שאלות פתוחות: פונקציות המשלבות סכום והרכבה - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול חקירה של פונקציות המשלבות סכום והרכבה לכיתה י"א, 5 יחידות. השאלות כוללות פונקציות כמו x+4/x ו-2x+8/(x-1)², הפונקציה g(x)=1/f(x) שבנויה מפרבולה עם פרמטר, ופונקציות שבר עם שורש במכנה כמו (x²+5)/√(x²-4). רוב השאלות ברמה בינונית, ויש קלות ומעט קשות. המורה יכול לבנות מהן מבחן או דף עבודה בחקירה, כשכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא ואפשר להוריד את הכול כקובץ Word.

36 שאלותקלה: 9בינונית: 25קשה: 2

שאלה 1 · פונקציות המשלבות סכום והרכבהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x+8(x−1)2f(x)=2x+\frac{8}{(x-1)^2}f(x)=2x+(x−1)28​.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

שאלה 2 · פונקציות המשלבות סכום והרכבהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x}f(x)=x+x4​.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם הישר y=ky=ky=k אינו חותך את גרף הפונקציה.

שאלה 3 · מספר הפתרונות של $∣ f (x) ∣ = b$ שאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=a−x2x3f(x)=\frac{a-x^2}{x^3}f(x)=x3a−x2​, המוגדרת עבור x≠0x\neq0x=0. aaa הוא פרמטר חיובי. נתונה גם הפונקציה g(x)=∣f(x)∣−bg(x)=|f(x)|-bg(x)=∣f(x)∣−b, bbb הוא פרמטר חיובי, המוגדרת באותו התחום.
נתון: האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים הן x=0x=0x=0 ו-y=0y=0y=0, נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx הן (±a,0)\left(\pm\sqrt a,0\right)(±a​,0), ונקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) הן מקסימום (−3a,233a)\left(-\sqrt{3a},\frac2{3\sqrt{3a}}\right)(−3a​,33a​2​) ומינימום (3a,−233a)\left(\sqrt{3a},-\frac2{3\sqrt{3a}}\right)(3a​,−33a​2​).

מצאו באמצעות aaa את כל ערכי bbb שעבורם למשוואה g(x)=0g(x)=0g(x)=0 יש בדיוק 6 פתרונות.

שאלה 4 · חקירה מודרכת של מנה עם שורש במכנה ושל ריבוע הפונקציהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2+5x2−4f(x)=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2-4}}f(x)=x2−4​x2+5​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), והוכיחו כי f(x)f(x)f(x) זוגית.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה) ואת האסימפטוטות האנכיות שלה.

ג.

הראו כי f′(x)=x(x2−13)(x2−4)32f'(x)=\frac{x(x^2-13)}{(x^2-4)^{\frac32}}f′(x)=(x2−4)23​x(x2−13)​, ומצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

מצאו את נקודות הקיצון של (f(x))2(f(x))^2(f(x))2 ושל 1(f(x))2\frac{1}{(f(x))^2}(f(x))21​, וקבעו את סוגן.

שאלה 5 · פונקציות המשלבות סכום והרכבהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−2x+cf(x)=x^2-2x+cf(x)=x2−2x+c, כאשר ccc פרמטר, ומגדירים g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​. נתון: לגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) אין אסימפטוטות אנכיות, והערך הגדול ביותר של g(x)g(x)g(x) הוא 12\frac1221​.

א.

מצאו את ccc.

ב.

עבור הערך של ccc שמצאתם, מצאו את תחום הערכים של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

שאלה 6 · קיצון של $(f (x))^{2}$ וסקיצה של $\frac{1}{( f ( x ) ) ^{2}}$ שאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x3x2−a2f(x)=\frac{x^3}{\sqrt{x^2-a^2}}f(x)=x2−a2​x3​, a>0a>0a>0 הוא פרמטר. הביעו את תשובותיכם באמצעות aaa אם יש צורך.
נתון: תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) הוא x<−ax<-ax<−a או x>ax>ax>a, והפונקציה אי-זוגית. f(x)>0f(x)>0f(x)>0 עבור x>ax>ax>a ו-f(x)<0f(x)<0f(x)<0 עבור x<−ax<-ax<−a. האסימפטוטות האנכיות של f(x)f(x)f(x) הן x=ax=ax=a (כאשר x→a+x\to a^+x→a+, f(x)→+∞f(x)\to+\inftyf(x)→+∞) ו-x=−ax=-ax=−a (כאשר x→−a−x\to-a^-x→−a−, f(x)→−∞f(x)\to-\inftyf(x)→−∞), ואין לה אסימפטוטה אופקית: כאשר ∣x∣→∞|x|\to\infty∣x∣→∞, ∣f(x)∣→∞|f(x)|\to\infty∣f(x)∣→∞. ל-f(x)f(x)f(x) נקודת מינימום (62a,332a2)\left(\frac{\sqrt6}{2}a,\frac{3\sqrt3}{2}a^2\right)(26​​a,233​​a2) ונקודת מקסימום (−62a,−332a2)\left(-\frac{\sqrt6}{2}a,-\frac{3\sqrt3}{2}a^2\right)(−26​​a,−233​​a2): היא יורדת בתחומים −62a<x<−a-\frac{\sqrt6}{2}a<x<-a−26​​a<x<−a, a<x<62aa<x<\frac{\sqrt6}{2}aa<x<26​​a ועולה בתחומים x<−62ax<-\frac{\sqrt6}{2}ax<−26​​a, x>62ax>\frac{\sqrt6}{2}ax>26​​a.

א.

נתונה הפונקציה (f(x))2(f(x))^2(f(x))2 שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (f(x))2(f(x))^2(f(x))2 וקבעו את סוגן.

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=1(f(x))2g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}g(x)=(f(x))21​. תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x) זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

הסתמכו על הסעיפים הקודמים וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

שאלה 7 · פונקציית שורש: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , אי-זוגיות ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2xx2+5f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+5}}f(x)=x2+5​2x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המקבילות לציר ה-xxx. (היעזרו בכך ש-x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|x2​=∣x∣.)

ב.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית.

ג.

הראו כי f′(x)=10(x2+5)32f'(x)=\frac{10}{(x^2+5)^{\frac32}}f′(x)=(x2+5)23​10​, וקבעו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=1(f(x))2g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}g(x)=(f(x))21​, המוגדרת לכל x≠0x\ne0x=0.

הראו כי g(x)=14+54x2g(x)=\frac14+\frac{5}{4x^2}g(x)=41​+4x25​, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), ציר ה-xxx והישרים x=1x=1x=1 ו-x=5x=5x=5.

שאלה 8 · פונקציות המשלבות סכום והרכבהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2+axf(x)=x^2+\frac{a}{x}f(x)=x2+xa​, כאשר aaa פרמטר. לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול שבה x=−1x=-1x=−1.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הפיתול.

שאלה 9 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, חסם לחיתוך, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ ופונקציה קדומהשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

נתון הסכום:
Sn=4⋅12−21⋅3+4⋅22−23⋅5+…+4n2−2(2n−1)(2n+1)S_n=\frac{4\cdot1^2-2}{1\cdot3}+\frac{4\cdot2^2-2}{3\cdot5}+\ldots+\frac{4n^2-2}{(2n-1)(2n+1)}Sn​=1⋅34⋅12−2​+3⋅54⋅22−2​+…+(2n−1)(2n+1)4n2−2​

(1)

הראו כי לכל kkk טבעי מתקיים: 2k2(2k+3)+4(k+1)2−2=2(k+1)2(2k+1)2k^2(2k+3)+4(k+1)^2-2=2(k+1)^2(2k+1)2k2(2k+3)+4(k+1)2−2=2(k+1)2(2k+1).

(2)

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי מתקיים: Sn=2n22n+1S_n=\frac{2n^2}{2n+1}Sn​=2n+12n2​.

ב.

בתנועת נוער 80% מן החניכים משתתפים בטיולים, ו-45% מן החניכים משתתפים במחנה הקיץ.

(1)

הסבירו מדוע לפחות 25% מן החניכים משתתפים גם בטיולים וגם במחנה הקיץ.

(2)

נתון כי 30% מן החניכים משתתפים גם בטיולים וגם במחנה הקיץ. חשבו את ההסתברות שחניך שנבחר באקראי מבין המשתתפים בטיולים משתתף במחנה, ואת ההסתברות שחניך שנבחר באקראי מבין המשתתפים במחנה משתתף בטיולים. איזו מהן גדולה יותר?

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת לכל xxx. לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש אסימפטוטה אחת בלבד, y=0y=0y=0, ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה-xxx, (6,0)(6,0)(6,0). נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) הן (2,4)(2,4)(2,4) ו-(8,−2)(8,-2)(8,−2), והן מסומנות בסרטוט.
נתונה הפונקציה g(x)=1(f(x))2g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}g(x)=(f(x))21​.
f(x)
(2,4)(6,0)(8,-2)

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת האסימפטוטה האנכית שלה.

(2)

הראו כי g′(x)=−2f′(x)(f(x))3g'(x)=\frac{-2f'(x)}{(f(x))^3}g′(x)=(f(x))3−2f′(x)​, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן.

(3)

מצאו כמה נקודות משותפות יש לגרף g(x)g(x)g(x) ולישר y=18y=\frac18y=81​, וכמה נקודות משותפות יש לו ולישר y=1y=1y=1.

ד.

נתונה הפונקציה f(x)=6x(x2+1)2f(x)=\frac{6x}{(x^2+1)^2}f(x)=(x2+1)26x​, המוגדרת לכל xxx. g(x)g(x)g(x) היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)g′(x)=f(x), וגרף g(x)g(x)g(x) עובר דרך הנקודה (0,1)(0,1)(0,1).

(1)

הראו כי הנגזרת של הפונקציה h(x)=−3x2+1h(x)=\frac{-3}{x^2+1}h(x)=x2+1−3​ היא f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את g(x)g(x)g(x).

(3)

מצאו את נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגה, ומצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של g(x)g(x)g(x).

שאלה 10 · פונקציות המשלבות סכום והרכבהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x+9x+af(x)=x+\frac{9}{x+a}f(x)=x+x+a9​, כאשר aaa פרמטר.

א.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן. הביעו באמצעות aaa.

ב.

נתון כי נקודת המינימום של הפונקציה נמצאת על ציר ה-xxx. מצאו את aaa ואת שיעורי נקודת המקסימום.

עוד 13 שאלות על פונקציות המשלבות סכום והרכבה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שאלות קצרות מודרכות: סכום $n (n + 1)$ באינדוקציה, בחירת סימן של פונקציית שורש ושטח של $f^{2}$ , $\frac{1}{f - 4}$ מגרף, משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית (שאלה מלאה · קלה)
הראו כי לכל $k$ טבעי מתקיים: $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$ .
חקירת $\frac{x ^{3}}{x ^{2} - a ^{2}}$ עם פרמטר, הפונקציות $f^{2}$ ו- $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^3}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , $a>0$ הוא פרמטר. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
פונקציות המשלבות סכום והרכבה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\frac{4}{x}$ .
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משולש המשיקים (שאלה מלאה · בינונית)
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $3^{2n}-1$ מתחלק ב-8 ללא שארית.
פונקציית שורש עם פרמטר: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , קיצון בקצה, הגרף של $f^{4}$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על הסעיפים א-ו. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך.
פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{1}{c o s x}$ : זוגיות, משיק אופקי, מקסימום מתחת למינימום ומפגש של $g$ עם $\frac{4}{g}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{1}{\cos x}+a$ , בתחום $-\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$ . $a$ הוא פרמטר.
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
שאלות קצרות: סכום $n (n + 2)$ באינדוקציה, $x 9 - x^{2}$ ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 3}$ , שטח משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $b$ .
שאלות קצרות: סכום $k \cdot 3^{k - 1}$ באינדוקציה, $(x - 3) 4 x - x^{2}$ ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 2}$ , היקף משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $b$ .
פונקציה עם שורש של שבר: חקירה עם פרמטר, $(f (x))^{2}$ והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac1x\sqrt{\frac{3x-k}{x}}$ , $k$ הוא פרמטר חיובי.
עלייה וירידה של $(f (x))^{4}$ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. תחום ההגדרה של $f(x)$ הוא $x\le-a$ או $x\ge a$ , ו- $f(x)$ עולה בכל אחד…
הפונקציה $\frac{1}{f ( x ) - 4}$ לפי גרף (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד, $(-2,5)$ , ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת $\frac{x ^{2}}{x ^{2} - a ^{2}}$ עם פרמטר, הפונקציות $f^{2}$ ו- $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטח · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , $a>0$ הוא פרמטר. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משיקים למעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $4^n-1$ מתחלק ב-3 ללא שארית.
פונקציית שורש עם פרמטר: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , אי-זוגיות, הגרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטח · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על הסעיפים א-ו. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך.
פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{4}{c o s ^{2} x}$ : זוגיות, משיק אופקי, שלושה מינימומים ומפגש של $g$ עם $\frac{1}{g}$ · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{4}{(\cos x)^2}+a$ , בתחום $-\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$ . $a$ הוא פרמטר.
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
שאלות קצרות: נוסחת סכום באינדוקציה, התאמת פונקציית שורש לגרף ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 2}$ , משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 1
מצאו את הערך של $b$ .
פונקציית שורש במונה: חקירה עם פרמטר, $(f (x))^{2}$ והשוואת אינטגרלים · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{5x^2-kx}}{x^3}$ , $k$ הוא פרמטר חיובי.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (6)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת $f (x) = \frac{12}{x} + 3 x$ , הזזה אנכית ומשיק (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12}{x}+3x$ .
חקירת פונקציה רציונלית, הזזה אנכית ומשיק (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x+\frac{18}{x}-3$ .
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\frac{4}{x^2}$ .
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+\frac{48}{x^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיקה לציר ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{x}+ax$ , $a>0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר נקודות הקיצון של g (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+a}{x}$ , $a>0$ הוא פרמטר. $g(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x\neq0$ , ונגזרתה…