דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: חישוב זווית במשולש ישר זווית - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על חישוב זווית במשולש ישר זווית, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מוצאים זוויות בעזרת יחסים טריגונומטריים במשולשים שנוצרים במלבן, בטרפז ישר זווית או במשולש החסום במעגל במערכת צירים. יש שאלות על מרובע חסום שבו זוויות נגדיות שוות, ועל מעגל שמשיק לציר ה-y וקוטר שיוצא מנקודת ההשקה. רוב השאלות קלות ובינוניות, ויש קשות, והמורה יכול לבחור מהן למבחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

84 שאלותקלה: 34בינונית: 42קשה: 8

שאלה 1 · מרובע חסום במעגל: קוטר וזוויות היקפיותשאלה מלאה · קלה

מרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠BAD=∠BCD\angle BAD=\angle BCD.

ABCD
א.

הוכיחו כי ∠BAD=90∘\angle BAD=90^\circ, והסיקו ש-BDBD קוטר במעגל.

ב.

נתון: A(1,−1)A(1,-1), D(−3,−1)D(-3,-1), B(1,5)B(1,5).

מצאו את אורכי הצלעות ABAB ו-ADAD.

ג.

מצאו את משוואת המעגל.

ד.

הנקודה C(−4,4)C(-4,4) נמצאת על המעגל. העבירו את האלכסון ACAC.

חשבו את גודל הזווית ACBACB.

שאלה 2 · מרובע חסום במעגל במערכת ציריםשאלה מלאה · בינונית

מרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון: ∠ABC=∠ADC\angle ABC=\angle ADC.

ABCD
א.

הוכיחו: ACAC הוא קוטר במעגל.

ב.

נתון: C(6,−2)C(6,-2), D(6,4)D(6,4), B(2,−4)B(2,-4).

(1)

הסבירו מדוע ADAD מקביל לציר ה-xx.

(2)

מצאו את משוואת הישר ABAB.

(3)

חשבו את שיעורי הנקודה AA.

(4)

מצאו את משוואת המעגל.

ג.

העבירו את האלכסון BDBD במרובע ABCDABCD.

חשבו את גודל הזווית DBCDBC.

שאלה 3 · מלבן במערכת צירים: מיחס שטחים לקודקודים, ומתי המלבן ריבועשאלה מלאה · קשה

במלבן ABCDABCD הקודקוד AA נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yy, הקודקוד CC נמצא על החלק החיובי של ציר ה-xx, והצלע ABAB חותכת את ציר ה-xx בנקודה EE שבין OO ל-CC (OO ראשית הצירים), כמתואר באיור.

משוואת הצלע ABAB היא y=−3x+3y=-3x+3.

ABCDEO
א.

מצאו את שיעורי הנקודות AA ו-EE, והוכיחו כי המשולשים AOEAOE ו-CBECBE דומים.

ב.

נתון כי שטח המשולש CBECBE גדול פי 10 משטח המשולש AOEAOE. מצאו את שיעורי הקודקוד CC.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקודים BB ו-DD.

ד.

בסעיף זה אין נתון על יחס השטחים: משוואת ABAB נשארת y=−3x+3y=-3x+3, ו-CC נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xx. מצאו את שיעורי CC שבעבורם המלבן ABCDABCD הוא ריבוע.

שאלה 4 · משולש שווה שוקיים חסום במעגל שמרכזו בראשיתשאלה מלאה · קלה

משולש ABCABC חסום במעגל x2+y2=169x^2+y^2=169 שמרכזו MM בראשית הצירים. משוואת הצלע ABAB היא y=−5y=-5. CDCD הוא הגובה לצלע ABAB, והוא עובר דרך MM.

ABCDM
א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AA ו-BB (AA משמאל ל-BB).

ב.

הראו כי C(0,13)C(0,13) ו-D(0,−5)D(0,-5).

ג.

הראו כי CA=CBCA=CB.

ד.

חשבו את גודל הזווית ACBACB.

שאלה 5 · טרפז ישר זווית במערכת צירים: משולשים דומיםשאלה מלאה · בינונית

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C=90^\circ, AB∥OCAB\parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא: y=3x+10y=3x+10, הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה. OO ראשית הצירים (כמתואר באיור).

OABCxy
א.
(1)

מצאו את משוואת הצלע BCBC.

(2)

חשבו את שיעורי הקודקוד CC.

ב.

חשבו את גודל הזווית BOCBOC.

ג.
(1)

הוכיחו כי המשולשים ABOABO ו-BOCBOC דומים.

(2)

חשבו את יחס השטחים של המשולשים ABOABO ו-BOCBOC.

שאלה 6 · מיתר אופקי משתנה במעגל: זווית הראש של משולש חסוםשאלה מלאה · קשה

נתון המעגל (x+2)2+(y−1)2=36(x+2)^2+(y-1)^2=36 שמרכזו MM. משולש ABCABC חסום במעגל. הצלע ABAB מונחת על הישר y=ky=k, והיא נמצאת מתחת למרכז המעגל (−5<k<1-5<k<1). CDCD הוא הגובה לצלע ABAB, והוא עובר דרך MM (AA משמאל ל-BB).

ABCDM
א.

הביעו באמצעות kk את שיעורי AA ו-BB ואת אורך הגובה CDCD.

ב.

נתון כי שטח המשולש ACMACM גדול פי 3 משטח המשולש ADMADM. מצאו את kk, וחשבו את גודל הזווית ACBACB.

ג.

מצאו את kk שבעבורו המשולש ABCABC שווה צלעות.

ד.

לאילו ערכים של kk הזווית ACBACB גדולה מ-60∘60^\circ?

שאלה 7 · מעגל המשיק לציר ה-y: זוויות במרובע החסוםשאלה מלאה · קלה

ציר ה-yy משיק בנקודה A(0,−3)A(0,-3) למעגל שמרכזו MM ורדיוסו 5. המעגל חותך את ציר ה-xx בנקודות BB ו-CC (BB קרובה יותר לציר ה-yy). ADAD הוא קוטר במעגל (ראו איור).

ABCDM
א.

הרדיוס MAMA מאונך לציר ה-yy. מצאו את שיעורי MM ואת משוואת המעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות BB, CC ו-DD.

ג.

הסבירו מדוע ∠ABD=90∘\angle ABD=90^\circ.

ד.

חשבו את גודל הזווית BADBAD.

ה.

מצאו את גודל הזווית BCDBCD. נמקו.

שאלה 8 · מלבן במערכת צירים: משולשים דומים משני צדי ציר ה-xשאלה מלאה · בינונית

במלבן ABCDABCD הצלע ABAB חותכת את ציר ה-xx בנקודה EE, כמתואר באיור. הנקודה OO היא ראשית הצירים.

ABCDEO
א.

הוכיחו כי המשולשים AOEAOE ו-CBECBE דומים.

ב.

נתון: D(3,6)D(3,6), C(5,0)C(5,0).

(1)

מצאו את משוואת הצלע ADAD.

(2)

מצאו את משוואת הצלע ABAB.

(3)

מצאו את שיעורי הנקודה EE.

ג.
(1)

חשבו את יחס הדמיון בין המשולשים AOEAOE ו-CBECBE.

(2)

מצאו פי כמה גדול שטח המשולש AOEAOE משטח המשולש CBECBE.

ד.

חשבו את גודל הזווית ECBECB.

שאלה 9 · ריבוע במערכת צירים: יחס חלוקה, שיפוע מהיחס ותנאי לשוויון זוויותשאלה מלאה · קשה

נתון ריבוע ABCDABCD. הצלע ABAB עוברת דרך ראשית הצירים, OO. הצלע ADAD חותכת את ציר ה-yy בנקודה EE. הקודקוד CC מונח על ציר ה-xx (ראו סרטוט).

ABCDEO
א.

הוכיחו: ΔOAE∼ΔCBO\Delta OAE\sim\Delta CBO.

ב.

נתון: E(0,−20)E(0,-20), C(30,0)C(30,0).

מצאו את היחס AO:OBAO:OB.

ג.
(1)

מצאו את שיעורי הנקודה BB.

(2)

מצאו את שטח הריבוע ABCDABCD.

ד.

הוכיחו: בכל ריבוע שמונח כמתואר בשאלה (גם בלי הנתונים של סעיף ב), ∠BCO=∠OCE\angle BCO=\angle OCE אם ורק אם OO היא אמצע הצלע ABAB. מה מתקבל בריבוע של סעיף ב?

שאלה 10 · מרובע חסום במעגל: מזווית ישרה לקוטר ולחיתוך ישר ומעגלשאלה מלאה · קלה

המרובע ABCDABCD שלפניכם חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: ∠A=∠C\angle A=\angle C.

ABCD
א.
(1)

הראו כי ∠A=∠C=90∘\angle A=\angle C=90^\circ.

(2)

הסבירו מדוע BDBD הוא קוטר במעגל.

ב.

נתון: B(0,10)B(0,10), D(0,0)D(0,0).

מצאו את משוואת המעגל.

ג.

נתון כי שיפוע הצלע BCBC הוא −13-\frac13.

(1)

מצאו את שיפוע הצלע DCDC ואת משוואתה. נמקו.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה CC.

ד.

חשבו את שטח המשולש BCDBCD.

ה.

חשבו את גודל הזווית DBCDBC.

עוד 28 שאלות על חישוב זווית במשולש ישר זווית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. משולש שווה שוקיים חסום במעגל: גובה דרך המרכז (שאלה מלאה · בינונית)

    משולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו MM. CDCD הוא הגובה לצלע ABAB. ידוע כי CDCD עובר דרך מרכז המעגל.

  2. משולש חסום במעגל המשיק לציר: מיחס השטחים לנקודה (שאלה מלאה · קשה)

    המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו MM. הצלע ACAC היא קוטר במעגל. המעגל נמצא משמאל לציר ה-yy, משיק לציר ה-yy בנקודה C(0,9)C(0,9) וחותך את ציר…

  3. ריבוע במערכת צירים: דמיון משולשים צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)

    נתון ריבוע ABCDABCD. הצלע ABAB עוברת דרך ראשית הצירים, OO. הצלע ADAD חותכת את ציר ה-xx בנקודה EE. הקודקוד CC מונח על החלק החיובי של ציר…

  4. מקבילית במערכת צירים: חוצה זווית וזוויות הטרפז (שאלה מלאה · בינונית)

    במקבילית ABCDABCD הצלע ADAD נמצאת על ציר ה-xx. הנקודה EE נמצאת על הצלע ADAD, וידוע כי: AB=AEAB=AE.

  5. משולש ישר זווית ושווה שוקיים במערכת צירים (שאלה מלאה · קשה)

    בסרטוט שלפניכם משולש ABCABC ישר זווית ושווה שוקיים (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ, AC=BCAC=BC). שיעורי הקודקוד AA הם (−16,0)(-16,0). הקודקוד BB נמצא על…

  6. טרפז על הצירים: מקבילים, זוויות ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · קלה)

    המרובע ABCDABCD הוא טרפז (AB∥CDAB\parallel CD), שכל קודקודיו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. ראשית הצירים OO היא מפגש האלכסונים של…

  7. מעגל המשיק לציר ה-y וטרפז חסום (שאלה מלאה · בינונית)

    המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו MM. ציר ה-yy משיק למעגל בנקודה AA, והמעגל חותך את ציר ה-xx בנקודות BB ו-CC. ADAD הוא קוטר במעגל (ראו…

  8. מעוין במערכת צירים: קודקודים מתנאי מקבילות ותחום זווית (שאלה מלאה · קשה)

    בסרטוט שלפניכם מעוין ABCDABCD, שאלכסוניו נפגשים בנקודה EE. נתון: משוואת הצלע ABAB היא y=−2x+15y=-2x+15, C(−5,1)C(-5,1), והאלכסון ACAC מקביל לישר y=2xy=2x.

  9. משולש ישר זווית במערכת צירים: תיכון ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם משולש ABCABC שקודקודיו A(−8,0)A(-8,0), B(0,4)B(0,4), C(−6,6)C(-6,6). BEBE הוא תיכון לצלע ACAC.

  10. מרובע חסום במעגל: קוטר אופקי, חיתוך ישר ומעגל וזוויות (שאלה מלאה · בינונית)

    המרובע ABCDABCD שלפניכם חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: ∠B=∠D\angle B=\angle D.

  11. מקבילית עם קודקוד משתנה: חלוקת הקטע ותחום השטח (שאלה מלאה · קשה)

    במקבילית ABCDABCD הקודקוד BB הוא (4,0)(4,0), הקודקוד AA נמצא על החלק השלילי של ציר ה-xx, A(−a,0)A(-a,0) (a>0a>0), והקודקוד CC נמצא על החלק החיובי…

  12. מעוין במערכת צירים: אלכסונים, קודקודים ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם מעוין ABCDABCD, שאלכסוניו נפגשים בנקודה EE. נתון: A(4,11)A(4,11), C(0,−1)C(0,-1), ומשוואת הצלע ABAB היא y=−7x+39y=-7x+39.

  13. מלבן במערכת צירים: דמיון משולשים, שיעורי קודקוד ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון מלבן ABCDABCD שבו AB:BC=2:3AB:BC=2:3. הצלע ABAB עוברת דרך ראשית הצירים, OO. הצלע ADAD חותכת את ציר ה-yy בנקודה EE. הקודקוד CC מונח על ציר…

  14. משולש שווה שוקיים: מתי חוצה זווית (שאלה מלאה · קשה)

    משולש ABCABC הוא שווה שוקיים (CB=ABCB=AB). הנקודה EE נמצאת על הצלע BCBC כך ש-AE=ACAE=AC.

  15. טרפז ישר זווית: חוצי זוויות וזוויות הטרפז (שאלה מלאה · קלה)

    נתון טרפז ישר זווית ABCDABCD (AB∥CDAB\parallel CD, AB⊥ADAB\perp AD). EBEB ו-ECEC הם חוצי הזוויות ABCABC ו-BCDBCD בהתאמה, הנפגשים בנקודה EE שעל השוק…

  16. טרפז על הצירים: שיעורים, זוויות ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)

    המרובע ABCDABCD הוא טרפז (AB∥CDAB\parallel CD), שכל קודקודיו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. ראשית הצירים OO היא מפגש האלכסונים של…

  17. מקבילית במערכת צירים: קודקוד, זווית ודמיון (שאלה מלאה · קלה)

    במקבילית ABCDABCD: A(−9,0)A(-9,0), B(3,0)B(3,0), C(0,6)C(0,6). הקודקוד CC נמצא על ציר ה-yy, ו-OO היא ראשית הצירים. האלכסון BDBD חותך את COCO בנקודה EE…

  18. משולש ישר זווית במערכת צירים: תיכון, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ). הקודקוד BB נמצא על ציר ה-yy. נתון כי שיעורי הקודקוד AA הם (−6,0)(-6,0), ומשוואת…

  19. מעגל חסום במשולש ישר זווית: ריבוע, משוואה ומשיקים (שאלה מלאה · קלה)

    המשולש ABOABO ישר זווית, OO ראשית הצירים, AA על החלק השלילי של ציר ה-xx ו-BB על החלק החיובי של ציר ה-yy. במשולש חסום מעגל שמרכזו CC,…

  20. זווית בין תיכון לניצב במערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתון משולש ABCABC שקודקודיו A(−3,−6)A(-3,-6), B(7,−1)B(7,-1), C(1,2)C(1,2). BEBE הוא תיכון לצלע ACAC.

  21. חוצה זווית במשולש ישר זווית: זוויות ונקודות (שאלה מלאה · קלה)

    הישר ACAC יוצר עם הצירים את △ABC\triangle ABC, ו-BB היא ראשית הצירים. הישר ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC (DD על הצלע BCBC). משוואת הישר ADAD היא…

  22. מעוין במערכת צירים: אלכסונים מאונכים, זווית ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מעוין ABCDABCD. אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה EE. נתון כי משוואת הצלע ABAB היא y=−x+12y=-x+12, שיעור ה-xx של הקודקוד AA הוא −3-3,…

  23. זווית במשולש ישר זווית במערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונות הנקודות A(1,9)A(1,9), E(3,5)E(3,5) ו-B(11,9)B(11,9).

  24. טרפז ישר זווית: חוצי זוויות ניצבים, ישר מאונך וזוויות הטרפז (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון טרפז ישר זווית ABCDABCD (AB∥CDAB\parallel CD, AB⊥ADAB\perp AD). EBEB ו-ECEC הם חוצי הזוויות ABCABC ו-BCDBCD בהתאמה, הנפגשים בנקודה EE. הנקודה…

  25. מקבילית במערכת צירים: טנגנס, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)

    במקבילית ABCDABCD: A(−6,0)A(-6,0), B(4,0)B(4,0). הקודקוד CC נמצא על ציר ה-yy, ו-OO היא ראשית הצירים (ראו ציור). האלכסון BDBD חותך את COCO בנקודה…

  26. מעגל חסום במשולש ישר זווית במערכת צירים (שאלה מלאה · בינונית)

    המשולש ABOABO הוא ישר זווית. הנקודה OO היא ראשית הצירים. הצלע AOAO נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xx, והצלע BOBO נמצאת על החלק החיובי של ציר…

  27. משולש שווה שוקיים: דמיון, זווית ויחס רדיוסים (שאלה מלאה · בינונית)

    משולש ABCABC הוא שווה שוקיים (CB=ABCB=AB). הנקודה EE נמצאת על הצלע BCBC כך ש-AE=ACAE=AC.

  28. חוצה זווית במשולש במערכת צירים: שיפועים וזוויות (שאלה מלאה · בינונית)

    הישר ACAC יוצר עם הצירים את △ABC\triangle ABC. BB היא נקודת ראשית הצירים ו-A(0,8)A(0,8). הישר ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC ויוצר זווית β\beta עם…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (30)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.