שאלות פתוחות: משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמית - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמית, לכיתה י"ב ברמת 4 יחידות. בשאלות כותבים משיק לגרף של ln x בנקודה נתונה, מעבירים משיק מראשית הצירים לגרף של ln x חלקי x או של ln x ועוד 2, ומוצאים פרמטר לפי שיפוע המשיק. יש גם פונקציות עם פרמטר, כמו a פחות ln x חלקי x, שבהן המשיק תלוי בפרמטר. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר לבנות מהן בוחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

24 שאלותקלה: 5בינונית: 13קשה: 6

שאלה 1 · משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx.
-1123456-3-2-112

א.

מצאו את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות שבהן x=1x=1x=1 ו-x=ex=ex=e.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של שני המשיקים.

שאלה 2 · משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−3x+ln⁡xf(x)=x^2-3x+\ln xf(x)=x2−3x+lnx.

א.

מצאו את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המקבילים לציר ה-xxx.

ב.

מצאו את המרחק בין שני המשיקים שמצאתם בסעיף א'.

שאלה 3 · משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמיתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡xxf(x)=\frac{\ln x}{x}f(x)=xlnx​. מראשית הצירים מעבירים משיק לגרף הפונקציה.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק.

שאלה 4 · משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(ax−1)f(x)=\ln(ax-1)f(x)=ln(ax−1), כאשר a>1a>1a>1 פרמטר.
שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1x=1 הוא 222.

מצאו את aaa ואת משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1x=1.

שאלה 5 · משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=a−ln⁡xxf(x)=\frac{a-\ln x}{x}f(x)=xa−lnx​, המוגדרת עבור x>0x>0x>0, כאשר aaa הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx.

ב.

המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה-xxx עובר דרך הנקודה (0,1)(0,1)(0,1). מצאו את aaa.

שאלה 6 · משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמיתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡x+2f(x)=\ln x+2f(x)=lnx+2. הישר y=axy=axy=ax, העובר דרך ראשית הצירים, משיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).
y=f(x)y=ax

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה ואת הערך של aaa.

שאלה 7 · חקירת פונקציה לוגריתמית ושיקוףשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=(ln⁡x)2xf(x)=\frac{(\ln x)^2}{x}f(x)=x(lnx)2​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת נקודת החיתוך של גרפה עם ציר ה-xxx.

ב.

הראו כי f′(x)=ln⁡x (2−ln⁡x)x2f'(x)=\frac{\ln x\,(2-\ln x)}{x^2}f′(x)=x2lnx(2−lnx)​.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ד.

נתונה הפונקציה: g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) וסקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) באותה מערכת צירים. היעזרו בכך ש-f(x)→+∞f(x)\to+\inftyf(x)→+∞ כאשר x→0+x\to0^+x→0+, ו-f(x)→0f(x)\to0f(x)→0 כאשר x→∞x\to\inftyx→∞.

ה.

נסמן ב-SSS את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ועל ידי הישר המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודת המקסימום שלה.

(1)

מצאו את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודת המקסימום שלה.

(2)

הסבירו מדוע השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) ועל ידי הישר y=−4e2y=-\frac4{e^2}y=−e24​ שווה ל-SSS.

שאלה 8 · משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx.
2468-22

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך ראשית הצירים, ואת שיעורי נקודת ההשקה.

שאלה 9 · הגרפים של $a + (ln x)^{2}$ ו- $1 + ln x$ : מתי הם נחתכים ומתי נושקיםשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=a+(ln⁡x)2f(x)=a+(\ln x)^2f(x)=a+(lnx)2 ו-g(x)=1+ln⁡xg(x)=1+\ln xg(x)=1+lnx, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

ב.

האם קיים ערך של aaa שעבורו הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x) נחתכים בנקודה שבה x=e2x=e^2x=e2? נמקו.

ג.

מצאו את הערך של aaa שעבורו לגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x) יש נקודה משותפת אחת בלבד, ומצאו את שיעוריה.

ד.

הציבו a=14a=\frac14a=41​. בעבור אילו ערכי xxx מתקיים f(x)<g(x)f(x)<g(x)f(x)<g(x)?

שאלה 10 · פונקציה לוגריתמית מנגזרתה: נקודה נתונה, אסימפטוטה וחיתוךשאלה מלאה · קלה

הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=2x−1f'(x)=\frac{2}{x-1}f′(x)=x−12​ בתחום x>1x>1x>1. הישר y=2x−1y=2x-1y=2x−1 משיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=2x=2x=2.

א.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה, והראו ששיפוע הגרף בנקודה זו שווה לשיפוע הישר.

ב.

הראו כי f(x)=2ln⁡(x−1)+3f(x)=2\ln(x-1)+3f(x)=2ln(x−1)+3.

ג.

רשמו את משוואת האסימפטוטה של f(x)f(x)f(x) המאונכת לציר ה-xxx, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ד.

חשבו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx (בתשובה דייקו עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).

רשמו את האסימפטוטה של g(x)g(x)g(x) המאונכת לציר ה-xxx ואת תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x).

עוד 10 שאלות על משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה לוגריתמית עם פרמטר והזזה שמאלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=3\ln(x^2-a)$ , $a$ פרמטר חיובי. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $x=3$ שווה ל-3.6.
פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: מספר פתרונות ושיקוף עם הזזה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(\ln x)^2}{ax}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ידוע כי כאשר $x$ שואף לאינסוף, $f(x)$ שואפת ל-0. נסמן ב- $S$ את השטח המוגבל…
משוואות משיקים לגרף ln x בשתי נקודות (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln x$ .
חקירת פונקציה לוגריתמית ושיקוף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(\ln x)^2}{2x^2}$ .
פרמטר ממשיק בנקודת החיתוך עם ציר ה-x (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-\ln x}{x}$ , המוגדרת עבור $x>0$ , כאשר $a$ הוא פרמטר. גרף הפונקציה חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(e^{a},0)$ .
משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln x\cdot(2-\ln x)$ .
משיקים בשיפוע נתון לגרף ln של פולינום, והמשולש שהם יוצרים עם ציר ה-x (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln\left(x^2-2x+2\right)$ .
פונקציה לוגריתמית מנגזרתה ומישר משיק: חקירה וטרנספורמציה (שאלה מלאה · בינונית)
הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ היא $f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}$ בתחום $x>2$ . הישר $y=\frac34x-1$ משיק לגרף הפונקציה $f(x)$ .
נקודת ההשקה של ישר נתון לגרף, כשהנגזרת נתונה (שאלה קצרה · בינונית)
הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ היא $f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}$ בתחום $x>2$ . הישר $y=\frac34x-1$ משיק לגרף הפונקציה $f(x)$ .
משיקים אופקיים לגרף, המרחק ביניהם ומשולש עם משיק נוסף (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-3x+\ln x$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת פונקציה לוגריתמית עם פרמטר והזזה אופקית · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=2\ln(x^2-a)$ , $a$ פרמטר חיובי. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $x=5$ שווה ל-1.25.
חקירת פונקציה לוגריתמית, שיקוף ושטח שנשמר · בגרות 472 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(\ln x)^2}{4x}$ .
פונקציה לוגריתמית מנגזרתה ומישר משיק: חקירה וטרנספורמציה · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 5
הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ היא $f'(x)=\frac{6}{2x-1}$ בתחום $x>\frac12$ . הישר $y=6x-3$ משיק לגרף הפונקציה $f(x)$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

משיק לפונקציה לוגריתמית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^n\cdot(2-\ln x)$ המוגדרת בתחום $x>0$ . $n$ הוא פרמטר טבעי. נתון כי שיפוע המשיק לגרף…