מבחן לדוגמה: פונקציות רציונליות: חקירה מלאה - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את כל ערכי $k$ שעבורם תחום ההגדרה של הפונקציה הוא כל המספרים הממשיים פרט למספר אחד בדיוק. לכל ערך כזה רשמו את המספר שאינו בתחום.

מבין שלוש הפונקציות הנתונות, קבעו איזו פונקציה מקיימת את כל התכונות הללו. נמקו.

מצאו את המשוואה של האסימפטוטה האופקית ושל האסימפטוטה האנכית של הפונקציה.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

נתונות שתי פונקציות: $f'(x)$ ו-$g(x)$. $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של $f(x)$, ו-$g(x)$ מקיימת: $g(x)=f(x)\cdot f'(x)$. הפונקציות $f'(x)$ ו-$g(x)$ מוגדרות באותו התחום כמו הפונקציה $f(x)$.

כל אחד מן הגרפים I-III שלפניכם מתאר את אחת הפונקציות: $f(x)$, $f'(x)$ ו-$g(x)$.

לכל אחת מן הפונקציות כתבו איזה גרף מתאר אותה. נמקו את התשובה.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה $g(x)$ עם ציר ה-$x$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה $g(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים: $x=\frac12$ ו-$x=2$.

נתון: $a>1$ הוא פרמטר. חשבו את: $\int_{\frac1a}^{a}g(x)dx$.

נתונה הפונקציה: $h(x)=\int_1^x f'(t)dt$. נתון כי הפונקציה $h(x)$ מוגדרת בתחום $\frac12\le x$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $h(x)$, וקבעו את סוגן.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

מצאו את כל ערכי $k$ שעבורם הישר $y=k$ אינו חותך את גרף הפונקציה.

נתון שלפונקציה אין נקודות קיצון. סרטטו סקיצה של גרף $f(x)$.

מצאו את תחום ההגדרה של $h(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים.

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של $h(x)$.

נתון השוויון $4+16+36+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$, שבו $n$ הוא מספר טבעי זוגי.

במועדון קוראים בדקו אילו ספרים שאלו החברים: חלק מהחברים שאלו רומן, חלק שאלו ספר קומיקס, חלק שאלו את שניהם, וחלק לא שאלו אף אחד מהם. 12% מן החברים שאלו רק רומן. מספר החברים ששאלו רק רומן קטן פי 3 ממספר החברים ששאלו גם רומן וגם ספר קומיקס. $\frac45$ מן החברים ששאלו ספר קומיקס, שאלו גם רומן. בוחרים באקראי חבר מועדון.

נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$, $g(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x}$, $h(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x}}$.

נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{8x}{x^2+4}$ ו-$g(x)=f^2(x)\cdot f'(x)$.

הוכיחו כי לכל $n$ הפונקציה $f_n(x)$ אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f_n(x)$. הבחינו בין ערכים שונים של $n$ לפי הצורך.

בסעיף ג, $n=2$.

השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f_2(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=-c$, $x=c$ ($0<c<1$) שווה ל-3. מצאו את $c$. (הדרכה: הנגזרת של $x^2-1$ היא $2x$.)

נתונה פונקציה $H(x)$ המקיימת $H'(x)=f_n(x)$, ומוגדרת באותו תחום כמו $f_n(x)$. קבעו, לכל $n$ טבעי, אם יש ל-$H(x)$ נקודת קיצון שבה $x=0$, ואם כן - מה סוגה. האם יש ל-$H(x)$ נקודות קיצון נוספות?