שאלות פתוחות: תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות בפונקציות מנה - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות בפונקציות מנה עם e, לכיתה י"ב ברמת 4 יחידות. התלמידים מוצאים פרמטר כשנתונה משוואת האסימפטוטה האנכית, למשל x שווה ln 3 או ln 2, מפרקים מכנה ריבועי ב-e בחזקת x כדי למצוא את נקודות אי-ההגדרה, וחוקרים פונקציות כמו e בחזקת x חלקי x פחות k. בחלק מהשאלות נתון גרף עם האסימפטוטה המקווקוות. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. בונים מכאן בוחן על תחום ואסימפטוטות או משלבים שאלה אחת במבחן חקירה, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

58 שאלותקלה: 16בינונית: 33קשה: 9

שאלה 1 · תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות בפונקציות מנהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=e2xe2x−af(x)=\frac{e^{2x}}{e^{2x}-a}f(x)=e2x−ae2x​, כאשר aaa הוא פרמטר. לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה x=ln⁡3x=\ln3x=ln3.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

שאלה 2 · תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות בפונקציות מנהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=exe2x−6ex+af(x)=\frac{e^x}{e^{2x}-6e^x+a}f(x)=e2x−6ex+aex​, כאשר aaa פרמטר. הישר x=ln⁡2x=\ln 2x=ln2 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

א.

מצאו את הערך של aaa.

ב.

הציבו a=8a=8a=8. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת כל האסימפטוטות האנכיות שלה.

שאלה 3 · תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות בפונקציות מנהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=1e2x−(k+1)ex+kf(x)=\frac{1}{e^{2x}-(k+1)e^{x}+k}f(x)=e2x−(k+1)ex+k1​, כאשר kkk פרמטר.

א.

הראו כי לכל ערך של kkk הישר x=0x=0x=0 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

ב.

מצאו את ערכי kkk שעבורם יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית אחת בדיוק.

שאלה 4 · תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות בפונקציות מנהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=exe2x−5ex+6f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}-5e^x+6}f(x)=e2x−5ex+6ex​.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

שאלה 5 · תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות בפונקציות מנהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ex−ax−2f(x)=\frac{e^x-a}{x-2}f(x)=x−2ex−a​, כאשר aaa פרמטר ו-a≠e2a\ne e^2a=e2.

א.

הראו כי הישר x=2x=2x=2 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

ב.

נתון כי כאשר xxx מתקרב ל-222 מימין, f(x)→−∞f(x)\to-\inftyf(x)→−∞. מצאו את כל הערכים האפשריים של aaa.

שאלה 6 · פונקציה מעריכית במנה עם פרמטר: מספר פתרונות ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=exx−kf(x)=\frac{e^x}{x-k}f(x)=x−kex​, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-xxx (הביעו באמצעות kkk אם צריך).

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x). הביעו באמצעות kkk.

ג.

נתון כי שיעור ה-yyy של נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) הוא e3e^3e3. מצאו את kkk.

ד.

הציבו k=2k=2k=2. נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)+25g(x)=-f(x)+25g(x)=−f(x)+25, המוגדרת באותו תחום שבו מוגדרת f(x)f(x)f(x).

כמה נקודות חיתוך יש לגרף של g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx? נמקו.

שאלה 7 · חקירת פונקציה מעריכית ושיקוף שלהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=(2−x)⋅exf(x)=(2-x)\cdot e^{x}f(x)=(2−x)⋅ex.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x), ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף שלה עם הצירים.

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=(1−x)⋅exf'(x)=(1-x)\cdot e^xf′(x)=(1−x)⋅ex.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ג.

ידוע כי כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞, ערכי f(x)f(x)f(x) שואפים ל-0.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).
לפניכם הגרפים I-III (לסעיף ד(2)):
גרף I
גרף II
גרף III

(1)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגה.

(2)

אחד מן הגרפים I-III שלפניכם מתאר את גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x). קבעו איזה מהם, ונמקו.

שאלה 8 · תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות בפונקציות מנהשאלה קצרה · בינונית

לפניכם גרף הפונקציה f(x)=kex−2f(x)=\frac{k}{e^x-2}f(x)=ex−2k​, כאשר k≠0k\ne0k=0 פרמטר. הקו המקווקו הוא האסימפטוטה האנכית של הפונקציה. כפי שרואים בשרטוט, כאשר xxx מתקרב לאסימפטוטה מימין, f(x)→−∞f(x)\to-\inftyf(x)→−∞. נתון כי המרחק של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy מראשית הצירים הוא 444.

א.

מצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית של הפונקציה.

ב.

מצאו את הערך של kkk.

שאלה 9 · מנה מעריכית עם פרמטר: מיקום הקיצונים ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=e2xx2−kf(x)=\frac{e^{2x}}{x^2-k}f(x)=x2−ke2x​, כאשר k>0k>0k>0 פרמטר.

א.

הביעו באמצעות kkk את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לציר ה-xxx.

ב.

הוכיחו כי לכל k>0k>0k>0 יש לפונקציה f(x)f(x)f(x) בדיוק שתי נקודות קיצון, שאחת מהן נמצאת בין שתי האסימפטוטות והאחרת מימין לאסימפטוטה x=kx=\sqrt kx=k​.

ג.

נתון כי לאחת מנקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) שיעור ה-xxx הוא 4. מצאו את kkk, ומצאו את שיעורי שתי נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

ד.

עבור הערך של kkk שמצאתם, קבעו כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m לכל ערך של mmm.

שאלה 10 · חקירת $\frac{x}{e ^{x}}$ , שיקוף ושטח בין הגרפיםשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=xexf(x)=\frac x{e^x}f(x)=exx​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=1−xexf'(x)=\frac{1-x}{e^x}f′(x)=ex1−x​, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת סוגה.

ג.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ד.

ידוע כי f(x)→0f(x)\to0f(x)→0 כאשר x→∞x\to\inftyx→∞, ו-f(x)→−∞f(x)\to-\inftyf(x)→−∞ כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞. סרטטו סקיצה של גרף f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).

סרטטו סקיצה של גרף g(x)g(x)g(x) באותה מערכת צירים, וכתבו את שיעורי נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) ואת סוגה.

ו.

נסמן ב-SSS את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישר x=2x=2x=2.

הביעו באמצעות SSS את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x) ועל ידי הישר x=2x=2x=2. נמקו.

עוד 31 שאלות על תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות בפונקציות מנה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה מעריכית וטרנספורמציה שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(5-2x)\cdot e^{2x}$ .
פונקציה מעריכית שהיא מנה: מספר חיתוכים לפי פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{3x}}{e^{2x}-4}$ .
פונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x+1}$ , המוגדרת בתחום $x\neq-1$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
חקירת מנה של $x^{2}$ ב- $e^{2 x}$ , שיקוף ומתיחה ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^{2x}}$ .
פונקציית מנה עם $e^{2 x}$ : אסימפטוטה יחידה ומספר אפסים לפי פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2+bx+9}$ , כאשר $b>0$ הוא פרמטר. לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד.
חקירת פונקציה מעריכית במנה ותחומי סימן (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x}{x-2}$ .
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: מקסימום ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq3$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר…
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח מתחת לנגזרת ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-a}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת מנה מעריכית עם אסימפטוטה אחת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x-1}$ .
חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: חיתוכים, קיצון ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{9}{e^x}+\frac{e^x}{4}+c$ , $c$ הוא פרמטר.
פונקציית מנה מעריכית עם פרמטר: קיצון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{e^{2x}-ke^x}$ , כאשר $k$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה מעריכית שהיא מנה: קיצון ושיקוף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-5}$ .
פונקציה מעריכית במנה: פרמטר, קיצון, סקיצה ותחומי סימן (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{x-a}}{x-4}$ , $a$ הוא פרמטר.
פרמטר כך שלפונקציית המנה תהיה אסימפטוטה אנכית אחת בלבד (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2+bx+9}$ , כאשר $b>0$ הוא פרמטר. לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד.
תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות בפונקציות מנה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x+1}{e^{2x}-9}$ .
חקירת מנה של פונקציה מעריכית ופולינום, והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{x}}{x^2-3}$ .
פרמטר מאסימפטוטה נתונה, תחום הגדרה, חיתוך עם הצירים והתנהגות ליד האסימפטוטות (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{0.5x}}{x^2+ax}$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא $x=3$ .
חקירת מנה מעריכית והזזה אנכית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(x-2)}}{x^2}$ .
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, ושיקוף והזזה של הגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^x-2}$ .
פונקציית מנה עם $e^{2 x}$ בלי פרמטר: חקירה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{(x-1)^2}$ .
חקירת מנה מעריכית עם פרמטר והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(ax-2)}}{x^2}$ , $a$ הוא פרמטר.
תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות בפונקציות מנה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{3x}}{e^{2x}-16}$ .
פונקציית מנה עם $e^{x}$ : פרמטר מאסימפטוטה, חקירה ומספר אפסים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{x}}{x^2-6x+a}$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא $x=3$ .
פונקציית מנה מעריכית: תחום, קיצון וסימן (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{e^{2x}-4e^x}$ .
פונקציית מנה עם $e^{0.5 x}$ ואסימפטוטות: פרמטר, חקירה ומספר אפסים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{0.5x}}{x^2+ax}$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא $x=3$ .
תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות בפונקציות מנה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3}{e^{2x}-9}$ .
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, וגרף הנגזרת שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{3x}}{e^x-2}$ .
תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית כשהמכנה ריבוע (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{(x-1)^2}$ .
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, עם משוואה ריבועית ב- $e^{x}$ , וגרף הנגזרת שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}+12}{e^x-2}$ .
חקירת פונקציית מנה מעריכית עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{e^{2x}-4e^x-5}$ . $a$ הוא פרמטר שונה מאפס.
תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית, פרמטר מנקודה ונקודות חיתוך עם ישר אופקי (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{e^{2x}-4e^x-5}$ . $a$ הוא פרמטר שונה מאפס.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת פונקציה מעריכית וטרנספורמציה שלה · בגרות 472 קיץ 2022 מועד א', שאלה 3
נתונה הפונקציה: $f(x)=(7-3x)\cdot e^{3x}$ .
חקירת מנה של $x^{2}$ ב- $e^{x}$ , שיקוף ומתיחה ושטח בין הגרפים · בגרות 472 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^x}$ .
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 5
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq-2$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה אחת…
חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: חיתוכים, קיצון ושטחים · בגרות 472 חורף 2022, שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8}{e^x}+\frac{e^x}{2}+c$ , $c$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית במנה: פרמטר, קיצון, סקיצה ותחומי סימן · בגרות 472 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{a+x}}{x-3}$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת מנה של פונקציה מעריכית ופולינום, והזזה אנכית · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 3
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2-6}$ .
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, ושיקוף והזזה של הגרף · בגרות 472 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-3}$ .
חקירת מנה מעריכית עם פרמטר והזזה אנכית · בגרות 472 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(ax-1)}}{x^2}$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציית מנה עם $e^{2 x}$ : פרמטר מאסימפטוטה, חקירה ומספר אפסים · בגרות 472 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2-4x+a}$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא $x=2$ .
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, וגרף הנגזרת שלה · בגרות 472 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-4}$ .
חקירת פונקציית מנה מעריכית עם פרמטר · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{e^{2x}-10e^x}$ . $a$ הוא פרמטר שונה מאפס.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (6)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

גרף של 1/f, ln f ו-e^f מתוך גרף f (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-4e^x+3$ , ונתונה הפונקציה $g(x)=\frac1{f(x)}$ .
פונקציות מעריכיות בשילוב פולינום, שורש ופונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $g(x)=(x+2)e^x$ , המוגדרת לכל $x$ , ו- $h(x)=\frac{e^x-3}{x+1}$ , המוגדרת לכל $x\ne-1$ .
חקירת פונקציות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6}{e^x-2}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=-\frac{4}{e^x+1}-\frac{1}{e^x-3}$ .
חקירת פונקציות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x+\frac{1}{e^x-2}$ .
משוואות מעריכיות (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{2e^x}{e^x-5}$ ו- $g(x)=\frac{1}{f(x)-3}$ .