שאלות פתוחות: נקודות אי-רציפות סליקה - כיתה י"א 5 יח"ל

נקודות אי-רציפות סליקה ("חורים") בגרף של פונקציה רציונלית - שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מצמצמים שברים כמו (x²-4x+3)/(x²-1) ומבחינים בין חור לאסימפטוטה, מוצאים פרמטרים כשנתון שישר מסוים הוא האסימפטוטה האנכית היחידה, מטפלים בשבר מקונן ובמנה של שני שברים, ויש גם שאלה טריגונומטרית. רוב השאלות בינוניות. המורה יכול להוסיף אותן למבחן בחקירת פונקציות רציונליות או לדף עבודה, עם פתרון מלא ואפשרות להדפסה מ-Word.

38 שאלותקלה: 6בינונית: 26קשה: 6

שאלה 1 · נקודות אי-רציפות סליקהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4x+3x2−1f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-1}f(x)=x2−1x2−4x+3​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה, ונמקו.

שאלה 2 · נקודות אי-רציפות סליקהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=11−1xf(x)=\dfrac{1}{1-\frac{1}{x}}f(x)=1−x1​1​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

מצאו את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה, אם יש כאלה. נמקו את תשובתכם לגבי כל אחת מהנקודות שאינן בתחום ההגדרה.

שאלה 3 · נקודות אי-רציפות סליקהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x+2x2+ax+a+3f(x)=\dfrac{x+2}{x^2+ax+a+3}f(x)=x2+ax+a+3x+2​, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם לגרף הפונקציה יש בדיוק אסימפטוטה אנכית אחת. לכל ערך כזה רשמו את משוואת האסימפטוטה.

שאלה 4 · פונקציה טריגונומטרית עם נקודות סליקות: חקירה מודרכתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2(cos⁡x)2+3sin⁡2x2cos⁡xf(x)=\frac{2(\cos x)^2+\sqrt3\sin2x}{2\cos x}f(x)=2cosx2(cosx)2+3​sin2x​, בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

הראו כי בתחום ההגדרה f(x)=cos⁡x+3sin⁡xf(x)=\cos x+\sqrt3\sin xf(x)=cosx+3​sinx, והסבירו מדוע אין לגרף אסימפטוטות המאונכות לציר ה-xxx.

(3)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=3cos⁡x−sin⁡xf'(x)=\sqrt3\cos x-\sin xf′(x)=3​cosx−sinx.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (כולל נקודות הקצה), וקבעו את סוגן.

ג.

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=3f(x)=\sqrt3f(x)=3​ בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π? נמקו.

ד.

הסבירו מדוע f′(x)≤0f'(x)\le0f′(x)≤0 בקטע 5π6≤x≤4π3\frac{5\pi}6\le x\le\frac{4\pi}365π​≤x≤34π​, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx והישרים x=5π6x=\frac{5\pi}6x=65π​ ו-x=4π3x=\frac{4\pi}3x=34π​.

שאלה 5 · נקודות אי-רציפות סליקהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−xx:x−1x+2f(x)=\dfrac{x^2-x}{x}:\dfrac{x-1}{x+2}f(x)=xx2−x​:x+2x−1​ (מנה של שני השברים).

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

האם לגרף הפונקציה יש אסימפטוטות אנכיות? אם כן, מצאו אותן; אם לא, נמקו.

שאלה 6 · נקודות אי-רציפות סליקהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+bx+cx2−5x+6f(x)=\dfrac{x^2+bx+c}{x^2-5x+6}f(x)=x2−5x+6x2+bx+c​, כאשר bbb ו-ccc פרמטרים. ידוע כי הישר x=2x=2x=2 הוא האסימפטוטה האנכית היחידה של גרף הפונקציה, וכי הנקודה (3,5)(3,5)(3,5) היא נקודת אי-רציפות סליקה ("חור") של הגרף.

מצאו את bbb ואת ccc.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית עם נקודת אי-רציפות סליקה: אסימפטוטות, סקיצה ומלבן בעל היקף מינימלישאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4x−12x2+x−2f(x)=\frac{x^2-4x-12}{x^2+x-2}f(x)=x2+x−2x2−4x−12​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), והראו כי בתחום זה f(x)=x−6x−1f(x)=\frac{x-6}{x-1}f(x)=x−1x−6​. הסבירו מדוע x=−2x=-2x=−2 אינו אסימפטוטה אנכית.

ב.

מצאו את האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) ואת נקודות החיתוך של גרפה עם הצירים.

ג.

נתון שלפונקציה אין נקודות קיצון. סרטטו סקיצה של גרף f(x)f(x)f(x).

ד.

נסמן נקודה D על גרף הפונקציה, שעבורה x=tx=tx=t, 1<t<61<t<61<t<6.
מהנקודה D מעבירים שני ישרים, האחד מאונך לציר ה-xxx והאחר מאונך לאסימפטוטה האנכית של הפונקציה, כך שנוצר מלבן על ידי הישרים, על ידי האסימפטוטה האנכית ועל ידי ציר ה-xxx.

(1)

הראו כי היקף המלבן הוא P(t)=2(t−1)+2(6−t)t−1P(t)=2(t-1)+\frac{2(6-t)}{t-1}P(t)=2(t−1)+t−12(6−t)​.

(2)

מצאו את ערכו של ttt שעבורו היקף המלבן מינימלי.

שאלה 8 · נקודות אי-רציפות סליקהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2+axx2−x−2f(x)=\dfrac{x^2+ax}{x^2-x-2}f(x)=x2−x−2x2+ax​, כאשר aaa פרמטר. ידוע כי לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד.

א.

מצאו את כל הערכים האפשריים של aaa.

ב.

עבור כל אחד מערכי aaa שמצאתם, מצאו את שיעורי נקודת אי-הרציפות הסליקה של הגרף.

שאלה 9 · משפחת פונקציות $\frac{2 c o s ^{2} x + k s i n 2 x}{2 c o s x}$ : חורים, קיצון וטווח לפי פרמטרשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=2(cos⁡x)2+ksin⁡2x2cos⁡xf(x)=\frac{2(\cos x)^2+k\sin2x}{2\cos x}f(x)=2cosx2(cosx)2+ksin2x​ בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר.

א.

(1)

הראו שלכל k>0k>0k>0 אין לגרף f(x)f(x)f(x) אסימפטוטות המאונכות לציר ה-xxx, ומצאו באמצעות kkk את שיעורי הנקודות שבהן יש 'חור' בגרף.

(2)

מצאו באמצעות kkk את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (כולל נקודות הקצה), וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם לישר y=2y=2y=2 ולגרף f(x)f(x)f(x) אין נקודות משותפות.

ג.

הציבו k=2k=2k=2.

מצאו את כל ערכי ttt שבעבורם למשוואה f(x)=tf(x)=tf(x)=t יש פתרון יחיד בתחום.

שאלה 10 · פונקציה רציונלית מתוך נגזרתה: מונוטוניות, אינטגרל מודרך ונקודת אי-רציפות סליקהשאלה מלאה · קלה

נתון כי f′(x)=8x(x2−4)3f'(x)=\frac{8x}{(x^2-4)^3}f′(x)=(x2−4)38x​ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x)f(x). הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרות באותו התחום.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f′(x)f'(x)f′(x).

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x), והראו כי ל-f(x)f(x)f(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד. קבעו את סוגה.

ג.

נתון כי לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y=1y=1y=1.

גזרו את הפונקציה 1(x2−4)2\frac{1}{(x^2-4)^2}(x2−4)21​, והיעזרו בתוצאה כדי למצוא את f(x)f(x)f(x) ואת שיעורי נקודת הקיצון שלה.

ד.

נתונה הפונקציה h(x)=(x−2)2(x2−4)2h(x)=\frac{(x-2)^2}{(x^2-4)^2}h(x)=(x2−4)2(x−2)2​.
I
II

מצאו את האסימפטוטות האנכיות של h(x)h(x)h(x) ואת נקודת אי-הרציפות הסליקה שלה, וקבעו איזה מבין הגרפים I ו-II מתאר את h(x)h(x)h(x). נמקו.

עוד 20 שאלות על נקודות אי-רציפות סליקה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

נקודות אי-רציפות סליקה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה משפחת הפונקציות $f(x)=\dfrac{x^2-a^2}{x^2-ax-2a^2}$ , כאשר $a\ne0$ פרמטר.
משפחת פונקציות רציונליות עם נקודה ריקה: מתי קיים מלבן בעל היקף מינימלי (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-(a+3)x+3a}{x^2-4x+3}$ , כאשר $a$ פרמטר, $a>1$ , $a\neq3$ .
פונקציה רציונלית עם נקודה ריקה: אסימפטוטות, משיק והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-2)^3}{x^3-2x^2}$ .
נקודות אי-רציפות סליקה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x+1}$ ו- $g(x)=\dfrac{x+1}{x-3}$ , ומגדירים $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ .
משפחת פונקציות רציונליות עם נקודה ריקה: משיק דרך נקודה קבועה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-a)^2(x+2a)}{x^3-ax^2}$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
צמצום גורם משותף והבחנה בין נקודה ריקה לאסימפטוטה אנכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-4x-12}{x^2+x-2}$ .
שאלות קצרות: פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, כוכב בעל 7 קודקודים (שאלה מלאה · בינונית)
$\int_{-3}^{1}f(x)dx=-\int_{1}^{3}f(x)dx$
נקודות אי-רציפות סליקות במשפחת פונקציות עם פרמטר (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^3+ax^2-4x-4a}{x^2+x-6}$ , כאשר $a$ פרמטר.
הפונקציה $sin x (1 + cos x)$ עם נקודות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin2x\,(1+\cos x)}{2\cos x}$ , בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
שלוש פונקציות רציונליות: איזו מהן עם אסימפטוטה אנכית אחת ואופקית אחת, סקיצה ומלבן בעל היקף מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם שלוש פונקציות, שלכל אחת מהן יש שני ערכי $x$ שבהם היא אינה מוגדרת.…
נקודות אי-רציפות סליקה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+x-6}{x^2-4}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיקום הקיצון ביחס לאסימפטוטה, התאמת גרפים ושטח עם גבול פרמטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+2}{(x-a)^4}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq a$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0.
פונקציה טריגונומטרית $16 cos x + \frac{1}{c o s ^{2} x}$ : חקירה בתחום, זהות הזווית הכפולה ונקודה חסרה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=16\cos x+\frac{1}{\cos^2x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
פונקציה רציונלית מתוך נגזרתה: אינטגרל, אסימפטוטה, נקודת אי-רציפות סליקה והתאמת גרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון כי $f'(x)=\frac{-6x^2}{(x^3-a^3)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות…
נקודות אי-רציפות סליקה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $p(x)=\frac{(x+1)^2}{(x^2-1)^2}$ ו- $q(x)=\frac{x+1}{(x^2-1)^2}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, זהות טריגונומטרית, הסתברות גאומטרית ואסימפטוטות (שאלה מלאה · בינונית)
שאלה זו בנויה מארבעה סעיפים א-ד שאינם תלויים זה בזה.
פונקציה רציונלית: פרמטרים מתוך גרף עם נקודה ריקה, משיק והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט מתואר גרף של פונקציה $f(x)$ שלא מוגדרת רק עבור $x=0$ ו- $x=2$ . האסימפטוטות של הפונקציה הן $x=0$ ו- $y=\frac13$ .
נקודות אי-רציפות סליקה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+ax-12}{x^2-9}$ , כאשר $a$ פרמטר.
אסימפטוטות אנכיות ונקודות אי-רציפות סליקות כשגורם מופיע בחזקה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $p(x)=\frac{(x+1)^2}{(x^2-1)^2}$ ו- $q(x)=\frac{x+1}{(x^2-1)^2}$ .
משפחת פונקציות: נקודת אי-רציפות סליקה ואסימפטוטה אנכית באמצעות פרמטר (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה משפחת הפונקציות $f(x)=\dfrac{x^2-a^2}{x^2-ax-2a^2}$ , כאשר $a\ne0$ פרמטר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: אינטגרל של פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, זוויות בכוכב · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 1
$\int_0^2 f(x)dx=0.5\int_{-2}^{2}f(x)dx$
פונקציה טריגונומטרית עם נקודות אי-רציפות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2(\cos x)^2+\sin2x}{2\cos x}$ , בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
שלוש פונקציות רציונליות: אסימפטוטה מול נקודת אי-רציפות סליקה, סקיצה ומלבן בעל היקף מינימלי · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 8
לפניכם שלוש פונקציות, שלכל אחת מהן יש שני ערכי $x$ שבהם היא אינה מוגדרת.…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיקום הקיצון ביחס לאסימפטוטה, התאמת גרפים ושטח עם גבול פרמטרי · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x-1}{(x-a)^3}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq a$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0.
פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{1}{c o s x}$ : חקירה בתחום, זהות הזווית הכפולה ונקודה חסרה · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=2\cos x+\frac{1}{\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
פונקציה רציונלית מתוך נגזרתה: אינטגרל, אסימפטוטה, נקודת אי-רציפות סליקה והתאמת גרפים · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 6
נתון כי $f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-a^2)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום. בסעיפים א-ג…
שאלות קצרות: אינדוקציה, זהות טריגונומטרית, הסתברות גאומטרית ואסימפטוטות · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
שאלה זו בנויה מארבעה סעיפים א-ד שאינם תלויים זה בזה. בבחינה עונים על שלושה מהם.
פונקציה רציונלית: פרמטרים מתוך גרף עם נקודה ריקה, משיק והזזה · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
בסרטוט מתואר גרף של פונקציה $f(x)$ שלא מוגדרת רק עבור $x=3$ ו- $x=0$ . האסימפטוטות של הפונקציה הן $x=0$ ו- $y=1$ .