שאלות פתוחות: משוואות רציונליות - כיתה ט'

בדף הזה 45 שאלות פתוחות במתמטיקה על משוואות רציונליות, לתלמידי כיתה ט', מתוך הנושא "טכניקה אלגברית". השאלות בכמה רמות (רמה א', רמה ב', מצוינות), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

45 שאלותרמה א': 20רמה ב': 10מצוינות: 15

שאלה 1 · פרופורציה שמובילה למשוואה ריבועית, ומשוואה בלי פתרוןשאלה קצרה · רמה א'

פתרו כל משוואה. רשמו את תחום ההצבה ובדקו את הפתרונות.

א.

x+5x−1=2x+3x+3\frac{x+5}{x-1}=\frac{2x+3}{x+3}x−1x+5​=x+32x+3​

ב.

2x+8x+4=x+6\frac{2x+8}{x+4}=x+6x+42x+8​=x+6
אחרי שתפתרו, הסבירו את התוצאה גם בעזרת צמצום של אגף שמאל.

שאלה 2 · שני שברים שסכומם אפס, ושבר שאפשר לצמצםשאלה קצרה · רמה ב'

בכל משוואה רשמו קודם את תחום ההצבה, ואחר כך פתרו אותה. בדקו כל פתרון מול תחום ההצבה.

א.

x−1x−3+4x+2=0\frac{x-1}{x-3}+\frac{4}{x+2}=0x−3x−1​+x+24​=0

ב.

2x2−32x+4=10\frac{2x^2-32}{x+4}=10x+42x2−32​=10

שאלה 3 · קצב עבודה מתוכנן וסיום מוקדםשאלה קצרה · מצוינות

בית דפוס צריך להדפיס 1,2001{,}2001,200 חוברות. לפי התוכנית הוא היה מדפיס בכל יום אותו מספר חוברות. בפועל הוא הדפיס בכל יום 202020 חוברות יותר מהמתוכנן, ולכן סיים 222 ימים לפני המועד שתוכנן. נסמן ב-ppp את מספר החוברות שתוכנן להדפיס ביום.

א.

הביעו באמצעות ppp את מספר הימים שתוכננו ואת מספר הימים בפועל. כתבו משוואה לפי ההפרש ביניהם ופתרו אותה. כמה חוברות תוכנן להדפיס ביום, ובכמה ימים תוכננה העבודה?

ב.

אילו בית הדפוס היה מדפיס בכל יום 505050 חוברות יותר מהמתוכנן, כמה ימים לפני המועד שתוכנן היה מסיים?

שאלה 4 · אותו אגף שמאל, שלוש משוואות ושתי סיבות לחוסר פתרוןשאלה מלאה · רמה א'

נתון הביטוי L=xx−3−3x+3L=\frac{x}{x-3}-\frac{3}{x+3}L=x−3x​−x+33​.

א.

רשמו את תחום ההצבה של LLL, והראו שאם כופלים את LLL ב-x2−9x^2-9x2−9 מקבלים x2+9x^2+9x2+9.

ב.

פתרו את המשוואה L=34x2−9L=\frac{34}{x^2-9}L=x2−934​.

ג.

פתרו את המשוואה L=18x2−9L=\frac{18}{x^2-9}L=x2−918​. הסבירו את התוצאה.

ד.

פתרו את המשוואה L=1L=1L=1, והשוו את מה שקרה בפתרון שלה למה שקרה בסעיף ג.

שאלה 5 · פירוק המכנה, מכנה משותף ופתרון שנפסלשאלת ביניים · רמה ב'

נתונה המשוואה:
x+1x−5−30x2−5x=2\frac{x+1}{x-5}-\frac{30}{x^2-5x}=2x−5x+1​−x2−5x30​=2

א.

פרקו את המכנה x2−5xx^2-5xx2−5x לגורמים, ורשמו את תחום ההצבה של המשוואה.

ב.

כפלו את שני האגפים במכנה המשותף x(x−5)x(x-5)x(x−5), והראו שמתקבלת המשוואה x2−11x+30=0x^2-11x+30=0x2−11x+30=0.

ג.

פתרו את המשוואה x2−11x+30=0x^2-11x+30=0x2−11x+30=0, ובדקו כל פתרון מול תחום ההצבה. מהו הפתרון של המשוואה הנתונה? בדקו בהצבה.

שאלה 6 · שתי דרכים לאגם באותו זמן: כמה פתרונות יש?שאלת ביניים · מצוינות

מהכפר לאגם אפשר לרכוב על אופניים בשתי דרכים.
הדרך הראשונה מישורית, ואורכה 202020 ק"מ.
הדרך השנייה עוברת דרך גבעה: 666 ק"מ בעלייה, ואחריהם 161616 ק"מ בירידה.
יואב רוכב במישור במהירות קבועה של vvv קמ"ש. בעלייה המהירות שלו קטנה ב-444 קמ"ש מהמהירות במישור, ובירידה היא גדולה ב-666 קמ"ש מהמהירות במישור.
ידוע שזמן הרכיבה מהכפר לאגם שווה בשתי הדרכים.

א.

הביעו באמצעות vvv את זמן הרכיבה בכל אחת מהדרכים, וכתבו משוואה. איזה תנאי צריך vvv לקיים?

ב.

פתרו את המשוואה. כמה פתרונות יש לשאלה? נמקו.

ג.

נתון נוסף: הרכיבה מהכפר לאגם נמשכה פחות משעה וחצי. מהי המהירות של יואב במישור, וכמה דקות נמשכה הרכיבה?

שאלה 7 · אחוז ההצלחה בזריקות עונשיןשאלה מלאה · רמה א'

מאיה משחקת כדורסל. העונה היא זרקה 202020 זריקות עונשין וקלעה 121212 מהן.
אחוז ההצלחה הוא החלק של הקליעות מתוך כל הזריקות, כתוב באחוזים.

א.

מהו אחוז ההצלחה של מאיה עד עכשיו?

ב.

מאיה רוצה להעלות את אחוז ההצלחה שלה ל-75%75\%75%. היא תזרוק עוד nnn זריקות ותקלע בכולן. הביעו באמצעות nnn את החלק של הקליעות מתוך כל הזריקות, כתבו משוואה ומצאו את nnn.

ג.

האם מאיה יכולה להגיע ל-100%100\%100% הצלחה, אם תמשיך לקלוע בכל זריקה? הסבירו בעזרת משוואה.

ד.

אחרי שמאיה הגיעה ל-75%75\%75% הצלחה כמו בסעיף ב, היא זרקה עוד kkk זריקות והחטיאה את כולן. עכשיו אחוז ההצלחה שלה הוא 60%60\%60%. מצאו את kkk.

שאלה 8 · צמצום שבר ושימוש בו בפתרון משוואותשאלת ביניים · רמה ב'

נתון השבר A=x2−9x2+3xA=\frac{x^2-9}{x^2+3x}A=x2+3xx2−9​.

א.

לאילו ערכי xxx השבר AAA אינו מוגדר? פרקו את המונה ואת המכנה, וצמצמו את השבר.

ב.

היעזרו בצמצום מסעיף א, ופתרו את המשוואה A=12A=\frac12A=21​.

ג.

פתרו את המשוואה A=x−34A=\frac{x-3}{4}A=4x−3​. הסבירו מדוע אסור לחלק כאן את שני האגפים ב-x−3x-3x−3.

שאלה 9 · שבר השווה להופכי שלושאלה קצרה · מצוינות

בכל אחת מהמשוואות שלפניכם, אגף ימין הוא השבר ההופכי לשבר שבאגף שמאל.
בכל סעיף רשמו את תחום ההצבה ופתרו את המשוואה. הסבירו מדוע בכל פתרון ערכו של השבר שבאגף שמאל הוא 111 או −1-1−1.

א.

x+1x+3=x+3x+1\frac{x+1}{x+3}=\frac{x+3}{x+1}x+3x+1​=x+1x+3​

ב.

2x−1x+4=x+42x−1\frac{2x-1}{x+4}=\frac{x+4}{2x-1}x+42x−1​=2x−1x+4​

שאלה 10 · מכנים שצריך לפרק ולהפוך סימןשאלה קצרה · רמה א'

פתרו את המשוואה שלפניכם, רשמו תחום הצבה, הציגו את דרך הפתרון:

3x−1x2−25−x10−2x=1x+5\frac{3x-1}{x^2-25}-\frac{x}{10-2x}=\frac{1}{x+5}x2−253x−1​−10−2xx​=x+51​

עוד 23 שאלות על משוואות רציונליות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שבר שמוסיפים מספר למונה ולמכנה שלו (שאלת ביניים · רמה ב')
המכנה של שבר גדול ב- $2$ מהמונה שלו. מוסיפים $3$ למונה ו- $3$ למכנה, ומתקבל שבר השווה ל- $\frac45$ . נסמן ב- $x$ את המונה של השבר המקורי.
משוואה שכל מספר בתחום פותר אותה, ומשוואה בלי פתרון (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף רשמו את תחום ההצבה, ומצאו את כל הפתרונות של המשוואה. הסבירו את התוצאה.
שלושה שברים ומכנה עם ריבוע (שאלה קצרה · רמה א')
פתרו את המשוואה:
ביטוי אחד, כמה משוואות (שאלה מלאה · רמה ב')
נתון הביטוי $A=\frac{x+5}{x-1}$ .
שני שברים הופכיים (שאלה מלאה · מצוינות)
נתונים שני ביטויים: $A=\frac{x+1}{x-1}\qquad\qquad B=\frac{x-1}{x+1}$
הפרש ריבועים וריבוע של דו-איבר במכנים (שאלה קצרה · רמה א')
פתרו את המשוואה (הציגו דרך הפתרון):
מחלקים את מחיר האוטובוס (שאלה מלאה · רמה ב')
כיתה ט' יצאה לטיול. שכירת האוטובוס עלתה $1{,}500$ ש"ח, והסכום התחלק שווה בשווה בין התלמידים שנסעו. לטיול נרשמו $n$ תלמידים. ביום הטיול $5$ …
מהירות ממוצעת בנסיעה הלוך וחזור (שאלה מלאה · מצוינות)
נהג נוסע מעיר $A$ לעיר $B$ וחוזר באותה דרך. המרחק בין הערים הוא $d$ ק"מ. בדרך הלוך הוא נוסע במהירות קבועה של $60$ קמ"ש, ובדרך חזור במהירות…
בלי לפתור: למה אין פתרון (שאלה קצרה · רמה א')
כיצד ניתן לדעת, מבלי לפתור, כי אין פתרון למשוואה $\frac{2x+3}{4x+6} = 2$ ?
משוואות רציונליות שמובילות למשוואה ממעלה ראשונה (חלק 1) (שאלה מלאה · רמה ב')
פתרו את המשוואות, שימו לב לתחום ההצבה.
משוואה עם שורש ומשוואה רציונלית עם ריבוע במכנה (שאלה קצרה · מצוינות)
פתרו את המשוואות הבאות, רשמו תחום הצבה.
איזו משוואה איננה שלב בפתרון (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה המשוואה: $\frac{5x}{2x-x^2}-\frac{1}{x^2-4}=\frac{x+3}{x+2}$ $\qquad x\ne0,\ 2,\ -2$
מגוון משוואות בפירוק לגורמים (חלק 1) (שאלה מלאה · רמה ב')
פתרו את המשוואות הבאות. שימו לב, הפתרון בעזרת פירוק לגורמים.
משוואה בשני משתנים: מוצאים את ההפרש בין המשתנים (שאלה קצרה · מצוינות)
חשבו את הערכים של $x-y$ על פי המשוואה הבאה:
משוואות רציונליות שמובילות למשוואה ממעלה ראשונה (חלק 2) (שאלה מלאה · רמה א')
פתרו את המשוואות, שימו לב לתחום ההצבה.
הסכום של ההופכיים וההופכי של הסכום (שאלה קצרה · מצוינות)
להלן אמירה: "נתונים שני מספרים חיוביים; הסכום של הופכיהם שווה להופכי של סכומם".
מגוון משוואות בפירוק לגורמים (חלק 2) (שאלה מלאה · רמה א')
פתרו את המשוואות הבאות. שימו לב, הפתרון בעזרת פירוק לגורמים.
שלוש משוואות לבחירה: שורש, מעלה רביעית ושברים (שאלה מלאה · מצוינות)
פתרו 2 משוואות מתוך המשוואות:
שלוש משוואות: פירוק המכנים ובדיקה בהצבה (שאלה מלאה · רמה א')
פתרו את המשוואות, כתבו תחומי הצבה ובדקו את הפתרון באמצעות הצבה: הנחייה: פרקו את המכנים לגורמים והיעזרו בפירוק זה.
פתרון משוואות בשיקולים, בלי חישוב (שאלה מלאה · מצוינות)
פתרו את המשוואות הבאות ללא חישובים אלגבריים. אם יש למשוואה פתרון - מצאו אותו. אם אין פתרון - הסבירו מדוע.
ארבע משוואות: עם מכנים ובלי מכנים (שאלה מלאה · רמה א')
פתרו את המשוואות הבאות, והקפידו לכתוב את תחומי ההצבה:
משוואות רציונליות עם כפל וחילוק של שברים (חלק 1) (שאלה מלאה · מצוינות)
פתרו את המשוואות.
משוואות רציונליות עם כפל וחילוק של שברים (חלק 2) (שאלה מלאה · מצוינות)
פתרו את המשוואות.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (12)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פישוט סכום שברים ושימוש בתוצאה (שאלת ביניים · רמה א')
נתון הביטוי $A=\frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^2-4}$ .
פישוט ביטוי עם הפרש שברים ופתרון משוואה שבה שורש נפסל (שאלת ביניים · מצוינות)
נתון הביטוי $E=\left(\frac{x+3}{x-3}-\frac{x-3}{x+3}\right)\cdot\frac{x^2-9}{6}$ .
משוואה עם מכנים מנוגדים ופתרון שנפסל (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המשוואה $\frac{6}{x^2-9}+\frac{1}{3-x}=\frac{x}{x+3}$ .
תחום הגדרה, צמצום ופתרון משוואה עם שבר (שאלת ביניים · רמה א')
נתון הביטוי $E=\frac{x^2-4x}{x^2-16}$ .
משוואות עם נעלם במכנה שמובילות למשוואה ממעלה ראשונה (שאלה קצרה · רמה ב')
פתרו את המשוואות הבאות. רשמו בכל משוואה את הערכים שאסור ל- $x$ לקבל.
משוואה עם שני מכנים שמובילה למשוואה ריבועית (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המשוואה $\frac{x}{x-1}+\frac{4}{x+2}=2$ .
בעיית תנועה שמובילה למשוואה עם נעלם במכנה (שאלת ביניים · רמה א')
רוכב אופניים עובר מסלול של $60$ ק"מ במהירות קבועה. אילו היה רוכב במהירות הגדולה ב- $5$ קמ"ש, היה עובר את המסלול…
חילוק שברים ופתרון משוואות עם התוצאה (שאלת ביניים · רמה א')
נתון הביטוי $E=\frac{x^2-5x+6}{x^2-4x+4}:\frac{x^2-9}{2x-4}$
משוואות עם נעלם במכנה: כפל בהצלבה וכפל במכנה (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל אחת מהמשוואות קבעו תחילה אילו ערכים של $x$ אינם בתחום ההצבה, ואחר כך פתרו את המשוואה.
משוואה עם מכנים שצריך לפרק ופתרון שנפסל (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המשוואה $\frac{3}{x^2-2x}-\frac{1}{x-2}=\frac{x}{x^2-4}$
שני ברזים ממלאים בריכה (שאלת ביניים · רמה א')
שני ברזים, א ו-ב, ממלאים בריכה. ברז א לבדו ממלא את הבריכה בזמן הקצר ב- $5$ שעות מהזמן שברז ב לבדו ממלא אותה.…
סירה בנהר: הלוך עם הזרם וחזרה נגדו (שאלת ביניים · מצוינות)
סירה שטה בנהר מהנמל $A$ אל הנמל $B$ עם כיוון הזרם, ומיד חוזרת מ- $B$ אל $A$ נגד הזרם. המרחק בין הנמלים הוא $24$ …