שאלות פתוחות: משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכית - כיתה י"ב 4 יח"ל

משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכית לכיתה י"ב (4 יחידות), בשאלות פתוחות על משיקים מנקודה נתונה. בשאלות מעבירים משיק לגרף של e בחזקת x או e בחזקת 2x מראשית הצירים או מנקודה על ציר ה-y, מוצאים את נקודת ההשקה, ומחשבים את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים. יש גם שאלה על כמה משיקים אפשר להעביר מנקודה נתונה לגרף. רוב השאלות בינוניות וקשות, ויש גם קלה. מתאים לבוחן ממוקד על משיקים, כשכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא ואפשר לייצא את הדף לוורד.

10 שאלותקלה: 1בינונית: 5קשה: 4

שאלה 1 · משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=xexf(x)=xe^xf(x)=xex.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=0x=0x=0.

שאלה 2 · משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex. דרך ראשית הצירים מעבירים משיק לגרף הפונקציה.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק.

שאלה 3 · משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex. משיק לגרף הפונקציה עובר דרך הנקודה (0,−e2)(0,-e^2)(0,−e2).
y=ex
-4-3-2-1123-8-6-4-2246810

א.

הראו כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=tx=tx=t חותך את ציר ה-yyy בנקודה (0,(1−t)et)\left(0,(1-t)e^t\right)(0,(1−t)et).

ב.

מצאו את נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק העובר דרך (0,−e2)(0,-e^2)(0,−e2). הראו כי יש משיק אחד בלבד כזה.

שאלה 4 · משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=e2xf(x)=e^{2x}f(x)=e2x. דרך ראשית הצירים עובר ישר המשיק לגרף הפונקציה.
y=f(x)
-3-2-1122468

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק.

שאלה 5 · משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ex2f(x)=e^{x^2}f(x)=ex2. מנקודה (0,k)(0,k)(0,k) שעל ציר ה-yyy מעבירים משיקים לגרף הפונקציה.

א.

הראו כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=tx=tx=t חותך את ציר ה-yyy בנקודה (0,et2(1−2t2))\left(0,e^{t^2}(1-2t^2)\right)(0,et2(1−2t2)).

ב.

מצאו את כל הערכים של kkk שעבורם אפשר להעביר מהנקודה (0,k)(0,k)(0,k) בדיוק שני משיקים לגרף הפונקציה.

שאלה 6 · משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=e−xf(x)=e^{-x}f(x)=e−x. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=x0x=x_0x=x0​ (x0>0x_0>0x0​>0) חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת ציר ה-yyy בנקודה BBB. OOO היא ראשית הצירים.
y=f(x)
12341OAB

א.

הביעו באמצעות x0x_0x0​ את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ב.

מצאו את הערך של x0x_0x0​ שעבורו שטח המשולש AOBAOBAOB מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

שאלה 7 · פרמטר ממשיק העובר דרך נקודה נתונהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ax+1exf(x)=\frac{ax+1}{e^x}f(x)=exax+1​, כאשר aaa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=0x=0x=0 עובר דרך הנקודה (2,0)(2,0)(2,0).

מצאו את הערך של aaa.

שאלה 8 · משיק לגרף מנה מעריכית בנקודת החיתוך עם ציר ה-yשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=e2xx+1f(x)=\frac{e^{2x}}{x+1}f(x)=x+1e2x​.
y=f(x)

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy.

שאלה 9 · משיק בשיפוע נתון לגרף פונקציה מעריכית ושטח המשולש שהוא יוצר עם הציריםשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−5exf(x)=e^{2x}-5e^xf(x)=e2x−5ex.

א.

הביעו באמצעות ttt את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=tx=tx=t.

ב.

הראו כי יש לגרף הפונקציה נקודה אחת בלבד שבה שיפוע המשיק הוא 3, ומצאו את משוואת המשיק בנקודה זו.

ג.

המשיק שמצאתם בסעיף ב חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת ציר ה-yyy בנקודה BBB. OOO היא ראשית הצירים. חשבו את שטח המשולש AOBAOBAOB.

שאלה 10 · משיק בנקודת החיתוך עם ציר ה-x, משיק אופקי ונקודת החיתוך שלהםשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x)=(x+2)e^{-x}f(x)=(x+2)e−x.

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה על גרף הפונקציה שבה המשיק מקביל לציר ה-xxx, ואת משוואת המשיק בה.

ג.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של המשיק שמצאתם בסעיף א עם המשיק שמצאתם בסעיף ב.