שאלות פתוחות: נגזרת של מנה עם פונקציה מעריכית - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על נגזרת של מנה עם פונקציה מעריכית לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות חוקרים פונקציות כמו e בחזקת 2x חלקי x ועוד 1, x חלקי e בחזקת x, ו-e בחזקת x חלקי x פחות 1, כולל אסימפטוטה אנכית ואופקית, ומוצאים פרמטר כשהמשיק בנקודה נתונה עובר דרך נקודה מסוימת. בחלק מהשאלות נתונה סקיצה של גרף הנגזרת. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. מורים בוחרים מכאן שאלות למבחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

52 שאלותקלה: 11בינונית: 30קשה: 11

שאלה 1 · נגזרת של מנה עם פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=e2xx+1f(x)=\frac{e^{2x}}{x+1}f(x)=x+1e2x​.
y=f(x)

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

שאלה 2 · נגזרת של מנה עם פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x+kexf(x)=\frac{x+k}{e^{x}}f(x)=exx+k​, כאשר kkk פרמטר.

א.

מצאו באמצעות kkk את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגה.

ב.

נתון כי הערך המקסימלי של הפונקציה הוא e2e^2e2. מצאו את kkk.

שאלה 3 · חקירת $\frac{x ^{2}}{e ^{x /2}}$ : מספר פתרונות ופרמטר מתוך שטחשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2ex2f(x)=\frac{x^2}{e^{\frac x2}}f(x)=e2x​x2​.

א.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף f(x)f(x)f(x).

ג.

לאילו ערכים של mmm למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m יש בדיוק שלושה פתרונות? נמקו.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=k⋅f(x)g(x)=k\cdot f(x)g(x)=k⋅f(x), כאשר k≠0k\neq0k=0 ו-k≠1k\neq1k=1 הוא פרמטר. נסמן ב-SSS את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישר x=4x=4x=4.

השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x) ועל ידי הישר x=4x=4x=4 שווה ל-3S3S3S. מצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

שאלה 4 · חקירת $\frac{x}{e ^{x}}$ , שיקוף ושטח בין הגרפיםשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=xexf(x)=\frac x{e^x}f(x)=exx​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=1−xexf'(x)=\frac{1-x}{e^x}f′(x)=ex1−x​, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת סוגה.

ג.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ד.

ידוע כי f(x)→0f(x)\to0f(x)→0 כאשר x→∞x\to\inftyx→∞, ו-f(x)→−∞f(x)\to-\inftyf(x)→−∞ כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞. סרטטו סקיצה של גרף f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).

סרטטו סקיצה של גרף g(x)g(x)g(x) באותה מערכת צירים, וכתבו את שיעורי נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) ואת סוגה.

ו.

נסמן ב-SSS את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישר x=2x=2x=2.

הביעו באמצעות SSS את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x) ועל ידי הישר x=2x=2x=2. נמקו.

שאלה 5 · נגזרת של מנה עם פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=exx−1f(x)=\frac{e^x}{x-1}f(x)=x−1ex​. בשרטוט שלפניכם גרף הפונקציה והאסימפטוטה האנכית שלה. נתון כי כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞ הפונקציה שואפת ל-000, וכאשר x→∞x\to\inftyx→∞ היא שואפת ל-∞\infty∞.
y=f(x)

א.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) ואת שיעורי נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

ב.

מצאו את ערכי kkk שעבורם למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 6 · גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרות בתחום x≠−bx\neq-bx=−b, כאשר b>0.5b>0.5b>0.5 פרמטר.
לפניכם סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). גרף f′(x)f'(x)f′(x) חותך את ציר ה-xxx בנקודה אחת (a,0)(a,0)(a,0).
(a,0)

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

נתון גם כי: f(x)=e2xx+bf(x)=\frac{e^{2x}}{x+b}f(x)=x+be2x​.

הביעו באמצעות bbb את aaa ואת שיעור ה-yyy של נקודת הקיצון.

ג.

נתון כי שיעור ה-yyy של נקודת הקיצון הוא 2e5\frac{2}{e^5}e52​. מצאו את bbb ואת aaa.

ד.

הציבו b=3b=3b=3.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx וציר ה-yyy.

ה.

עבור b=3b=3b=3, מצאו את כל הערכים של mmm שעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m יש פתרון אחד בדיוק. נמקו.

שאלה 7 · פונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח מתחת לנגזרתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=e2xx+1f(x)=\frac{e^{2x}}{x+1}f(x)=x+1e2x​, המוגדרת בתחום x≠−1x\neq-1x=−1.
לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

א.

הראו כי f′(x)=e2x(2x+1)(x+1)2f'(x)=\frac{e^{2x}(2x+1)}{(x+1)^2}f′(x)=(x+1)2e2x(2x+1)​.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

ג.

רשמו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים ואת משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-xxx.

ה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ו.

הסבירו מדוע השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx וציר ה-yyy שווה ל-f(0)−f(−0.5)f(0)-f(-0.5)f(0)−f(−0.5), וחשבו אותו.

שאלה 8 · נגזרת של מנה עם פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ax+1exf(x)=\frac{ax+1}{e^x}f(x)=exax+1​, כאשר aaa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=0x=0x=0 עובר דרך הנקודה (2,0)(2,0)(2,0).

א.

מצאו את הערך של aaa.

ב.

הציבו a=12a=\frac{1}{2}a=21​. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

שאלה 9 · פונקציה מעריכית במנה עם פרמטר: מספר פתרונות ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=exx−kf(x)=\frac{e^x}{x-k}f(x)=x−kex​, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-xxx (הביעו באמצעות kkk אם צריך).

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x). הביעו באמצעות kkk.

ג.

נתון כי שיעור ה-yyy של נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) הוא e3e^3e3. מצאו את kkk.

ד.

הציבו k=2k=2k=2. נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)+25g(x)=-f(x)+25g(x)=−f(x)+25, המוגדרת באותו תחום שבו מוגדרת f(x)f(x)f(x).

כמה נקודות חיתוך יש לגרף של g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx? נמקו.

שאלה 10 · חקירת פונקציה מעריכית במנה ותחומי סימןשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=exx−2f(x)=\frac{e^x}{x-2}f(x)=x−2ex​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) ואת משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-xxx.

ב.

הראו כי f′(x)=ex(x−3)(x−2)2f'(x)=\frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}f′(x)=(x−2)2ex(x−3)​.

ג.

(1)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה: g(x)=−f(x)+15g(x)=-f(x)+15g(x)=−f(x)+15 המוגדרת באותו תחום שבו מוגדרת הפונקציה f(x)f(x)f(x).

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה g(x)g(x)g(x). נמקו.

עוד 31 שאלות על נגזרת של מנה עם פונקציה מעריכית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

נגזרת של מנה עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · בינונית)
לפונקציה $f(x)=\frac{x^2-a}{e^x}$ , כאשר $a$ פרמטר, יש נקודת קיצון שבה $x=3$ .
מנה מעריכית עם פרמטר: מיקום הקיצונים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2-k}$ , כאשר $k>0$ פרמטר.
חקירת מנה מעריכית עם אסימפטוטה אחת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x-1}$ .
חקירת מנה של $x^{2}$ ב- $e^{2 x}$ , שיקוף ומתיחה ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^{2x}}$ .
פונקציה מעריכית שהיא מנה: מספר חיתוכים לפי פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{3x}}{e^{2x}-4}$ .
פונקציה מעריכית שהיא מנה: קיצון ושיקוף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-5}$ .
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: מקסימום ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq3$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר…
מנה מעריכית: קיצון כתלות בפרמטר ומיון חיתוכים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(ax-1)}}{x^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת מנה מעריכית והזזה אנכית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(x-2)}}{x^2}$ .
פונקציה מעריכית במנה: פרמטר, קיצון, סקיצה ותחומי סימן (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{x-a}}{x-4}$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציית מנה עם $e^{2 x}$ : אסימפטוטה יחידה ומספר אפסים לפי פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2+bx+9}$ , כאשר $b>0$ הוא פרמטר. לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד.
פונקציית מנה עם $e^{2 x}$ בלי פרמטר: חקירה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{(x-1)^2}$ .
חקירת מנה של פונקציה מעריכית ופולינום, והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{x}}{x^2-3}$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח מתחת לנגזרת ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-a}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת פונקציה מעריכית: מהנגזרת לגרף ולשטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8x^2}{e^{x^2}}$ , המוגדרת לכל $x$ . לפניכם שני גרפים, I-II. אחד מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . בסרטוט…
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, ושיקוף והזזה של הגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^x-2}$ .
חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{e^{ax^2}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. לפניכם שני גרפים, I-II. אחד מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .…
פונקציית מנה מעריכית: תחום, קיצון וסימן (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{e^{2x}-4e^x}$ .
חקירת מנה מעריכית עם פרמטר והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(ax-2)}}{x^2}$ , $a$ הוא פרמטר.
נקודת האפס של נגזרת מנה: משוואה ריבועית בחזקה של e (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}+12}{e^x-2}$ .
נגזרת של מנה: מעריכית חלקי פונקציה קווית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x}{x-2}$ .
פונקציית מנה עם $e^{x}$ : פרמטר מאסימפטוטה, חקירה ומספר אפסים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{x}}{x^2-6x+a}$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא $x=3$ .
נגזרת של מנה עם פרמטר במעריך, ומשוואה בין f ל-f' (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{ax}}{x^2+1}$ , כאשר $a$ פרמטר.
פונקציית מנה עם $e^{0.5 x}$ ואסימפטוטות: פרמטר, חקירה ומספר אפסים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{0.5x}}{x^2+ax}$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא $x=3$ .
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, וגרף הנגזרת שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{3x}}{e^x-2}$ .
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, עם משוואה ריבועית ב- $e^{x}$ , וגרף הנגזרת שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}+12}{e^x-2}$ .
חקירת פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש רק נקודת מינימום אחת ושתי נקודות מקסימום. לפניכם שני גרפים,…
חקירת פונקציה מעריכית זוגית שכולה מעל ציר ה-x: גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש רק נקודת מינימום אחת ושתי נקודות מקסימום. לפניכם שני גרפים,…
חקירת פונקציית מנה מעריכית עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{e^{2x}-4e^x-5}$ . $a$ הוא פרמטר שונה מאפס.
נגזרת של מנה כשבמונה ובמכנה פונקציות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-5}$ .
נגזרת של מנה של ביטויים מעריכיים, ערך הנגזרת ומשוואה בנגזרת (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1}$ , המוגדרת לכל $x\ne0$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת מנה של $x^{2}$ ב- $e^{x}$ , שיקוף ומתיחה ושטח בין הגרפים · בגרות 472 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^x}$ .
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 5
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq-2$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה אחת…
פונקציה מעריכית במנה: פרמטר, קיצון, סקיצה ותחומי סימן · בגרות 472 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{a+x}}{x-3}$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת מנה של פונקציה מעריכית ופולינום, והזזה אנכית · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 3
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2-6}$ .
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, ושיקוף והזזה של הגרף · בגרות 472 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-3}$ .
חקירת מנה מעריכית עם פרמטר והזזה אנכית · בגרות 472 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(ax-1)}}{x^2}$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציית מנה עם $e^{2 x}$ : פרמטר מאסימפטוטה, חקירה ומספר אפסים · בגרות 472 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2-4x+a}$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא $x=2$ .
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, וגרף הנגזרת שלה · בגרות 472 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-4}$ .
חקירת פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת ושטח מתחתיו · בגרות 472 חורף 2026, שאלה 4
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש רק נקודת מינימום אחת ושתי נקודות מקסימום. לפניכם שני גרפים, I-II. אחד מן הגרפים…
חקירת פונקציית מנה מעריכית עם פרמטר · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{e^{2x}-10e^x}$ . $a$ הוא פרמטר שונה מאפס.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=-\frac{4}{e^x+1}-\frac{1}{e^x-3}$ .