מבחן לדוגמה: חשבון דיפרנציאלי של פונקציה מעריכית - כיתה י"ב 4 יח"ל

הראו כי $f'(x)=2e^x\left(3-e^x\right)$.

הראו כי $f(x)-f'(x)=e^{2x}$ לכל $x$, והסיקו שגרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ נמצא כולו מתחת לגרף הפונקציה $f(x)$.

הישר $x=k$ חותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה A ואת גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ בנקודה B. נתון כי אורך הקטע AB הוא 9.

מצאו את $k$ ואת שיעורי הנקודות A ו-B.

הראו כי $f'(x)=\frac{e^{ax}\left(ax^2-2x+a\right)}{(x^2+1)^2}$.

נתון כי $f'(1)=0$. מצאו את $a$.

הציבו $a=1$. מצאו את כל ערכי $x$ שבהם $f'(x)=\frac12f(x)$.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.

נתון כי הישר $y=0$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את שני הערכים האפשריים של $a$.

הציבו $a=2$ בפונקציה $f(x)$.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם כל אחת מהאסימפטוטות האופקיות שלה.

הביעו באמצעות $a$ את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה, ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-$x$.

השטח המוגבל בין גרף הפונקציה $f(x)$ ובין הצירים שווה ל-2. מצאו את $a$.

הציבו את הערך של $a$ שמצאתם. מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה וקבעו מאיזה צד הגרף מתקרב אליה.

לאילו ערכים של $m$ יש למשוואה $f(x)=m$ בדיוק שני פתרונות?

הראו כי $f'(x)=\frac{e^{x-2}(x-2)}{x^3}$.

נתונה הפונקציה $g(x)=f(x)+k$, $k$ הוא פרמטר.

נתון כי ערך המינימום של הפונקציה $f(x)$ הוא $-2e$.

מצאו את $a$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת משוואת האסימפטוטה האנכית שלה.

הראו כי $f'(x)=\frac{2e^{2x}(x-2)}{(x-1)^3}$.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ואת שיעורי נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים, והסבירו לאן שואפת $f(x)$ כאשר $x\to-\infty$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=10$? נמקו.