שאלות פתוחות: אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על אי-שוויונות בבעיות גדילה ודעיכה - מתי הכמות תעבור ערך נתון - לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות בודקים אחרי כמה שנים ערך רכב יירד מתחת לסכום מסוים, מתי חיסכון בריבית דריבית יעבור יעד, ומתי כמות שגדלה ב-50% תעקוף כמות שגדלה ב-20%. יש גם שאלות הפוכות, שבהן ידוע מתי הכמות עוברת ערך וצריך למצוא את הפרמטרים. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. מורים יכולים לבחור מכאן שאלות לבוחן או למבחן, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

46 שאלותקלה: 14בינונית: 18קשה: 14

שאלה 1 · אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתוןשאלה קצרה · קלה

ערכו של רכב יורד בכל שנה באחוז קבוע. לאחר שנתיים ערך הרכב היה 64%64\%64% מערכו ההתחלתי.

א.

בכמה אחוזים יורד ערך הרכב בכל שנה?

ב.

אחרי כמה שנים שלמות יהיה ערך הרכב לראשונה פחות מ-30%30\%30% מערכו ההתחלתי?

שאלה 2 · אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתוןשאלה קצרה · בינונית

כמות מתוארת על ידי הפונקציה f(t)=a⋅qtf(t)=a\cdot q^tf(t)=a⋅qt, כאשר a>0a>0a>0, q>1q>1q>1 ו-t≥0t\ge0t≥0 הוא הזמן בשעות. כעבור 444 שעות הכמות היא 200200200 יחידות, וכעבור 101010 שעות היא 800800800 יחידות.

א.

מצאו פי כמה גדלה הכמות בכל 666 שעות, ופי כמה היא גדלה בכל שעה.

ב.

מצאו באילו זמנים הכמות גדולה מ-3,2003{,}2003,200 יחידות.

שאלה 3 · גדילה ודעיכה: שלושה יישובים שנפגשים ברגע אחדשאלה מלאה · קשה

לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף לפי ימים בשלושה יישובים.
ביישוב א' מספר הנדבקים הוא X(t)=200⋅(1.1)tX(t)=200\cdot(1.1)^tX(t)=200⋅(1.1)t, וביישוב ב' הוא Y(t)=25⋅(1.32)tY(t)=25\cdot(1.32)^tY(t)=25⋅(1.32)t.
ביישוב ג' מספר הנדבקים בבדיקה הראשונית (t=0t=0t=0) היה גדול פי 40 ממספר הנדבקים ביישוב ב', ומאז הוא קטן באופן מעריכי.
(ציר אופקי: מספר הימים; ציר אנכי: מספר הנדבקים.)
IIIIII
IIIIII

א.

התאימו לכל אחד מן היישובים א', ב' ו-ג' את הגרף שלו מבין הגרפים I-III. נמקו.

ב.

לאחר כמה ימים מספר הנדבקים ביישובים א' וב' שווה?

ג.

נתון כי ברגע שבו מספר הנדבקים ביישובים א' וב' השתווה, גם ביישוב ג' היה אותו מספר נדבקים. בכמה אחוזים קטן מספר הנדבקים ביישוב ג' בכל יום?

ד.

הוחלט לסגור את בתי הספר בכל יישוב שבו מספר הנדבקים יהיה NNN או יותר בזמן כלשהו במהלך 10 הימים הראשונים (0≤t≤100\le t\le100≤t≤10). מצאו את כל הערכים של NNN שעבורם בתי הספר ייסגרו ביישוב אחד בלבד. נמקו.

שאלה 4 · אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתוןשאלה קצרה · קלה

ערכו של רכב יורד בכל שנה ב-20%20\%20% מערכו בשנה הקודמת. כעבור 333 שנים מיום קנייתו היה ערך הרכב 51,20051{,}20051,200 שקלים.

א.

מצאו את מחיר הרכב ביום קנייתו.

ב.

כעבור כמה שנים שלמות מיום הקנייה יהיה ערך הרכב לראשונה פחות מ-30,00030{,}00030,000 שקלים?

שאלה 5 · אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתוןשאלה קצרה · בינונית

כמות מתוארת על ידי הפונקציה f(t)=a⋅1.2tf(t)=a\cdot1.2^{t}f(t)=a⋅1.2t, כאשר ttt הוא הזמן בשנים ו-a>0a>0a>0. הכמות גדולה מ-1,0001{,}0001,000 בדיוק כאשר t>5t>5t>5.

א.

מצאו את aaa.

ב.

כעבור כמה שנים שלמות לפחות תהיה הכמות גדולה מ-5,0005{,}0005,000?

שאלה 6 · גדילה ודעיכה: מתי התחיל החיסוןשאלה מלאה · קשה

ביישוב מסוים התגלה נגיף, וביום הגילוי היו ביישוב 80 חולים. מספר החולים עלה בקצב מעריכי קבוע, וכעבור 4 חודשים היו ביישוב 125 חולים. ביום מסוים, כשהנגיף עדיין התפשט, חוסנה כל האוכלוסייה. מאותו יום ירד מספר החולים בקצב מעריכי קבוע, כך שבכל חודשיים קטן מספר החולים פי 2. 10 חודשים אחרי גילוי הנגיף היו ביישוב 100 חולים.

א.

פי כמה עלה מספר החולים בכל חודש לפני החיסון, ובכמה אחוזים ירד בכל חודש אחרי החיסון?

ב.

כמה חודשים אחרי גילוי הנגיף חוסנה האוכלוסייה?

ג.

מה היה המספר הגדול ביותר של חולים ביישוב?

ד.

במשך כמה חודשים היה מספר החולים ביישוב גדול מ-150?

שאלה 7 · אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתוןשאלה קצרה · קלה

סכום של 200020002000 שקלים הופקד בתכנית חיסכון שבה הסכום גדל ב-6%6\%6% בכל שנה (ריבית דריבית).

אחרי כמה שנים שלמות לפחות יעלה הסכום בתכנית על 300030003000 שקלים? היעזרו בערכים log⁡1.5≈0.1761\log1.5\approx0.1761log1.5≈0.1761 ו-log⁡1.06≈0.0253\log1.06\approx0.0253log1.06≈0.0253.

שאלה 8 · אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתוןשאלה קצרה · בינונית

כמות AAA גדלה בכל שנה ב-20%20\%20%, וכמות BBB גדלה בכל שנה ב-50%50\%50%.

א.

הראו כי היחס BA\frac{B}{A}AB​ גדל בכל שנה באחוז קבוע, ומצאו אחוז זה.

ב.

בתחילת המעקב הייתה כמות BBB חצי מכמות AAA. מצאו אחרי כמה שנים שלמות תהיה כמות BBB לראשונה גדולה מכמות AAA.

שאלה 9 · גדילה מעריכית: מציאת אחוז הריבית מתוך החובשאלה מלאה · קשה

בתחילת שנת 2024 הפקידה דנה 8,000 ₪ בתוכנית חיסכון שבה הסכום גדל ב-3% בכל שנה. באותו יום לווה עומר 2,000 ₪, והחוב שלו גדל בכל שנה באחוז קבוע (עומר לא מחזיר דבר). נסמן ב-ttt את מספר השנים מתחילת 2024.

א.

נתון כי כעבור 10 שנים החוב של עומר היה 5,187.485{,}187.485,187.48 ₪ (בעיגול לאגורות). מצאו את אחוז הגדילה השנתי של החוב.

ב.

כתבו את הפונקציה f(t)f(t)f(t) המתארת את הסכום בחיסכון של דנה, ואת הפונקציה g(t)g(t)g(t) המתארת את החוב של עומר.

ג.

מצב החיסכון והחוב נבדק בתחילת כל שנה. בתחילתה של איזו שנה יהיה החוב של עומר, לראשונה, גדול מהחיסכון של דנה?

ד.

נניח שאחוז הגדילה השנתי של החוב של עומר היה p%p\%p% (במקום האחוז שמצאתם בסעיף א), וכל שאר הנתונים לא השתנו. לאילו ערכים של ppp יהיה החוב של עומר גדול מהחיסכון של דנה כבר בתחילת שנת 2034?

שאלה 10 · גדילה ודעיכה: משתמשים בשלוש אפליקציותשאלה מלאה · קלה

לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר המשתמשים בשלוש אפליקציות לפי ימים.
מספר המשתמשים באפליקציה א' הוא A(t)=300⋅(1.1)tA(t)=300\cdot(1.1)^tA(t)=300⋅(1.1)t, ובאפליקציה ב' הוא B(t)=60⋅(1.3)tB(t)=60\cdot(1.3)^tB(t)=60⋅(1.3)t.
באפליקציה ג' מספר המשתמשים קטן באופן מעריכי: בהתחלה היו בה 2,500 משתמשים, ולאחר 4 ימים - 1,024 משתמשים.
(ציר אופקי: מספר הימים; ציר אנכי: מספר המשתמשים.)
IIIIII
IIIIII

א.

התאימו לכל אחת מן האפליקציות א', ב' ו-ג' את הגרף שלה מבין הגרפים I-III. נמקו.

ב.

כמה משתמשים היו באפליקציה ב' לאחר 5 ימים?

ג.

הראו כי בזמן שבו מספר המשתמשים באפליקציות א' וב' שווה מתקיים (1311)t=5\left(\frac{13}{11}\right)^t=5(1113​)t=5, ומצאו באיזה יום זה קרה.

ד.

בכמה אחוזים קטן מספר המשתמשים באפליקציה ג' בכל יום?

ה.

האם באפליקציה א' או באפליקציה ב' יהיו 600 משתמשים או יותר במהלך 8 הימים הראשונים? נמקו.

עוד 28 שאלות על אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
קרינה עוברת דרך סדרה של לוחות עופרת זהים. כל לוח בולם $40\%$ מעוצמת הקרינה הפוגעת בו.
גדילה ודעיכה: שלושה יישובים, יחס בין תהליכים ודעיכה משתי מדידות (שאלה מלאה · קשה)
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף לפי ימים בשלושה יישובים: א, ב ו-ג. מספר הנדבקים ביישוב א הוא…
גדילה מעריכית: מתי החוב יעבור את הפיקדון (שאלה מלאה · קלה)
יוסי הפקיד בבנק 5,000 ₪, והסכום בפיקדון גדל ב-2% בכל שנה. באותו יום לווה רון מהבנק 2,000 ₪, והחוב שלו גדל ב-10% בכל שנה (רון לא מחזיר דבר).…
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
בחשבון A היו $12{,}000$ שקלים, והסכום בו קטן בכל שנה ב- $3\%$ . בחשבון B היו $8{,}000$ שקלים, והסכום בו משתנה בכל שנה באחוז קבוע. כעבור $10$ …
גדילה ודעיכה: שתי קרנות והיחס ביניהן (שאלה מלאה · קשה)
בתחילת שנת 2010 הופקדו 200,000 שקלים בקרן א' ו-125,000 שקלים בקרן ב'. הערך של קרן א' גדל בכל שנה ב-4%, והערך של קרן ב' גדל בכל שנה באחוז…
גדילה ודעיכה: שתי דירות שערכן השתווה (שאלה מלאה · קלה)
בתחילת שנת 2014 היה הערך של דירה א' 840,000 שקלים והערך של דירה ב' היה 580,000 שקלים. הערך של דירה א' גדל בכל שנה ב-6%, והערך של דירה ב' גדל…
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
כמות של חומר קטנה בכל שנה ב- $p\%$ (אחוז קבוע). יש שתי דרישות: דרישה I: כעבור $5$ שנים יישאר יותר מ- $70\%$ מהכמות ההתחלתית. דרישה II: כעבור…
דעיכה ואחריה גדילה: מתי הכוורת חוזרת לכמות ההתחלתית (שאלה מלאה · קשה)
מתחילת שנת 2018, כמות הדבש בכוורת דבורים מסוימת קטנה בכל חודש באחוז קבוע. כמות הדבש לאחר 5 חודשים הייתה 70% מכמות הדבש לאחר חודש אחד. בתחילת…
גדילה: אצות בשתי בריכות (שאלה מלאה · קלה)
בבריכה A יש 2,000 אצות, ומספר האצות בה גדל ב-5% בכל יום. בבריכה B יש 1,200 אצות, ומספר האצות בה גדל ב-10% בכל יום.
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
בתרבית חיידקים נמדדו בשעה $9:00$ $2{,}000$ חיידקים, ובשעה $12:00$ $6{,}750$ חיידקים. מספר החיידקים גדל בכל שעה פי מספר קבוע.
דעיכה מעריכית: בניית שני תהליכים מנתונים והשוואה ביניהם (שאלה מלאה · קשה)
חוקר עוקב אחרי שני קרחונים A ו-B שמפשירים. בתחילת המדידות שקל קרחון A 8 אלפי טונות, ובכל שנה הוא איבד 3% ממשקלו בשנה שלפניה. בתחילת המדידות…
גדילה: משתמשים בשתי אפליקציות (שאלה מלאה · קלה)
בתחילת שנת 2024 היו לאפליקציה A 2 מיליון משתמשים, ולאפליקציה B 0.5 מיליון משתמשים. מספר המשתמשים באפליקציה A גדל ב-10% בכל שנה, ומספר…
גדילה ודעיכה: עצים נגועים בשלושה מטעים (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר העצים הנגועים במזיק לפי ימים בשלושה מטעים. הפונקציה המתארת את מספר העצים הנגועים בכל…
גדילה ודעיכה: משתמשים בשתי אפליקציות (שאלה מלאה · קשה)
שתי אפליקציות, A ו-B, הושקו באותו יום. מספר המשתמשים באפליקציה A גדל באחוז קבוע בכל שבוע. מספר המשתמשים באפליקציה B גדל בכל שבוע באחוז הגדול…
השעה העגולה הראשונה שבה מספר החיידקים עובר 100,000 (שאלה קצרה · קלה)
בתרבית חיידקים נמדדו בשעה $9:00$ $2{,}000$ חיידקים. מספר החיידקים גדל בכל שעה ב- $50\%$ ( $q=1.5$ ). נמדוד את $t$ בשעות מ- $9:00$ .
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
במעבדה גדלות שלוש תרביות. מספר החיידקים (באלפים) לאחר $t$ שעות הוא: בתרבית א' $A(t)=50\cdot(1.25)^t$ , בתרבית ב' $B(t)=3000\cdot(0.85)^t$ …
דעיכה בשני קצבים קשורים וניפוח בחזרה לנפח המקורי (שאלה מלאה · קשה)
ביום הקנייה נפח כדור ים היה 2,500 סמ"ק ונפח סירה מתנפחת היה 10,000 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, הנפח של כל אחד מהם קטן באחוז קבוע בכל יום. האחוז…
גדילה מעריכית: מספר התושבים בשתי ערים (שאלה מלאה · בינונית)
בתחילת שנת 2024 גרו בעיר א' 120,000 תושבים. מספר התושבים בעיר א' גדל ב-2% בכל שנה. בסרטוט שלפניכם (ציר אופקי: הזמן בשנים; ציר אנכי: מספר…
גדילה ודעיכה: צבי ים - ירידה, שיקום והשוואה (שאלה מלאה · קשה)
בתחילת שנת 2005 היו באזור חוף A 84,000 צבי ים, ומספרם קטן ב-6% בכל שנה. באותה עת היו באזור חוף B 76,700 צבי ים, ומספרם קטן בכל שנה באחוז…
גדילה ודעיכה: ערכי שני מגרשים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מגרשים - מגרש א' ומגרש ב'. בתחילת שנת 2015 היה הערך של מגרש א' 310,000 שקלים והערך של מגרש ב' היה 450,000 שקלים. הערך של מגרש א'…
מחיר דירה בשני שלבים: מתי היה גבוה ב-20% ממחיר הקנייה (שאלה מלאה · קשה)
דנה קנתה דירה. במשך 8 השנים הראשונות מחיר הדירה עלה באחוז קבוע בכל שנה, ובסך הכול עלה ב-30%. מאז מחיר הדירה יורד באחוז קבוע בכל שנה, ובדיוק…
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
בתחילת שנת 2025 היו באגם 2,400 דגים. על פי הצפי, מספר הדגים באגם יקטן בכל שנה ב-6%.
עיר מתכווצת ועיר גדלה: מתי האיחוד משתלם (שאלה מלאה · קשה)
ב-1/1/2010 חיו בעיר א' 60,000 תושבים ובעיר ב' 24,000 תושבים. אוכלוסיית עיר א' קטנה באחוז קבוע בכל שנה, ובשש השנים שעד 1/1/2016 היא קטנה…
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
שטח האצות באגם גדל בכל שבוע ב-6%.
מתי העיר המאוחדת קטנה משתי הערים יחד בהתחלה (שאלה קצרה · קשה)
ב-1/1/2010 חיו בעיר א' 60,000 תושבים ובעיר ב' 24,000 תושבים. אוכלוסיית עיר א' קטנה באחוז קבוע בכל שנה, ובשש השנים שעד 1/1/2016 היא קטנה…
החודש השלם הראשון שבו נשאר פחות מחצי מהדבש (שאלה קצרה · בינונית)
מתחילת שנת 2018, כמות הדבש בכוורת דבורים מסוימת קטנה בכל חודש באחוז קבוע. כמות הדבש לאחר 5 חודשים הייתה 70% מכמות הדבש לאחר חודש אחד. בתחילת…
שתי קרנות: מתי ב' גדולה ב-50% מא', ומתי א' עוקפת אותה (שאלת ביניים · קשה)
בתחילת שנת 2010 הופקדו 200,000 שקלים בקרן א' ו-125,000 שקלים בקרן ב'. הערך של קרן א' גדל בכל שנה ב-4%, והערך של קרן ב' גדל בכל שנה באחוז…
ערך דירה שעלה ואחר כך ירד: מתי ירד מתחת לערכו ההתחלתי (שאלת ביניים · בינונית)
בתחילת שנת 2014 היה הערך של דירה א' 840,000 שקלים והערך של דירה ב' היה 580,000 שקלים. הערך של דירה א' גדל בכל שנה ב-6%, והערך של דירה ב' גדל…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

גדילה ודעיכה: נדבקים בשלושה יישובים · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 3
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף הקורונה לפי ימים בשלושה יישובים. הפונקציה המתארת את מספר הנדבקים בכל יום ביישוב א' היא…
גדילה מעריכית: פיקדון והלוואה בבנק · בגרות 472 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3
בבנק מסחרי יש שני סוגים של חוב: חוב של הבנק ללקוח (כאשר הלקוח מפקיד כסף בבנק) וחוב של הלקוח לבנק (כאשר הבנק מלווה כסף ללקוח). בבנק מסחרי מסוים, כאשר הבנק חייב…
גדילה ודעיכה: ערכי שתי דירות · בגרות 472 קיץ 2024 מועד א', שאלה 3
נתונות שתי דירות - דירה א' ודירה ב'. בתחילת שנת 2014 היה הערך של דירה א' 980,000 שקלים והערך של דירה ב' היה 620,000 שקלים. הערך של דירה א' גדל בכל שנה ב-7%,…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

גדילה מעריכית: חיסון האוכלוסייה (שאלה מלאה · קלה)
על מנת לעצור התפשטות מחלה הנגרמת על ידי וירוס מסוים, מבצעת מדינה מסוימת תהליך של חיסון האוכלוסייה. נכון לתאריך…
גדילה מעריכית: הרשמה לאפליקציה עירונית (שאלה מלאה · קלה)
עירייה השיקה אפליקציה חדשה לתשלום ארנונה ולקבלת שירותים. נכון לתאריך 1.1.2023 נרשמו לאפליקציה $35{,}000$ …
דעיכה מעריכית: מקדם משתי נקודות וכמות התחלתית הפוכה (שאלה מלאה · קלה)
במטע מרססים את הקרקע בחומר הדברה. כמות חומר ההדברה א' בקרקע קטנה בכל יום באותו אחוז. בגרף שלפניכם מתוארת כמות…
גדילה מעריכית מול גודל קבוע: התפחת בצק (שאלה מלאה · קלה)
להכנת עוגות משתמשים בשני סוגים של בצקים: בצק שמרים ובצק פריך. בצק השמרים עובר תהליך התפחה והנפח שלו גדל בצורה…
גדילה מעריכית מול גודל קבוע: חיידקים בשתי צלחות (שאלה מלאה · קלה)
במעבדה מגדלים חיידקים בשתי צלחות. בצלחת א' מוסיפים חומר מעכב, ומספר החיידקים בה אינו משתנה ונשאר קבוע. בצלחת…