שאלות פתוחות: המספר e והפונקציה eˣ - כיתה י"ב 4 יח"ל

המספר e והפונקציה eˣ לכיתה י"ב (4 יחידות) - שאלות פתוחות על חקירה, גרפים ונקודות חיתוך. בשאלות חוקרים פונקציות כמו x פחות 4 כפול e בחזקת x, או e בחזקת x פחות 6 כפול e בחזקת מינוס x, מנתחים בשרטוט את הגרף של ערך מוחלט של e בחזקת x פחות 2, ומוצאים נקודות חיתוך בין שתי פונקציות מעריכיות. יש גם שאלות שבהן נתון גרף הנגזרת. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר לבנות מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל סעיף וייצוא לוורד.

53 שאלותקלה: 13בינונית: 37קשה: 3

שאלה 1 · חקירת הפונקציה (x−4)eˣשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−4)exf(x)=(x-4)e^xf(x)=(x−4)ex.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=(x−3)exf'(x)=(x-3)e^xf′(x)=(x−3)ex, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ג.

מצאו את התחום שבו f(x)f(x)f(x) חיובית, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. נתון: כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞, f(x)→0f(x)\to0f(x)→0.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k. מצאו את kkk שעבורו גרף g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx. היעזרו בנקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x).

שאלה 2 · המספר e והפונקציה eˣשאלה קצרה · בינונית

בשרטוט מתואר גרף הפונקציה g(x)=∣ex−2∣g(x)=|e^x-2|g(x)=∣ex−2∣.
y=g(x)

א.

מצאו את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx, ואת משוואת האסימפטוטה האופקית של הגרף.

ב.

מצאו את ערכי kkk שעבורם למשוואה ∣ex−2∣=k|e^x-2|=k∣ex−2∣=k יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 3 · חקירה עם פרמטר: מקום נקודות הקיצון ופרמטר משטחשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(a−2x)⋅e2xf(x)=(a-2x)\cdot e^{2x}f(x)=(a−2x)⋅e2x, המוגדרת לכל xxx. aaa הוא פרמטר, a>2a>2a>2.

א.

מצאו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

הראו כי לכל ערך של aaa, נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) נמצאת על גרף הפונקציה h(x)=e2xh(x)=e^{2x}h(x)=e2x.

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=2e2xg(x)=2e^{2x}g(x)=2e2x. הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם גרף g(x)g(x)g(x). דרך A העבירו אנך לציר ה-xxx.

הביעו באמצעות aaa את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), על ידי האנך, על ידי ציר ה-xxx ועל ידי ציר ה-yyy.

ד.

מצאו את הערך של aaa שעבורו השטח שבסעיף ג שווה ל-2, ומצאו עבורו את שיעורי הנקודה A.

שאלה 4 · פונקציה מעריכית לפי נגזרתה: פונקציה קדומה ושטחשאלה מלאה · קלה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה מוגדרות לכל xxx. נתון: f′(x)=ex−e4−xf'(x)=e^x-e^{4-x}f′(x)=ex−e4−x.

א.

מצאו את שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) חיובית לכל xxx.

סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

הראו כי f(x)=ex+e4−x+cf(x)=e^x+e^{4-x}+cf(x)=ex+e4−x+c, כאשר ccc קבוע.

ד.

נתון: השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), על ידי ציר ה-xxx, על ידי ציר ה-yyy ועל ידי הישר x=2x=2x=2 הוא e4+3e^4+3e4+3.

מצאו את ccc.

ה.

מצאו את ערך ה-yyy של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

שאלה 5 · המספר e והפונקציה eˣשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ex−6e−xf(x)=e^{x}-6e^{-x}f(x)=ex−6e−x.

פתרו את אי-השוויון f(x)>1f(x)>1f(x)>1.

שאלה 6 · מספר הפתרונות של $∣ e^{x} - 2∣ = k$ לפי הגרףשאלה קצרה · קשה

בשרטוט מתואר גרף הפונקציה g(x)=∣ex−2∣g(x)=|e^x-2|g(x)=∣ex−2∣.
y=g(x)

מצאו את ערכי kkk שעבורם למשוואה ∣ex−2∣=k|e^x-2|=k∣ex−2∣=k יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 7 · פונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח מתחת לנגזרתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=e2xx+1f(x)=\frac{e^{2x}}{x+1}f(x)=x+1e2x​, המוגדרת בתחום x≠−1x\neq-1x=−1.
לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

א.

הראו כי f′(x)=e2x(2x+1)(x+1)2f'(x)=\frac{e^{2x}(2x+1)}{(x+1)^2}f′(x)=(x+1)2e2x(2x+1)​.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

ג.

רשמו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים ואת משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-xxx.

ה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ו.

הסבירו מדוע השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx וציר ה-yyy שווה ל-f(0)−f(−0.5)f(0)-f(-0.5)f(0)−f(−0.5), וחשבו אותו.

שאלה 8 · המספר e והפונקציה eˣשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=e2xf(x)=e^{2x}f(x)=e2x ו-g(x)=4−3e−2xg(x)=4-3e^{-2x}g(x)=4−3e−2x.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

שאלה 9 · הפונקציה $e^{x} (e^{x} - 4)^{2}$ : חיתוך עם הצירים ועם $e^{3 x}$ שאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ex⋅(ex−4)2f(x)=e^x\cdot(e^x-4)^2f(x)=ex⋅(ex−4)2, המוגדרת לכל xxx.

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

הראו כי מתקיים: f(x)=e3x−8e2x+16exf(x)=e^{3x}-8e^{2x}+16e^xf(x)=e3x−8e2x+16ex.

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=e3xg(x)=e^{3x}g(x)=e3x, העולה לכל xxx.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

שאלה 10 · חקירת פונקציה מעריכית במנה ותחומי סימןשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=exx−2f(x)=\frac{e^x}{x-2}f(x)=x−2ex​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) ואת משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-xxx.

ב.

הראו כי f′(x)=ex(x−3)(x−2)2f'(x)=\frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}f′(x)=(x−2)2ex(x−3)​.

ג.

(1)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה: g(x)=−f(x)+15g(x)=-f(x)+15g(x)=−f(x)+15 המוגדרת באותו תחום שבו מוגדרת הפונקציה f(x)f(x)f(x).

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה g(x)g(x)g(x). נמקו.

עוד 29 שאלות על המספר e והפונקציה eˣ

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת הפונקציה (x+a)e⁻ˣ והזזה אנכית עד השקה לציר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^{-x}$ . לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=2$ .
חקירת מנה מעריכית עם אסימפטוטה אחת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x-1}$ .
פונקציה מעריכית לפי נגזרתה: קיצון, פונקציה קדומה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה, $f'(x)$ , מוגדרות לכל $x$ . נתון: $f'(x)=2e^{2x}-2e^{2-2x}$ .
פונקציה מעריכית ונגזרתה: זיהוי ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-2)\cdot e^x$ .
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: מקסימום ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq3$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר…
חקירת מנה מעריכית והזזה אנכית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(x-2)}}{x^2}$ .
המספר e והפונקציה eˣ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=e^x+\frac{6}{e^x}-5$ .
פונקציה מעריכית: נגזרת, קיצון ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-2)^2\cdot e^{x}$ . בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II. אחד מהם הוא הגרף של $f(x)$ , והאחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת…
חקירת פונקציה מעריכית וזיהוי גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(2x^2-13x+20)\cdot e^{4-x}$ . גרף I: גרף II: גרף III:
פונקציה מעריכית: חקירה, חיתוך ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-8)\cdot e^{-x+1}$ המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה מעריכית במנה: פרמטר, קיצון, סקיצה ותחומי סימן (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{x-a}}{x-4}$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(6-2x)\cdot e^{x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת מנה של פונקציה מעריכית ופולינום, והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{x}}{x^2-3}$ .
חקירת מכפלת פולינום ב-e בחזקת x וקיצון של ערך מוחלט (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-3)\cdot e^x$ , המוגדרת לכל $x$ .
גרף פונקציה וגרף נגזרת: זיהוי, חקירה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף הפונקציה $f(x)$ , והאחר הוא גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . כל אחד מן הגרפים חותך את…
פונקציית מנה מעריכית: תחום, קיצון וסימן (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{e^{2x}-4e^x}$ .
חקירת מנה מעריכית עם פרמטר והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(ax-2)}}{x^2}$ , $a$ הוא פרמטר.
חיוביות של $c \cdot e^{x - 1}$ ונקודת חיתוך של שני גרפים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(6-2x)\cdot e^{x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ . נתונה הפונקציה $g(x)=4\cdot e^{x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת: קיצון ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II. אחד מן הגרפים הוא הגרף של פונקציה $f(x)$ , והאחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור ה- $x$ שלה חיובי. לפניכם שני…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף (מעריך 3x-2) (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-6x)\cdot e^{3x-2}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא…
חקירת מכפלה של שני גורמים מעריכיים, ושטח מתחת לגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-e^{x})\cdot e^{2x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא…
חקירת מכפלת פולינום ב-e בחזקת מינוס x וגרף הערך המוחלט (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)\cdot e^{-x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=4$ . גרף I:…
חקירת מכפלת טרינום ב- $e^{0.5 x}$ , פרמטר מקיצון וגרף הערך המוחלט (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-x-a)\cdot e^{0.5x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=-4$ .
חקירת פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש רק נקודת מינימום אחת ושתי נקודות מקסימום. לפניכם שני גרפים,…
חקירת פונקציה מעריכית זוגית שכולה מעל ציר ה-x: גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש רק נקודת מינימום אחת ושתי נקודות מקסימום. לפניכם שני גרפים,…
חקירת פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: זיהוי גרף וחיתוך (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=ax\cdot(\ln x-3)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
חקירת פונקציה לוגריתמית עם $x^{2}$ ופרמטר: זיהוי גרף וחיתוך (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=ax^2\cdot(2\ln x-3)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
חיתוך הגרפים של $e^{x} + 1$ ו- $7 - 2 e^{x}$ וסקיצה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונות שתי הפונקציות: $f(x)=e^x+1$ , $g(x)=7-2e^x$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת הפונקציה (x+a)eˣ והזזה אנכית עד השקה לציר · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 3
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^x$ . לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=1$ .
פונקציה מעריכית לפי נגזרתה: קיצון, פונקציה קדומה ושטח · בגרות 472 קיץ 2022 מועד א', שאלה 5
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה, $f'(x)$ , מוגדרות לכל $x$ . נתון: $f'(x)=e^x-e^{2-x}$ .
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 5
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq-2$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה אחת…
חקירת פונקציה מעריכית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 472 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=(2x^2-15x+27)\cdot e^{5-x}$ . גרף I: גרף II: גרף III:
פונקציה מעריכית במנה: פרמטר, קיצון, סקיצה ותחומי סימן · בגרות 472 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{a+x}}{x-3}$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת מנה של פונקציה מעריכית ופולינום, והזזה אנכית · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 3
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2-6}$ .
גרף פונקציה וגרף נגזרת: זיהוי, חקירה ושטח · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף הפונקציה $f(x)$ , והאחר הוא גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . כל אחד מן הגרפים חותך את ציר ה- $x$ בנקודה אחת…
חקירת מנה מעריכית עם פרמטר והזזה אנכית · בגרות 472 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(ax-1)}}{x^2}$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת: קיצון ושטחים · בגרות 472 חורף 2024, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II. אחד מן הגרפים הוא הגרף של פונקציה $f(x)$ , והאחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 4
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור ה- $x$ שלה חיובי. לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף · בגרות 472 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-4x)\cdot e^{2x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא $\frac{16}{e}$ .
חקירת מכפלת פולינום ב-e בחזקת x, פרמטר מקיצון וגרף הערך המוחלט · בגרות 472 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=(3x^2-a)\cdot e^x$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=1$ . גרף I: גרף II: גרף III: גרף…
חקירת פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת ושטח מתחתיו · בגרות 472 חורף 2026, שאלה 4
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש רק נקודת מינימום אחת ושתי נקודות מקסימום. לפניכם שני גרפים, I-II. אחד מן הגרפים…
חקירת פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: זיהוי גרף וטרנספורמציה · בגרות 472 חורף 2026, שאלה 5
נתונה הפונקציה $f(x)=ax\cdot(2-\ln x)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV: