angle BAC$ ויוצר זווית $\beta$ עם הכיוון החיובי של ציר…