מבחן לדוגמה: חשבון דיפרנציאלי של פונקציה לוגריתמית - כיתה י"ב 4 יח"ל

תארו כיצד מתקבל גרף הפונקציה $g(x)$ מגרף הפונקציה $f(x)$, ומצאו את $k$.

הישר $y=m$ חותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $C$ ואת גרף הפונקציה $g(x)$ בנקודה $D$. הראו כי לכל ערך של $m$ מכפלת שיעורי ה-$x$ של הנקודות $C$ ו-$D$ שווה ל-$e^4$.

מצאו את הערך של $m$ שעבורו שיעור ה-$x$ של הנקודה $D$ גדול פי $e^2$ משיעור ה-$x$ של הנקודה $C$, ומצאו את אורך הקטע $CD$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים (הביעו באמצעות $a$).

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה (הביעו באמצעות $a$).

ידוע שלמשוואה $f(x)=-16$ יש פתרון יחיד. מצאו את $a$. נמקו.

הציבו את הערך של $a$ שמצאתם בסעיף ג.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים $x=\frac1e$ ו-$x=e$.

פתרו את אי-השוויון.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$, והביעו באמצעות $a$ את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-$x$.

הביעו באמצעות $a$ את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$, וקבעו את סוגן.

הציבו $a=e$. מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה $f(x)=m$ לכל ערך של $m$.

(בלי ההצבה של סעיף ג.) נתון כי למשוואה $f(x)=2$ יש בדיוק שני פתרונות. מצאו את $a$ ואת הפתרונות.

מצאו את שיעורי הנקודות שבהן המשיק לגרף הפונקציה מקביל לציר ה-$x$.

האם הנקודות שמצאתם בסעיף א הן נקודות קיצון של הפונקציה? נמקו.

על פי הגרף, קבעו את סוג נקודת הקיצון של $f(x)$. נמקו.

נתון: $f(x)=\ln\left(6x-x^2-8\right)$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$.

הראו כי $f'(x)=\frac{6-2x}{6x-x^2-8}$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ ואת $c$.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה).

סרטטו סקיצה של גרף $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=f(x)\cdot f'(x)$.

מצאו את התחומים שבהם $g(x)$ חיובית. היעזרו בסקיצה. נמקו.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגה.

הראו שאם גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את גרף הפונקציה $g(x)$ בנקודה מסוימת, אז בנקודה זו $f(x)=5$.

האם גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את גרף הפונקציה $g(x)$? נמקו את תשובתכם.

מצאו את הסוג של נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ על פי הגרף. נמקו את תשובתכם.