שאלות פתוחות: חקירה בשילוב טרנספורמציות - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על חקירת פונקציה רציונלית בשילוב טרנספורמציות, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות חוקרים פונקציה כמו (x²+3)/(x-1) ואז עוברים לפונקציה שהתקבלה ממנה בהזזה, בשיקוף או בהפרש מקבוע, למשל g(x)=-f(x+1) או h(x)=k-f(x). יש שאלה שבה מוצאים הזזה שהופכת את הפונקציה לאי-זוגית, ושאלה על הפונקציה (f(x))²-2f(x). רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ומהשאלות אפשר לבנות מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

44 שאלותקלה: 8בינונית: 28קשה: 8

שאלה 1 · חקירה בשילוב טרנספורמציותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1x2−4x+5+3f(x)=\frac{1}{x^2-4x+5}+3f(x)=x2−4x+51​+3.

מצאו את תחום הערכים של הפונקציה.

שאלה 2 · חקירה בשילוב טרנספורמציותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=2xx2+1f(x)=\frac{2x}{x^2+1}f(x)=x2+12x​, ונתונה הפונקציה g(x)=(f(x))2−2f(x)g(x)=\left(f(x)\right)^2-2f(x)g(x)=(f(x))2−2f(x).

א.

מצאו את תחום הערכים של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של g(x)g(x)g(x), ואת ערכי xxx שבהם הם מתקבלים.

שאלה 3 · חקירה בשילוב טרנספורמציותשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+3x−1f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}f(x)=x−1x2+3​, ונתונה הפונקציה g(x)=f(x+a)−2g(x)=f(x+a)-2g(x)=f(x+a)−2, כאשר aaa פרמטר. ggg היא פונקציה אי-זוגית.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של ggg וקבעו את סוגן.

שאלה 4 · חקירת $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ומשיקשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x}f(x)=x+x4​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

הראו כי f′(x)=x2−4x2f'(x)=\frac{x^2-4}{x^2}f′(x)=x2x2−4​, ומצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ג.

הסבירו מדוע אין לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים, וסרטטו סקיצה של הגרף.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−4g(x)=f(x)-4g(x)=f(x)−4. מצאו את הנקודה שבה גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx.

ה.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=4x=4x=4, ואת השטח שהוא יוצר עם הצירים.

שאלה 5 · חקירה בשילוב טרנספורמציותשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט מתואר גרף הפונקציה f(x)=x2+1xf(x)=\frac{x^2+1}{x}f(x)=xx2+1​. נתונה הפונקציה g(x)=−f(x+1)g(x)=-f(x+1)g(x)=−f(x+1).
y=f(x)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה ggg וקבעו את סוגן.

שאלה 6 · פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיקה לציר ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=4x+axf(x)=\frac{4}{x}+axf(x)=x4​+ax, a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−8g(x)=f(x)-8g(x)=f(x)−8. גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx בנקודה שבה x=1x=1x=1. מצאו את aaa.

ג.

הציבו a=4a=4a=4. מצאו את מספר הפתרונות של כל אחת מהמשוואות: g(x)=−16g(x)=-16g(x)=−16, g(x)=−10g(x)=-10g(x)=−10, g(x)=5g(x)=5g(x)=5. נמקו.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית וערך מוחלט: חקירה מודרכתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2+4xf(x)=\frac{x^2+4}{x}f(x)=xx2+4​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואת האסימפטוטה האנכית שלה.

(2)

הראו שלגרף הפונקציה אין נקודות חיתוך עם הצירים.

(3)

הראו ש-f′(x)=x2−4x2f'(x)=\frac{x^2-4}{x^2}f′(x)=x2x2−4​.

(4)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

(5)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|g(x)=∣f(x)∣.

(1)

הסבירו מדוע g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x) לכל x<0x<0x<0, ומצאו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן.

(2)

כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=5g(x)=5g(x)=5? נמקו.

שאלה 8 · חקירה בשילוב טרנספורמציותשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2x−1f(x)=\frac{x^2}{x-1}f(x)=x−1x2​, ונתונה הפונקציה h(x)=k−f(x)h(x)=k-f(x)h(x)=k−f(x), כאשר kkk פרמטר. ערך הפונקציה hhh בנקודת המקסימום המקומי שלה וערכה בנקודת המינימום המקומי שלה הם מספרים נגדיים.

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של hhh וקבעו את סוגן.

שאלה 9 · פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיון לפי הפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=ax2−1x2−1f(x)=\frac{ax^2-1}{x^2-1}f(x)=x2−1ax2−1​, aaa הוא פרמטר, a>0a>0a>0, a≠1a\neq1a=1.

א.

הביעו באמצעות aaa את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של f(x)f(x)f(x), ואת שיעורי נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה בעבור כל ערכי aaa.

ג.

נתונה הפונקציה: g(x)=−f(x)+6g(x)=-f(x)+6g(x)=−f(x)+6. נתון: משוואת האסימפטוטה האופקית של g(x)g(x)g(x) היא y=3y=3y=3.

(1)

מצאו את aaa.

(2)

מצאו את נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x). מהו סוגה? נמקו.

ד.

בעבור הערך שמצאתם, מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m לפי ערכי mmm.

שאלה 10 · פונקציה רציונלית: חקירה, סקיצה ושיקוףשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2xx2−1f(x)=\frac{2x}{x^2-1}f(x)=x2−12x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

ב.

מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית ואת נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

ג.

הראו כי f′(x)=−2(x2+1)(x2−1)2f'(x)=\frac{-2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}f′(x)=(x2−1)2−2(x2+1)​.

ד.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

ה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ו.

נתונה הפונקציה: g(x)=−f(x)+1g(x)=-f(x)+1g(x)=−f(x)+1.

(1)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=1g(x)=1g(x)=1? נמקו.

עוד 23 שאלות על חקירה בשילוב טרנספורמציות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה רציונלית, הזזה אנכית ומשיק (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x+\frac{18}{x}-3$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר הפתרונות של |f(x)|=4 (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-2x+a}{x-1}$ , כאשר $a$ פרמטר ו- $a>1$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)=|f(x)|$ .
מגרף הנגזרת לפונקציה - בהכוונה (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . הנגזרת מתאפסת רק ב- $x=-1$ וב- $x=2$ . בהמשך…
חקירת פונקציה רציונלית ושיקוף שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+3}{(x-1)^2}$ .
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4}{x^2-4}$ .
פונקציה רציונלית: נגזרת, קיצון והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ .
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x}{(x-2)^2}$ .
מגרף הנגזרת ושטחים לערכי הפונקציה (שאלה מלאה · קשה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , שמתאפסת רק ב- $x=-2$ , $x=1$ , $x=3$ . נתון:…
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, נגזרת נתונה וקיצון (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x-4}{x^2}+2$ .
פונקציה רציונלית וערך מוחלט: מינימומים בגבהים שונים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ומשיקים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{ax}{(x+4)^2}$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר.
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלה קצרה · קלה)
לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת, מקסימום, בנקודה $(3,-2)$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ושיקוף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+1}{x^2-a}$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ עובר דרך הנקודה $\left(4,\frac57\right)$ .
הזזה שהופכת פונקציה רציונלית לאי-זוגית (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ , ונתונה הפונקציה $g(x)=f(x+a)-2$ , כאשר $a$ פרמטר. $g$ היא פונקציה אי-זוגית.
מגרף הנגזרת לפונקציה: נקודה אופקית בצד ושטח שאינו מחליף סימן (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . נתון: פונקציית הנגזרת $f'(x)$ …
חקירת פונקציה רציונלית: קיצון, סקיצה, ישר אופקי והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{18x}{(x-3)^2}$ .
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלה קצרה · בינונית)
לפונקציה $f(x)=\frac{8x}{(x-2)^2}$ יש נקודת קיצון אחת: מינימום בנקודה $(-2,-1)$ . נתונה הפונקציה $g(x)=f(x)+3$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר, וקיצון של g כש-g'=f-0.5 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+4x+a}{x^2}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: חקירה והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{x^2-4}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}$ ו- $g(x)=f(x-5)$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סימן הנגזרת והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{x-3}{(x+b)^2}$ לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=4$ .
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלה קצרה · בינונית)
לפונקציה $f(x)=\frac{x^2+x+4}{x+1}$ יש מקסימום ב- $(-3,-5)$ ומינימום ב- $(1,3)$ (ואין לה נקודות קיצון נוספות). ענו בלי לגזור.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: אסימפטוטה, קיצון ומתיחה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3}{x^2-2x}+b$ ( $b$ פרמטר). אחת האסימפטוטות של הפונקציה היא $y=2$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת $f (x) = \frac{12}{x} + 3 x$ , הזזה אנכית ומשיק · בגרות 471 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12}{x}+3x$ .
חקירת פונקציה רציונלית ושיקוף שלה · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{(x+3)^2}$ .
פונקציה רציונלית וערך מוחלט: חקירה ומספר פתרונות · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ושיקוף · בגרות 471 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x}{x^2-a}$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ עובר דרך הנקודה $(3,1.2)$ .
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זיהוי גרף, אינטגרל מול שטח והזזה · בגרות 471 חורף 2023, שאלה 8
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . נתון: פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מתאפסת בנקודות שבהן:…
חקירת פונקציה רציונלית: קיצון, סקיצה, ישר אופקי והזזה · בגרות 471 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{(x+4)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר, וקיצון של g כש-g'=f-11 · בגרות 471 חורף 2025, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+x+a}{x}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: חקירה והזזה · בגרות 471 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x^2}{x^2-9}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סימן הנגזרת והזזה · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
בסרטוט שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{x+b}$ לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: אסימפטוטה, קיצון ומתיחה · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+1}{x^2}+b$ ( $b$ פרמטר). אחת האסימפטוטות של הפונקציה היא $y=1$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

קיצון של פונקציה שהיא הזזה ומתיחה של פונקציה מוכרת (שאלה קצרה · בינונית)
לפונקציה $p(x)=\frac{\sqrt x}{x^2+12}$ , המוגדרת בתחום $x\ge0$ , יש נקודת קיצון פנימית יחידה: מקסימום…