שאלות פתוחות: משמעות הנפח, שטח הפנים ושטח המעטפת בהקשר - כיתה י"ב 3 יח"ל

משמעות הנפח, שטח הפנים ושטח המעטפת בהקשר, שאלות לכיתה י"ב 3 יחידות. התלמידים מחליטים מה צריך לחשב בכל מצב: צבע לקירות ולתקרה של חדר שינה, נייר עטיפה לקופסת מתנה, ציפוי פנימי של מיכל מים פתוח, וכמה חול נכנס לארגז בגן משחקים. יש גם קופסה שמקפלים מגיליון קרטון, ארגזי הובלה, וכוסות וגביעים בצורת חרוט. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב מכאן בוחן או דף עבודה בגאומטריה במרחב, עם פתרון מלא לכל שאלה.

26 שאלותקלה: 4בינונית: 20קשה: 2

שאלה 1 · משמעות הנפח, שטח הפנים ושטח המעטפת בהקשרשאלה קצרה · קלה

משפחת כהן צובעת חדר שינה בצורת תיבה. הרצפה של החדר היא מלבן שמידותיו 444 מטר על 3.53.53.5 מטר, וגובה החדר 2.62.62.6 מטר. צובעים את ארבעת הקירות ואת התקרה (בלי הרצפה, ובלי להתחשב בדלת ובחלון).

חשבו את השטח שצובעים.

שאלה 2 · משמעות הנפח, שטח הפנים ושטח המעטפת בהקשרשאלה קצרה · בינונית

נועם אורז מתנות בקופסאות סגורות בצורת תיבה. מידות כל קופסה הן 202020 ס"מ, 151515 ס"מ ו-101010 ס"מ. לעטיפת כל קופסה דרוש נייר בשטח השווה לשטח הפנים של הקופסה, ועוד 20%20\%20% עודף. לנועם יש גליל נייר עטיפה ששטחו 222 מ"ר.

א.

חשבו את שטח הנייר הדרוש לעטיפת קופסה אחת.

ב.

כמה קופסאות לכל היותר יוכל נועם לעטוף בנייר שבגליל? נמקו.

שאלה 3 · שני ארגזים: נפח שונה וכמות קרטוןשאלה קצרה · קשה

חברת הובלות משתמשת בשני סוגים של ארגזי קרטון, A ו-B. כל הארגזים הם תיבות שבסיסן מלבן.
ממדי ארגז A: בסיס של 30 ס"מ על 20 ס"מ, וגובה 8 ס"מ.
ממדי ארגז B: בסיס של 15 ס"מ על 20 ס"מ, וגובה 20 ס"מ.
הנפח של ארגז B גדול ב-25% מהנפח של ארגז A.
כל ארגז סגור מכל צדדיו, והקרטון מכסה את כל הפאות שלו בלי חפיפות.
ארגז A30208
ארגז B201520

לאיזה ארגז דרוש יותר קרטון? נמקו.

שאלה 4 · חרוט: כוסות שתייה מניירשאלה מלאה · קלה

במתקן מים במשרד יש כוסות נייר חד-פעמיות בצורת חרוט.
הרדיוס של בסיס הכוס הוא 6 ס"מ, וגובה הכוס הוא 8 ס"מ.
OSPQ

א.

חשבו את נפח הכוס.

ב.

הראו כי אורך הקו היוצר של הכוס הוא 10 ס"מ.

ג.

הכוס פתוחה מלמעלה, ולכן היא עשויה ממעטפת החרוט בלבד.

חשבו את שטח הנייר הדרוש לכוס אחת.

ד.

כמה כוסות מלאות אפשר למלא מבקבוק שיש בו 10,000 סמ"ק מים?

שאלה 5 · משמעות הנפח, שטח הפנים ושטח המעטפת בהקשרשאלת ביניים · בינונית

חקלאי צריך מיכל מים פתוח (בלי מכסה) בצורת תיבה, שנכנסים בו לפחות 2,0002{,}0002,000 ליטר (222 מ"ק). את החלק הפנימי של המיכל, הרצפה והדפנות, מצפים בחומר אטימה שעולה 606060 שקלים לכל מ"ר. בחנות יש ארבעה מיכלים (המידות במטרים):
מיכלאורךרוחבגובה
1222111111
21.51.51.51.51.51.5111
31.61.61.61.251.251.25111
42.42.42.41.21.21.20.650.650.65
החקלאי בוחר, מבין המיכלים שנכנסים בהם לפחות 2,0002{,}0002,000 ליטר, את המיכל שעלות האטימה שלו היא הנמוכה ביותר.

מיכל	אורך	רוחב	גובה
1	$2$	$1$	$1$
2	$1.5$	$1.5$	$1$
3	$1.6$	$1.25$	$1$
4	$2.4$	$1.2$	$0.65$

א.

אילו מן המיכלים מתאימים לחקלאי מבחינת הנפח? נמקו.

ב.

איזה מיכל יבחר החקלאי, ומה תהיה עלות האטימה?

שאלה 6 · קופסה פתוחה מגיליון קרטון: מידות, נפח ושטח הקרטוןשאלת ביניים · קשה

מגיליון קרטון בצורת מלבן שמידותיו 505050 ס"מ על 363636 ס"מ מכינים קופסה פתוחה (בלי מכסה) בצורת תיבה: גוזרים בכל אחת מארבע הפינות של הגיליון ריבוע שאורך צלעו 888 ס"מ, זורקים את ארבעת הריבועים, ומקפלים כלפי מעלה את ארבעת השוליים שנשארו.

א.

מצאו את האורך, את הרוחב ואת הגובה של הקופסה.

ב.

חשבו את נפח הקופסה ואת שטח הקרטון שממנו היא עשויה. הראו ששטח הקרטון שווה לשטח הגיליון פחות השטח של ארבעת הריבועים שנגזרו.

ג.

במקום ריבועים שצלעם 888 ס"מ, אפשר לגזור מאותו גיליון ריבועים שצלעם 666 ס"מ. האם בקופסה שתתקבל אז ייכנס יותר או פחות מאשר בקופסה הראשונה? האם יידרש לה יותר קרטון או פחות? נמקו בחישוב.

שאלה 7 · תיבה פתוחה: ארגז חולשאלה מלאה · קלה

בגן משחקים יש ארגז חול בצורת תיבה פתוחה מלמעלה (בלי מכסה). אורכי צלעות הבסיס של הארגז הם 3 מטרים ו-2 מטרים, והגובה שלו 0.5 מטר.

א.

מצאו את נפח הארגז.

ב.

הארגז עשוי מלוחות עץ: ארבעה קירות ורצפה. מה השטח הכולל של העץ?

ג.

ממלאים את הארגז בחול עד גובה 0.4 מטר. כמה מ"ק חול צריך?

ד.

בגן יש ארגז חול נוסף, שבסיסו ריבוע וגובהו 0.5 מטר. הנפח שלו 2 מ"ק. מהו אורך צלע הבסיס שלו?

שאלה 8 · חרוט: גביע גלידה - קו יוצר, מעטפת, נפח ושינוי ממדיםשאלה מלאה · בינונית

בגלידרייה מגישים גלידה בגביעי וופל בצורה של חרוט.
קוטר הבסיס של הגביע (BCBCBC) הוא 6 ס"מ, וגובה הגביע (ADADAD) הוא 12 ס"מ (ראו סרטוט).
ABCD

א.

(1)

מצאו את האורך של הקו היוצר של הגביע (ACACAC).

(2)

מהו שטח המעטפת של הגביע?

ב.

ממלאים את הגביע בגלידה עד שפתו, בלי שהגלידה בולטת מעליו.

מהו נפח הגלידה בגביע אחד?

ג.

בעל הגלידרייה הזמין גביעים חדשים בצורה של חרוט. קוטר הבסיס של הגביע החדש קטן ב-20% מן הקוטר של הגביע הישן, וגובה הגביע החדש גדול ב-30% מגובה הגביע הישן.

(1)

חשבו את קוטר הבסיס של הגביע החדש.

(2)

חשבו את הגובה של הגביע החדש.

ד.

יוסי, לקוח קבוע, טוען שבגביע החדש יש יותר גלידה מאשר בגביע הישן. האם יוסי צודק? נמקו.

שאלה 9 · מגדל גלילי: מעטפת, חלונות ושטח קומותשאלה מלאה · קלה

מגדל משרדים בנוי בצורת גליל. רדיוס הבסיס של המגדל 10 מטר, וגובהו 60 מטר. במגדל 15 קומות.
ABCD

א.

חשבו את שטח המעטפת של המגדל.

ב.

החלונות מהווים 75%75\%75% משטח המעטפת. חשבו את שטח החלונות.

ג.

חשבו את שטח הרצפה של קומה אחת.

ד.

מהו שטח הרצפה הכולל של כל הקומות במגדל?

שאלה 10 · חרוט: קונוסים של פופקורןשאלה מלאה · בינונית

בקולנוע מוכרים פופקורן בקונוסים מנייר בצורת חרוט.
יש קונוסים בשני גדלים: קונוס רגיל וקונוס ענק.
הרדיוס של בסיס הקונוס הרגיל הוא 8 ס"מ, וגובהו של הקונוס הרגיל הוא 15 ס"מ (בסרטוט: הקונוס הרגיל מימין, הקונוס הענק משמאל).
OSPQNTKL

א.

חשבו את נפח הפופקורן הדרוש למילוי קונוס רגיל אחד.

ב.

חשבו את אורך הקו היוצר של קונוס רגיל.

ג.

מהו שטח הנייר שנדרש ליצירת קונוס רגיל אחד?

ד.

לקראת הקרנה מיוחדת הזמינו מן הקולנוע 30 קונוסים ענקיים בלבד.
גובהו של קונוס ענק גדול פי 1.5 מגובהו של קונוס רגיל.
הרדיוס של קונוס ענק שווה לרדיוס של קונוס רגיל.

חשבו את נפח הפופקורן הדרוש למילוי כל הקונוסים שבהזמנה זו.

עוד 10 שאלות על משמעות הנפח, שטח הפנים ושטח המעטפת בהקשר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

גופים במרחב: עוגת גבינה בתבנית תיבה, קוביות וקישוטי חרוט (שאלה מלאה · בינונית)
רון אפה עוגת גבינה בתבנית בצורת תיבה (ראו סרטוט). נתון כי האורכים של צלעות הבסיס של התבנית הם 28 ס"מ ו-21 ס"מ, וגובה התבנית הוא 7 ס"מ.
תיבה בהקשר: בריכות גידול בחוות דגים (שאלה מלאה · בינונית)
בחוות דגים יש שתי בריכות גידול: בריכה גדולה ובריכה קטנה. כל בריכה היא בצורת תיבה שבסיסה מלבן (ראו סרטוט). נתון כי אורכי צלעות הבסיס של…
גופים במרחב: מייבש כביסה ותוף בצורת גליל (שאלה מלאה · בינונית)
רונית קנתה מייבש כביסה בצורת תיבה. גובה המייבש הוא 85 ס"מ, והאורכים של צלעות הבסיס הם 60 ס"מ ו-65 ס"מ (ראו סרטוט).
גופים במרחב: ארון של דוד מים ודוד בצורת גליל (שאלה מלאה · בינונית)
בדירה של משפחת מזרחי יש ארון בצורת תיבה, ובתוכו מותקן דוד המים (ראו סרטוט). גובה הארון הוא 130 ס"מ, והאורכים של צלעות הבסיס שלו הם 60 ס"מ…
מתחם מגדלים: חלונות, שטח קומות ושינוי ממדים (שאלה מלאה · בינונית)
במתחם משרדים שלושה מגדלים, שצורתם: - מנסרה משולשת שבסיסה משולש שווה צלעות - צלע המשולש 40 מטר, גובה המגדל 120 מטר. - גליל - קוטר הגליל 36…
קובייה: מקצוע מנפח, שטח פנים ותמונות על נייר (שאלה מלאה · בינונית)
מגמת אומנות בבית ספר מסוים החליטה להכין קוביית עץ כמתנה לכל אחד מתלמידי שכבת י"ב לקראת טקס הסיום. על כל פאה של הקובייה מופיעה תמונה בגודל…
קובייה: מקצוע מנפח, שטח פנים וציורים על נייר (שאלה מלאה · בינונית)
גננת מכינה לילדי הגן קוביות עץ לבנייה. על כל פאה של כל קובייה מודבק ציור בגודל הפאה (ראו סרטוט). נפח כל קובייה 3,375 סמ"ק.
בריכה בצורת תיבה: נפח, שטח הבסיס, שטח הקירות, עלויות וגובה הדלי (שאלה מלאה · בינונית)
בחצר בית בונים בריכה בצורת תיבה. אורך הבריכה הוא 5 מטר, רוחב הבריכה הוא 4 מטר ועומק הבריכה הוא 1.2 מטר.
בריכת נוי בצורת תיבה: נפח, שטח הבסיס, שטח הדפנות, עלויות ומקצוע הדלי (שאלה מלאה · בינונית)
בגינה בונים בריכת נוי בצורת תיבה. אורך הבריכה הוא 3 מטר, רוחב הבריכה הוא 2 מטר ועומק הבריכה הוא 0.9 מטר.
ארגז חול פתוח: שטח העץ ונפח החול (שאלה קצרה · בינונית)
בגן משחקים יש ארגז חול בצורת תיבה פתוחה מלמעלה (בלי מכסה). אורכי צלעות הבסיס של הארגז הם 3 מטרים ו-2 מטרים, והגובה שלו 0.5 מטר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חרוט: קו יוצר, מעטפת, נפח ושינוי ממדים באחוזים · בגרות 372 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
במאפייה משתמשים בתבנית מתכת בצורה של חרוט, כדי להכין חרוטי בצק חלולים. קוטר הבסיס של חרוט המתכת ( $BC$ ) הוא 2.4 ס"מ, וגובה החרוט ( $AD$ ) הוא 9 ס"מ (ראו סרטוט).
חרוט: גביעי גלידה · בגרות 372 חורף 2023, שאלה 4
בגלידרייה משפחתית מייצרים גלידה. הגלידה מוגשת בגביע נייר בצורת חרוט. בגלידרייה יש גביעים בשני גדלים: גביע רגיל וגביע אקסטרים. הרדיוס של בסיס הגביע הרגיל הוא 4…
גופים במרחב: עוגה בתבנית תיבה, קוביות וקישוטי חרוט · בגרות 372 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 5
ליאת אפתה עוגה בתבנית בצורת תיבה (ראו סרטוט). נתון כי האורכים של צלעות הבסיס של התבנית הם 24 ס"מ ו-20 ס"מ, וגובה התבנית הוא 4 ס"מ.
תיבה בהקשר: בריכת מבוגרים ובריכת ילדים · בגרות 372 חורף 2024, שאלה 5
במרכז ספורט יש שתי בריכות: בריכת מבוגרים ובריכת ילדים. כל בריכה היא בצורת תיבה שבסיסה מלבן (ראו סרטוט). נתון כי אורכי צלעות הבסיס של בריכת המבוגרים הם 25 מטרים…
גופים במרחב: מכונת כביסה ותוף בצורת גליל · בגרות 372 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 6
חיים קנה מכונת כביסה בצורת תיבה. גובה מכונת הכביסה הוא 84 ס"מ, והאורכים של צלעות הבסיס הם 62 ס"מ ו-64 ס"מ (ראו סרטוט).
מגדלי עזריאלי: מעטפת, שטח קומות ושינוי ממדים · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 372, שאלה 5
מגדלי עזריאלי הם מתחם של שלושה גורדי שחקים בתל אביב, שצורתם: - תיבה שבסיסה ריבוע - צלע הריבוע 37 מטר. - גליל - קוטר הגליל 44 מטר. - מנסרה משולשת שבסיסה משולש…