שאלות פתוחות: נגזרת של ln x ושל ln(f(x)) - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על נגזרת של ln x ושל ln(f(x)) לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות גוזרים פונקציות כמו ln של 2x בריבוע ועוד 1 או ln x בריבוע פחות קבוע, מוצאים פרמטר לפי שיפוע המשיק בנקודה x שווה e, וחוקרים פולינומים ב-ln x. בחלק מהשאלות מוצגים בשרטוט הגרף של הפונקציה והגרף של הנגזרת, וצריך לזהות מי הוא מי. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר לבחור מהן לבוחן או למבחן, עם פתרון מלא לכל סעיף וייצוא לוורד.

45 שאלותקלה: 12בינונית: 27קשה: 6

שאלה 1 · נגזרת של ln x ושל ln(f(x))שאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(2x2+1)f(x)=\ln(2x^2+1)f(x)=ln(2x2+1).
y=f(x)
-3-2-1123-1123

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=1x=1x=1.

שאלה 2 · נגזרת של ln x ושל ln(f(x))שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+1)−xf(x)=\ln\left(x^2+1\right)-xf(x)=ln(x2+1)−x.

א.

מצאו את שיעורי הנקודות שבהן המשיק לגרף הפונקציה מקביל לציר ה-xxx.

ב.

האם הנקודות שמצאתם בסעיף א הן נקודות קיצון של הפונקציה? נמקו.

שאלה 3 · שטח בין גרף הנגזרת לציר: פרמטר מתוך שטחשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−kf(x)=(\ln x)^2-kf(x)=(lnx)2−k, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. בציור שלפניכם מוצגים הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), הגרפים I, II.
III

א.

איזה גרף מתאים ל-f(x)f(x)f(x) ואיזה גרף מתאים ל-f′(x)f'(x)f′(x)? נמקו.

ב.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx ואת נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x).

ג.

השטח המוגבל בין גרף הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx והישרים האנכיים העוברים דרך נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx שווה ל-8. מצאו את kkk.

שאלה 4 · הפונקציה (ln x)² פחות 1 וגרף הנגזרת שלהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−1f(x)=(\ln x)^2-1f(x)=(lnx)2−1. בציור שלפניכם מוצגים הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), הגרפים I, II.
III

א.

מהו תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x)? מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx.

ב.

הראו כי f′(x)=2ln⁡xxf'(x)=\frac{2\ln x}xf′(x)=x2lnx​, ומצאו את נקודת החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה-xxx.

ג.

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

ד.

איזה מהגרפים I, II הוא גרף הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x)? נמקו בעזרת הסעיפים הקודמים.

ה.

חשבו את השטח המוגבל בין גרף הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), הישר x=e2x=e^2x=e2 וציר ה-xxx.

שאלה 5 · נגזרת של ln x ושל ln(f(x))שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2+aln⁡xf(x)=(\ln x)^{2}+a\ln xf(x)=(lnx)2+alnx, כאשר aaa הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=ex=ex=e הוא 4e\frac{4}{e}e4​.

א.

מצאו את aaa.

ב.

הציבו a=2a=2a=2. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

שאלה 6 · פולינום ב-ln x עם פרמטר: שטח מתחת לנגזרת ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)3−3a(ln⁡x)2f(x)=(\ln x)^3-3a(\ln x)^2f(x)=(lnx)3−3a(lnx)2, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר.

א.

מצאו באמצעות aaa את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת סוגן, ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

ב.

נתון: השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), על ידי הישרים x=1ex=\frac1ex=e1​ ו-x=ex=ex=e ועל ידי ציר ה-xxx הוא 9.

מצאו את aaa.

ג.

עבור הערך של aaa שמצאתם בסעיף ב:

לאילו ערכים של mmm למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m יש בדיוק שלושה פתרונות? נמקו.

ד.

עבור הערך של aaa שמצאתם בסעיף ב, רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו אם השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx והישרים x=1x=1x=1 ו-x=e4x=e^4x=e4 גדול מ-13.5. נמקו.

שאלה 7 · חקירת ביטוי ריבועי ב-ln x ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln xf(x)=(lnx)2−2lnx.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף שלה עם ציר ה-xxx.

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=2ln⁡x−2xf'(x)=\frac{2\ln x-2}{x}f′(x)=x2lnx−2​.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ג.

ידוע כי כאשר x→0+x\to0^+x→0+, ערכי f(x)f(x)f(x) שואפים ל-+∞+\infty+∞.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

(1)

רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

(2)

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), על ידי הישר x=1x=1x=1, על ידי הישר x=e2x=e^2x=e2 ועל ידי ציר ה-xxx. היעזרו בסעיף ד(1).

שאלה 8 · נגזרת של ln x ושל ln(f(x))שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−3x)f(x)=\ln(x^2-3x)f(x)=ln(x2−3x).

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x), והראו כי אין לה נקודות קיצון.

שאלה 9 · גרף הנגזרת ו- $ln (k x - x^{2})$ : מספר חיתוכים לפי $k$ וסימן של $f \cdot f^{'}$ שאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(kx−x2)f(x)=\ln\left(kx-x^2\right)f(x)=ln(kx−x2), כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. בסרטוט שלפניכם גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) (עבור ערך מסוים של kkk); הוא חותך את ציר ה-xxx בנקודה אחת, שבה x=cx=cx=c. נתונה גם הפונקציה g(x)=f(x)⋅f′(x)g(x)=f(x)\cdot f'(x)g(x)=f(x)⋅f′(x).
C

א.

הביעו באמצעות kkk את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), את ccc ואת שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

לאילו ערכים של kkk גרף f(x)f(x)f(x) חותך את ציר ה-xxx בשתי נקודות? בנקודה אחת? אינו פוגש אותו כלל? נמקו.

ג.

הציבו k=6k=6k=6. מצאו את התחומים שבהם g(x)g(x)g(x) חיובית.

ד.

נניח ש-0<k<20<k<20<k<2. הביעו באמצעות kkk את התחום שבו g(x)g(x)g(x) חיובית. נמקו.

שאלה 10 · חקירת $1 + (ln x)^{2}$ ו- $3 - ln x$ : זיהוי גרפים, חיתוך ואי-שוויוןשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות: f(x)=1+(ln⁡x)2f(x)=1+(\ln x)^2f(x)=1+(lnx)2 ו-g(x)=3−ln⁡xg(x)=3-\ln xg(x)=3−lnx.
בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV:
גרף I
גרף II
גרף III
גרף IV

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x).

ב.

הראו כי f′(x)=2ln⁡xxf'(x)=\frac{2\ln x}{x}f′(x)=x2lnx​, ומצאו את נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת סוגה.

ג.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x).

ד.

קבעו איזה מן הגרפים I-IV מתאר את f(x)f(x)f(x) ואיזה את g(x)g(x)g(x). נמקו.

ה.

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x). (היעזרו בהצבה t=ln⁡xt=\ln xt=lnx.)

(2)

בעבור אילו ערכי xxx מתקיים f(x)<g(x)f(x)<g(x)f(x)<g(x)?

עוד 22 שאלות על נגזרת של ln x ושל ln(f(x))

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

נגזרת של ln x ושל ln(f(x)) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=\ln(3x+1)$ ו- $g(x)=\ln(x+3)$ .
פונקציה לוגריתמית: פרמטר ממשיקים והזזה עם נעלם (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=2\ln(x^2-a)$ , $a$ פרמטר חיובי.
גרף הנגזרת ו- $ln (6 x - x^{2} - 8)$ : קיצון על ציר ה- $x$ וסימן של $f \cdot f^{'}$ (שאלה מלאה · קלה)
$f(x)$ היא פונקציה. גרף פונקציית הנגזרת שלה, $f'(x)$ , מתואר בסרטוט שלפניכם. הגרף של $f'(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה אחת בלבד, שבה $x=c$ .
זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מוצגים הגרפים של הפונקציה $f(x)$ ושל פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , הגרפים I, II.
השוואה בין נגזרות של שתי פונקציות ln (שאלה קצרה · קשה)
נתונות הפונקציות $f(x)=\ln(3x+1)$ ו- $g(x)=\ln(x+3)$ . שתי הפונקציות מוגדרות בתחום $x>-\frac13$ .
חקירת פונקציה לוגריתמית: תחום מפוצל וזוגיות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=2\ln(x^2-8)$ .
חקירת פולינום ב-ln x ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(\ln x)^3-6(\ln x)^2$ .
הנגזרת של x+ln: תחום ההגדרה שלה ונקודות החיתוך שלה (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=-x+\ln(x^2-8)$ .
פונקציה לוגריתמית של פרבולה: תחום, אסימפטוטות וקיצון (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $h(x)=4x-x^2$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת $a - (ln x)^{2}$ ו- $1 - ln x$ : זיהוי גרפים, פרמטר מנקודת חיתוך ואי-שוויון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=a-(\ln x)^2$ . $a>0$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציה לוגריתמית: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (גרסת תרגול) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(\ln x-1)(\ln x+1)$ . בסוף השאלה מופיעים שלושה גרפים I-III (לסעיף ה): גרף I: גרף II: גרף III:
גרף הנגזרת ו- $ln (8 x - x^{2} - 7)$ : קיצון, חיתוכים, סקיצה וסימן של $f \cdot f^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
$f(x)$ היא פונקציה. גרף פונקציית הנגזרת שלה, $f'(x)$ , מתואר בסרטוט שלפניכם. הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה אחת…
פונקציה ריבועית ב-ln x: חקירה וערך מוחלט (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(\ln x)^2-6\ln x+5$ .
חקירת פונקציה לוגריתמית עם פרמטר והזזה שמאלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=3\ln(x^2-a)$ , $a$ פרמטר חיובי. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $x=3$ שווה ל-3.6.
פונקציה לוגריתמית: קיצון, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln x+\ln(6-x)$ .
חקירת פונקציה לוגריתמית: ln(2x)/x (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\ln(2x)}{x}$ .
נגזרת של סכום שני ביטויי ln (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln x+\ln(6-x)$ .
פונקציה ריבועית ב-ln x: פרמטר, חיתוכים, קיצון וערך מוחלט (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(\ln x)^2-a\cdot\ln x-3$ , $a$ הוא פרמטר. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה- $x$ היא $(e^3,0)$ .
חקירת פונקציה עם ln במכנה, זיהוי גרף ופונקציה שנגזרתה f(x)-c (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x^2}{(\ln x)^2}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציה לוגריתמית וגרף הנגזרת: תחום, ירידה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln(x-1)+2\ln(7-x)$ .
נגזרת של (ln x)² והאפס שלה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(\ln x)^2-1$ .
נגזרת של x-4ln(x-2) ונקודות שבהן לנגזרת ערך נתון (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x-4\ln(x-2)$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת: (ln x)² · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 5
בציור שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציה $f(x)$ ושל פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , הגרפים I, II.
חקירת פולינום ב-ln x ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 472 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=(\ln x)^3-3(\ln x)^2$ .
חקירת $a + (ln x)^{2}$ ו- $1 + ln x$ : זיהוי גרפים, פרמטר מנקודת חיתוך ואי-שוויון · בגרות 472 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=a+(\ln x)^2$ . $a>0$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
גרף הנגזרת ו- $ln (4 x - x^{2})$ : קיצון, חיתוכים, סקיצה וסימן של $f \cdot f^{'}$ · בגרות 472 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 5
$f(x)$ היא פונקציה. גרף פונקציית הנגזרת שלה, $f'(x)$ , מתואר בסרטוט שלפניכם. הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה אחת בלבד, שבה $x=c$ . $c$ …
חקירת פונקציה לוגריתמית עם פרמטר והזזה אופקית · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=2\ln(x^2-a)$ , $a$ פרמטר חיובי. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $x=5$ שווה ל-1.25.
חקירת פונקציה לוגריתמית: ln(x+1)/(x+1) · בגרות 472 חורף 2022, שאלה 5
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x+1}$ .
פונקציה ריבועית ב-ln x: פרמטר, חיתוכים, קיצון וערך מוחלט · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=(\ln x)^2-a\cdot\ln x+3$ , $a$ הוא פרמטר. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה- $x$ היא $(e^3,0)$ .
חקירת פונקציה עם ln במכנה, זיהוי גרף ופונקציה שנגזרתה f(x)-c · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 5
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x}{(\ln x)^2}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציה לוגריתמית וגרף הנגזרת: תחום, ירידה ושטח · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 5
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln\left(-x^2+7x-6\right)$ .
פונקציה לוגריתמית של פולינום: תחום, אסימפטוטות וקיצון · בגרות 472 קיץ 2023 מועד א', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $h(x)=-2x^3+6x^2$ , המוגדרת לכל $x$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פונקציה לוגריתמית ו-e בחזקתה: קיצון ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\ln(x^2-3)$ .
נגזרת של ln x ושל ln f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=6\ln\left(x^2+8\right)-2x$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציות לוגריתמיות בשילוב פונקציות אחרות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\ln^2x-2\ln x$ , המוגדרת בתחום $x>0$ , ונתונה הפונקציה $h(x)=2+\frac a{g(x)}$ , $a$ הוא…