שאלות פתוחות: נגזרת של מכפלה עם פונקציה מעריכית - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות פתוחות על נגזרת של מכפלה עם פונקציה מעריכית, לכיתה י"ב (4 יחידות). כמעט כל השאלות עוסקות בפונקציה מהצורה פולינום כפול e בחזקת x: מוצאים נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה, מוצאים פרמטר כשנתון שיעור ה-x של נקודת הקיצון, ומשרטטים את הגרף בעזרת אסימפטוטה אופקית נתונה. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב מכאן דף עבודה או מבחן בחקירת פונקציות מעריכיות, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

46 שאלותקלה: 11בינונית: 25קשה: 10

שאלה 1 · נגזרת של מכפלה עם פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^xf(x)=(x−1)ex.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

שאלה 2 · נגזרת של מכפלה עם פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x2+ax)exf(x)=(x^2+ax)e^{x}f(x)=(x2+ax)ex, כאשר aaa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=1x=1x=1.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

שאלה 3 · הפונקציה (x+a)eˣ: פרמטר, השקה ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x+a)exf(x)=(x+a)e^xf(x)=(x+a)ex, כאשר aaa פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגה.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k. נתון כי גרף g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx בנקודה שבה x=2x=2x=2. מצאו את aaa ואת kkk.

ג.

הציבו a=−3a=-3a=−3.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m לכל ערך של mmm. נמקו.

שאלה 4 · חקירת הפונקציה (x−4)eˣשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−4)exf(x)=(x-4)e^xf(x)=(x−4)ex.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=(x−3)exf'(x)=(x-3)e^xf′(x)=(x−3)ex, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ג.

מצאו את התחום שבו f(x)f(x)f(x) חיובית, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. נתון: כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞, f(x)→0f(x)\to0f(x)→0.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k. מצאו את kkk שעבורו גרף g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx. היעזרו בנקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x).

שאלה 5 · נגזרת של מכפלה עם פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x2+a)exf(x)=(x^2+a)e^xf(x)=(x2+a)ex, המוגדרת לכל xxx. aaa הוא פרמטר.

א.

מצאו את ערכי aaa שעבורם אין לפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון.

ב.

הציבו a=−3a=-3a=−3, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

שאלה 6 · פונקציה מעריכית עם פרמטר וטרנספורמציה לא ידועהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(a−2x)⋅e2xf(x)=(a-2x)\cdot e^{2x}f(x)=(a−2x)⋅e2x, כאשר aaa פרמטר.

א.

מצאו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

נתון כי שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) הוא 1.51.51.5.

מצאו את aaa, ואת ערך ה-yyy של נקודת הקיצון.

ג.

הציבו a=4a=4a=4. ידוע כי כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞, ערכי f(x)f(x)f(x) שואפים ל-000. נתונה הפונקציה g(x)=−2f(x)+qg(x)=-2f(x)+qg(x)=−2f(x)+q, כאשר qqq פרמטר. לגרף g(x)g(x)g(x) אסימפטוטה אופקית y=3y=3y=3.

מצאו את qqq, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגה.

ד.

לאילו ערכים של mmm למשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m יש בדיוק שני פתרונות? נמקו.

שאלה 7 · חקירת פונקציה מעריכית ושיקוף שלהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=(2−x)⋅exf(x)=(2-x)\cdot e^{x}f(x)=(2−x)⋅ex.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x), ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף שלה עם הצירים.

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=(1−x)⋅exf'(x)=(1-x)\cdot e^xf′(x)=(1−x)⋅ex.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ג.

ידוע כי כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞, ערכי f(x)f(x)f(x) שואפים ל-0.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).
לפניכם הגרפים I-III (לסעיף ד(2)):
גרף I
גרף II
גרף III

(1)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגה.

(2)

אחד מן הגרפים I-III שלפניכם מתאר את גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x). קבעו איזה מהם, ונמקו.

שאלה 8 · נגזרת של מכפלה עם פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x−2)2exf(x)=(x-2)^2e^xf(x)=(x−2)2ex. ידוע כי כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞ גרף הפונקציה מתקרב לאסימפטוטה y=0y=0y=0.

א.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את כל הערכים של kkk שעבורם הישר y=ky=ky=k חותך את גרף הפונקציה בשלוש נקודות שונות.

שאלה 9 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח לא חסוםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(2x2+ax+27)⋅e5−xf(x)=(2x^2+ax+27)\cdot e^{5-x}f(x)=(2x2+ax+27)⋅e5−x, המוגדרת לכל xxx. aaa הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=6x=6x=6.

א.

מצאו את aaa.

ב.

הציבו a=−15a=-15a=−15.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx ואת נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ג.

ידוע כי כאשר xxx שואף לאינסוף, f(x)f(x)f(x) שואפת ל-000.

מצאו את כל ערכי mmm שבעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m יש בדיוק שלושה פתרונות. נמקו.

ד.

יהי t>6t>6t>6. נסמן ב-S(t)S(t)S(t) את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), על ידי ציר ה-xxx, על ידי הישר x=6x=6x=6 ועל ידי הישר x=tx=tx=t. הביעו את S(t)S(t)S(t) באמצעות ttt, וקבעו לאיזה ערך S(t)S(t)S(t) מתקרב כאשר ttt גדל מאוד.

שאלה 10 · חקירת פונקציה מעריכית וגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(2x2−7x+5)⋅e2−xf(x)=(2x^2-7x+5)\cdot e^{2-x}f(x)=(2x2−7x+5)⋅e2−x, המוגדרת לכל xxx.
גרף I
גרף II
גרף III

א.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=(−2x2+11x−12)⋅e2−xf'(x)=(-2x^2+11x-12)\cdot e^{2-x}f′(x)=(−2x2+11x−12)⋅e2−x.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x). היעזרו בכך ש-f(x)→0f(x)\to0f(x)→0 כאשר x→∞x\to\inftyx→∞.

ה.

אחד מן הגרפים I-III שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו.

ו.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) ועל ידי ציר ה-xxx. היעזרו בכך ש-f(x)f(x)f(x) היא פונקציה קדומה של f′(x)f'(x)f′(x).

עוד 27 שאלות על נגזרת של מכפלה עם פונקציה מעריכית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

נגזרת של מכפלה עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · בינונית)
בשרטוט שלפניכם גרף הפונקציה $f(x)=x\cdot e^x$ . ידוע כי כאשר $x\to-\infty$ הפונקציה שואפת ל- $0$ , וכאשר $x\to\infty$ היא שואפת ל- $\infty$ .
פונקציה ונגזרתה עם פרמטר: מי מעל מי ושטחים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-a)\cdot e^x$ , כאשר $a>1$ פרמטר. בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף $f(x)$ , והאחר הוא גרף…
פונקציה מעריכית ונגזרתה: זיהוי ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-2)\cdot e^x$ .
נגזרת של מכפלה עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2+bx+1)e^x$ , כאשר $b$ פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח בין הנגזרת לשיקופה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-a)^2\cdot e^{x-3}$ , ו- $a$ הוא פרמטר. בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II עבור ערך מסוים של $a$ : אחד מהם הוא הגרף של…
פונקציה מעריכית: נגזרת, קיצון ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-2)^2\cdot e^{x}$ . בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II. אחד מהם הוא הגרף של $f(x)$ , והאחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת…
חקירת הפונקציה (x+a)e⁻ˣ והזזה אנכית עד השקה לציר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^{-x}$ . לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=2$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון, סקיצה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)\cdot e^{-2x}$ המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה מעריכית: חקירה, חיתוך ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-8)\cdot e^{-x+1}$ המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה מעריכית וטרנספורמציה שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(5-2x)\cdot e^{2x}$ .
חקירה עם פרמטר: מקום נקודות הקיצון ופרמטר משטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-2x)\cdot e^{2x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר, $a>2$ .
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(6-2x)\cdot e^{x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה מעריכית וזיהוי גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(2x^2-13x+20)\cdot e^{4-x}$ . גרף I: גרף II: גרף III:
פונקציה מעריכית עם פרמטר: הפרמטר מערך המינימום ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)\cdot e^x$ , המוגדרת לכל $x$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
חקירת מכפלת פולינום ב-e בחזקת x וקיצון של ערך מוחלט (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-3)\cdot e^x$ , המוגדרת לכל $x$ .
גרף פונקציה וגרף נגזרת: זיהוי, חקירה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף הפונקציה $f(x)$ , והאחר הוא גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . כל אחד מן הגרפים חותך את…
נגזרת של $(x^{2} + b x + 1) e^{x}$ ופירוק עם פרמטר (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2+bx+1)e^x$ , כאשר $b$ פרמטר.
נגזרת של $(x^{2} - 3) e^{x}$ בכלל המכפלה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-3)\cdot e^x$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת: קיצון ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II. אחד מן הגרפים הוא הגרף של פונקציה $f(x)$ , והאחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
פרמטר משיפוע הגרף של $(a - e^{x}) e^{2 x}$ , חיתוך עם הצירים ועם $3 e^{2 x}$ (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-e^{x})\cdot e^{2x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא…
פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור ה- $x$ שלה חיובי. לפניכם שני…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף (מעריך 3x-2) (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-6x)\cdot e^{3x-2}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא…
חקירת מכפלה של שני גורמים מעריכיים, ושטח מתחת לגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-e^{x})\cdot e^{2x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא…
חקירת מכפלת פולינום ב-e בחזקת מינוס x וגרף הערך המוחלט (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)\cdot e^{-x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=4$ . גרף I:…
חקירת מכפלת טרינום ב- $e^{0.5 x}$ , פרמטר מקיצון וגרף הערך המוחלט (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-x-a)\cdot e^{0.5x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=-4$ .
נגזרת של מכפלה עם $e^{2 - x}$ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(2x^2-7x+5)\cdot e^{2-x}$ , המוגדרת לכל $x$ .
הנגזרת של $(x - 1) e^{2 x}$ : חיתוך עם הצירים והשוואה בין גרף $f$ לגרף $f^{'}$ (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-1)\cdot e^{2x}$ , המוגדרת לכל $x$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת הפונקציה (x+a)eˣ והזזה אנכית עד השקה לציר · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 3
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^x$ . לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=1$ .
חקירת פונקציה מעריכית וטרנספורמציה שלה · בגרות 472 קיץ 2022 מועד א', שאלה 3
נתונה הפונקציה: $f(x)=(7-3x)\cdot e^{3x}$ .
חקירת פונקציה מעריכית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 472 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=(2x^2-15x+27)\cdot e^{5-x}$ . גרף I: גרף II: גרף III:
גרף פונקציה וגרף נגזרת: זיהוי, חקירה ושטח · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף הפונקציה $f(x)$ , והאחר הוא גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . כל אחד מן הגרפים חותך את ציר ה- $x$ בנקודה אחת…
פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת: קיצון ושטחים · בגרות 472 חורף 2024, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II. אחד מן הגרפים הוא הגרף של פונקציה $f(x)$ , והאחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 4
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור ה- $x$ שלה חיובי. לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף · בגרות 472 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-4x)\cdot e^{2x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא $\frac{16}{e}$ .
חקירת מכפלת פולינום ב-e בחזקת x, פרמטר מקיצון וגרף הערך המוחלט · בגרות 472 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=(3x^2-a)\cdot e^x$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=1$ . גרף I: גרף II: גרף III: גרף…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות $k(x)=(x-3)e^x$ ו- $m(x)=4-e^{-x}$ , המוגדרות לכל $x$ .