דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: הפונקציה f(t)=f(0)·qᵗ: מציאת כמות אחרי זמן נתון - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על הפונקציה f(t)=f(0)·qᵗ ומציאת כמות אחרי זמן נתון, לכיתה י"ב (4 יחידות). בשאלות מחשבים כמה תרופה נשארת בדם אחרי שתי זריקות, כמה מנויים יהיו לשני שירותי סטרימינג, מה מחיר דירה שעלה שנים אחדות ואחר כך ירד, ומה גודל אוכלוסייה שגדלה וקטנה באותו אחוז. יש גם גלגל ים ומזרן שמאבדים אוויר. רוב השאלות קלות ובינוניות, ויש גם קשות. המורה בוחר שאלות לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

85 שאלותקלה: 38בינונית: 45קשה: 2

שאלה 1 · הפונקציה f(t)=f(0)·qᵗ: מציאת כמות אחרי זמן נתוןשאלה קצרה · קלה

כמות של חומר קטנה בכל שנה באותו אחוז. במשך השנתיים הראשונות קטנה הכמות ב-19%19\%.

א.

מצאו בכמה אחוזים קטנה הכמות בכל שנה.

ב.

איזה אחוז מהכמות ההתחלתית יישאר כעבור 55 שנים?

שאלה 2 · הפונקציה f(t)=f(0)·qᵗ: מציאת כמות אחרי זמן נתוןשאלה קצרה · בינונית

חולה קיבל זריקה של 400400 מ"ג תרופה. כמות התרופה בדם קטנה בכל שעה ב-25%25\%. שעתיים אחרי הזריקה הראשונה קיבל החולה זריקה נוספת של 400400 מ"ג.

א.

כמה מ"ג תרופה היו בדמו של החולה מיד אחרי הזריקה השנייה?

ב.

כמה מ"ג תרופה יהיו בדמו שעתיים אחרי הזריקה השנייה?

שאלה 3 · גדילה: מתי שירות הסטרימינג יעקוףשאלה מלאה · קשה

בתחילת שנת 2025 היו לשירות סטרימינג A 40 מיליון מנויים, ולשירות סטרימינג B היו 15 מיליון מנויים. מספר המנויים של A עולה ב-8% בכל שנה. מספר המנויים של B עולה באחוז קבוע בכל שנה, ובכל 3 שנים הוא גדל ב-72.8%.

III
א.

מצאו בכמה אחוזים עולה מספר המנויים של B בכל שנה.

ב.

בסרטוט שני גרפים I-II המתארים את מספר המנויים של A ושל B מתחילת שנת 2025 והלאה.

איזה מן הגרפים מתאר את B? הסבירו מדוע אחרי נקודת החיתוך של הגרפים מספר המנויים של B יישאר גדול ממספר המנויים של A לתמיד.

ג.

מצאו כעבור כמה זמן מתחילת שנת 2025 יהיה מספר המנויים של A שווה למספר המנויים של B. באיזו שנה זה יקרה?

ד.

הנהלת B רוצה שמספר המנויים שלה ישתווה למספר המנויים של A כבר בתחילת שנת 2031. בהנחה שהנתונים על A ומספר המנויים של B בתחילת 2025 לא משתנים, בכמה אחוזים צריך לעלות מספר המנויים של B בכל שנה?

שאלה 4 · הפונקציה f(t)=f(0)·qᵗ: מציאת כמות אחרי זמן נתוןשאלה קצרה · קלה

בתחילת שנה מסוימת הפקיד דני בבנק 10,00010{,}000 ש"ח, והבנק משלם לו ריבית של 1.5%1.5\% בשנה מגובה החוב שלו לדני. באותו יום לוותה יעל מאותו בנק 1,0001{,}000 ש"ח, והבנק גובה ממנה ריבית של 15%15\% בשנה מגובה החוב שלה. איש מהם אינו מושך כסף או מחזיר כסף. tt הוא הזמן בשנים.

א.

רשמו פונקציה המתארת את חוב הבנק לדני לפי tt, ופונקציה המתארת את החוב של יעל לבנק לפי tt.

ב.

כעבור 2020 שנה, איזה חוב גדול יותר - חוב הבנק לדני או החוב של יעל לבנק - ובכמה שקלים בקירוב?

שאלה 5 · הפונקציה f(t)=f(0)·qᵗ: מציאת כמות אחרי זמן נתוןשאלה קצרה · בינונית

אמיר קנה באותו יום גלגל ים ומזרן ים. ביום הקנייה נפח הגלגל היה 4,9004{,}900 סמ"ק ונפח המזרן היה 9,8009{,}800 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, נפח הגלגל קטן בכל יום ב-4%4\%, ונפח המזרן קטן בכל יום באחוז קבוע אחר. כעבור 77 ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל שווה לנפח המזרן. בגרף מתוארים נפח הגלגל (AA) ונפח המזרן (BB) כפונקציה של הזמן.

א.

בכמה אחוזים קטן נפח המזרן בכל יום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

ב.

מה יהיה נפח המזרן כעבור 1414 ימים מיום הקנייה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

שאלה 6 · מחיר דירה: עלייה ואחריה ירידה באחוז קבועשאלת ביניים · קשה

מחיר דירה ביום הקנייה היה 800 אלף שקלים. במשך 6 השנים הראשונות מחיר הדירה עלה ב-4% בכל שנה. מיד לאחר מכן מחיר הדירה התחיל לרדת ב-5% בכל שנה.

א.

חשבו את מחיר הדירה 6 שנים לאחר הקנייה.

ב.

בכמה אחוזים עלה מחיר הדירה בסך הכול ב-6 השנים הראשונות?

ג.

חשבו את מחיר הדירה 10 שנים לאחר הקנייה. האם הוא גבוה ממחיר הקנייה?

שאלה 7 · הפונקציה f(t)=f(0)·qᵗ: מציאת כמות אחרי זמן נתוןשאלה קצרה · קלה

בעיר יש 50,00050{,}000 תושבים. במשך 55 שנים גדלה האוכלוסייה בכל שנה ב-4%4\%, ובמשך 55 השנים שאחריהן קטנה האוכלוסייה בכל שנה ב-4%4\%.

כמה תושבים יהיו בעיר בסוף 55 השנים הראשונות, וכמה בסוף 1010 השנים? (עגלו למספר שלם.)

שאלה 8 · גדילה ודעיכה: עצים נגועים בשלושה מטעיםשאלה מלאה · בינונית

לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר העצים הנגועים במזיק לפי ימים בשלושה מטעים.

הפונקציה המתארת את מספר העצים הנגועים בכל יום במטע א' היא P(t)=200⋅(1.15)tP(t)=200\cdot(1.15)^t, ובמטע ב' היא R(t)=40⋅(1.4)tR(t)=40\cdot(1.4)^t.

(ציר אופקי: מספר הימים; ציר אנכי: מספר העצים הנגועים.)

IIIIII
א.

התאימו לכל אחד מן המטעים א' וב' את גרף הפונקציה מבין הגרפים I-III. נמקו.

ב.

מה היה מספר העצים הנגועים במטע ב' לאחר 6 ימים?

ג.

חשבו לאחר כמה ימים מספר העצים הנגועים במטע א' ובמטע ב' היה שווה.

ד.

בזמן הבדיקה הראשונית של מטעים א' וב', במטע ג' מספר העצים הנגועים היה גדול פי 30 ממספר העצים הנגועים במטע ב', לכן הוחלט לרסס את מטע ג' בחומר הדברה, ומספר העצים הנגועים בו קטן באופן מעריכי. לאחר 6 ימים מספר העצים הנגועים במטע ג' היה שליש ממספר העצים הנגועים במטע ב'.

חשבו בכמה אחוזים ירד מספר העצים הנגועים בכל יום במטע ג'.

ה.

הוחלט לרסס מהאוויר כל מטע שבו מספר העצים הנגועים יהיה 800 או יותר. באילו מטעים ירססו מהאוויר במהלך 9 הימים מהבדיקה הראשונית? נמקו.

שאלה 9 · גדילה ודעיכה: משתמשים בשלוש אפליקציותשאלה מלאה · קלה

לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר המשתמשים בשלוש אפליקציות לפי ימים.

מספר המשתמשים באפליקציה א' הוא A(t)=300⋅(1.1)tA(t)=300\cdot(1.1)^t, ובאפליקציה ב' הוא B(t)=60⋅(1.3)tB(t)=60\cdot(1.3)^t.

באפליקציה ג' מספר המשתמשים קטן באופן מעריכי: בהתחלה היו בה 2,500 משתמשים, ולאחר 4 ימים - 1,024 משתמשים.

(ציר אופקי: מספר הימים; ציר אנכי: מספר המשתמשים.)

IIIIII
א.

התאימו לכל אחת מן האפליקציות א', ב' ו-ג' את הגרף שלה מבין הגרפים I-III. נמקו.

ב.

כמה משתמשים היו באפליקציה ב' לאחר 5 ימים?

ג.

הראו כי בזמן שבו מספר המשתמשים באפליקציות א' וב' שווה מתקיים (1311)t=5\left(\frac{13}{11}\right)^t=5, ומצאו באיזה יום זה קרה.

ד.

בכמה אחוזים קטן מספר המשתמשים באפליקציה ג' בכל יום?

ה.

האם באפליקציה א' או באפליקציה ב' יהיו 600 משתמשים או יותר במהלך 8 הימים הראשונים? נמקו.

שאלה 10 · גדילה ודעיכה: משתמשי אפליקציה ואפליקציה מתחרהשאלה מלאה · בינונית

ביום ההשקה של אפליקציה חדשה היו לה 120 אלף משתמשים. מספר המשתמשים עלה בקצב מעריכי קבוע, וכעבור 6 חודשים היו לאפליקציה 300 אלף משתמשים. ביום שבו הגיע מספר המשתמשים ל-300 אלף, הושקה אפליקציה מתחרה. מאותו יום, ירד מספר המשתמשים באפליקציה בקצב מעריכי קבוע. אחרי 4 חודשים מהשקת האפליקציה המתחרה, היה מספר המשתמשים 30% ממספרם ביום השקת המתחרה.

א.

מיום ההשקה ועד יום השקת האפליקציה המתחרה, פי כמה עלה מספר המשתמשים בכל חודש?

ב.

מצאו את האחוז הקבוע שבו ירד מספר המשתמשים באפליקציה בכל חודש מאז השקת האפליקציה המתחרה.

ג.
(1)

כמה חודשים עברו מיום ההשקה של האפליקציה ועד היום שבו היו לה 45 אלף משתמשים בלבד?

(2)

אם לא הייתה מושקת אפליקציה מתחרה, וקצב העלייה במספר המשתמשים לא היה משתנה, כמה משתמשים היו בערך לאפליקציה באותה תקופת זמן שמצאתם בתת-סעיף ג(1)?

עוד 32 שאלות על הפונקציה f(t)=f(0)·qᵗ: מציאת כמות אחרי זמן נתון

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. גדילה ודעיכה: מגפה ומבצע חיסונים (שאלה מלאה · קלה)

    בתחילת חודש ינואר התגלתה מגפה בעיר מסוימת, ובאותו יום היו בעיר 625 חולים. במשך 4 חודשים עלה מספר החולים בכל חודש ב-20%. בסוף 4 החודשים התחיל…

  2. הפונקציה f(t)=f(0)·qᵗ: מציאת כמות אחרי זמן נתון (שאלה קצרה · בינונית)

    במושבה מסוימת היו בתחילת ניסוי 200 חיידקים. מספר החיידקים עלה בקצב מעריכי קבוע, וכעבור 3 שעות היו במושבה 500 חיידקים.

  3. גדילה מעריכית: מתי החוב יעבור את הפיקדון (שאלה מלאה · קלה)

    יוסי הפקיד בבנק 5,000 ₪, והסכום בפיקדון גדל ב-2% בכל שנה. באותו יום לווה רון מהבנק 2,000 ₪, והחוב שלו גדל ב-10% בכל שנה (רון לא מחזיר דבר).…

  4. גדילה מעריכית: מספר התושבים בשתי ערים (שאלה מלאה · בינונית)

    בתחילת שנת 2024 גרו בעיר א' 120,000 תושבים. מספר התושבים בעיר א' גדל ב-2% בכל שנה. בסרטוט שלפניכם (ציר אופקי: הזמן בשנים; ציר אנכי: מספר…

  5. ריבית דריבית: פיקדון ושני מסלולי הלוואה (שאלה מלאה · קלה)

    בנק מלווה כסף ללקוחותיו בריבית קבועה של 3% לשנה (ריבית דריבית).

  6. ריבית דריבית: קרן הלוואות ומסלול בריבית משתנה (שאלה מלאה · בינונית)

    קרן הלוואות לעסקים קטנים מלווה כסף בריבית קבועה.

  7. גדילה ודעיכה: שתי דירות שערכן השתווה (שאלה מלאה · קלה)

    בתחילת שנת 2014 היה הערך של דירה א' 840,000 שקלים והערך של דירה ב' היה 580,000 שקלים. הערך של דירה א' גדל בכל שנה ב-6%, והערך של דירה ב' גדל…

  8. גדילה ודעיכה: מזיקים בשלוש חלקות שדה (שאלה מלאה · בינונית)

    לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר המזיקים לפי ימים בשלוש חלקות בשדה: א, ב ו-ג. הפונקציה המתארת את מספר המזיקים בכל יום…

  9. דעיכה ואחריה גדילה: מים במאגר (שאלה מלאה · קלה)

    מתחילת שנת 2018, כמות המים במאגר מסוים קטנה בכל חודש באחוז קבוע. לאחר 2 חודשים כמות המים במאגר הייתה 81% מכמות המים בתחילת שנת 2018.

  10. גדילה ודעיכה: ערכי שני מגרשים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונים שני מגרשים - מגרש א' ומגרש ב'. בתחילת שנת 2015 היה הערך של מגרש א' 310,000 שקלים והערך של מגרש ב' היה 450,000 שקלים. הערך של מגרש א'…

  11. גדילה ודעיכה: שתי בריכות דגים עם כמויות התחלתיות ידועות (שאלה מלאה · קלה)

    בשתי בריכות דגים - בריכה א' ובריכה ב' - החלו לגדל דגים באותו היום. ביום זה היו בבריכה א' 500 דגים ובבריכה ב' 300 דגים. מספר הדגים בבריכה א'…

  12. דעיכה ואחריה גדילה: מספר הדגים באגם (שאלה מלאה · בינונית)

    מתחילת שנת 2020, מספר הדגים באגם מסוים קטן בכל חודש באחוז קבוע. לאחר 6 חודשים מספר הדגים באגם היה 62% ממספר הדגים בתחילת שנת 2020.

  13. גדילה: אצות בשתי בריכות (שאלה מלאה · קלה)

    בבריכה A יש 2,000 אצות, ומספר האצות בה גדל ב-5% בכל יום. בבריכה B יש 1,200 אצות, ומספר האצות בה גדל ב-10% בכל יום.

  14. גדילה ודעיכה: שתי בריכות דגים, שלב גידול ושלב דיג (שאלה מלאה · בינונית)

    בשתי בריכות דגים - בריכה א' ובריכה ב' - החלו לגדל דגים באותו היום. ביום זה היו בבריכה א' 800 דגים, ובבריכה ב' היו aa דגים. מספר הדגים…

  15. דעיכה של גלגל ים ומזרן ים: נפח, אחוז וזמן (שאלה מלאה · קלה)

    ביום הקנייה נפח גלגל ים היה 4,000 סמ"ק ונפח מזרן ים היה 8,000 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, נפח הגלגל קטן ב-5% בכל יום, ונפח המזרן קטן באחוז קבוע…

  16. גדילה ודעיכה: מחירי שתי מניות, שלב ירידה ושלב עלייה (שאלה מלאה · בינונית)

    אנליסטית עקבה אחר המחירים של שתי מניות - מניה א' ומניה ב' - החל מאותו היום. ביום זה היה מחירה של מניה א' 150 שקלים, ומחירה של מניה ב' היה…

  17. גדילה: משתמשים בשתי אפליקציות (שאלה מלאה · קלה)

    בתחילת שנת 2024 היו לאפליקציה A 2 מיליון משתמשים, ולאפליקציה B 0.5 מיליון משתמשים. מספר המשתמשים באפליקציה A גדל ב-10% בכל שנה, ומספר…

  18. גדילה ודעיכה: חיידקים בשתי תרביות (שאלה מלאה · בינונית)

    בניסוי במעבדה גידלו חיידקים בשתי תרביות, P ו-Q. מספר החיידקים בתרבית P גדל באחוז קבוע בכל שעה. מספר החיידקים בתרבית Q גדל בכל שעה באחוז…

  19. גדילה ודעיכה: ירידת ערך של שני טלפונים (שאלה מלאה · קלה)

    שני טלפונים נקנו באותו היום. הטלפון הראשון עלה 4,000 שקלים, והטלפון השני עלה 3,000 שקלים. בכל שנה יורד הערך של כל אחד מן הטלפונים באחוז קבוע…

  20. דעיכה של שני בלונים וניפוח מחדש (שאלה מלאה · בינונית)

    נועה קנתה בלון כחול ובלון אדום. ביום הקנייה נפח הבלון הכחול היה 3,000 סמ"ק ונפח הבלון האדום היה 7,500 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, הנפח של כל אחד…

  21. מחיר דירה: 4% עלייה בשנה ואחר כך 5% ירידה בשנה (שאלה מלאה · קלה)

    מחיר דירה ביום הקנייה היה 800 אלף שקלים. במשך 6 השנים הראשונות מחיר הדירה עלה ב-4% בכל שנה. מיד לאחר מכן מחיר הדירה התחיל לרדת ב-5% בכל שנה.

  22. גדילה: מכוניות חשמליות בשתי ערים (שאלה מלאה · בינונית)

    בתחילת שנת 2024 בדקה רשות התחבורה את מספר המכוניות החשמליות בשתי ערים, עיר A ועיר B. על פי הצפי של הרשות, מספר המכוניות החשמליות בעיר A יעלה…

  23. דעיכה רדיואקטיבית: כמות, ירידה מצטברת וזמן מחצית (שאלה מלאה · קלה)

    כמות של חומר רדיואקטיבי קטנה בכל יום ב-4%. בתחילת ניסוי היו במעבדה 250 גרם של החומר.

  24. גדילה: שני צמחים פולשים בשמורת טבע (שאלה מלאה · בינונית)

    בתחילת שנת 2022 מדדו פקחים בשמורת טבע את השטח שמכסים שני צמחים פולשים, צמח A וצמח B. על פי הצפי של הפקחים, השטח שמכסה צמח A יגדל ב-6% בכל…

  25. גדילה מעריכית: מתי שתי ערים ישתוו (שאלה מלאה · קלה)

    ב-1/1/2010 חיו בעיר א' 40,000 תושבים ובעיר ב' 25,000 תושבים. אוכלוסיית עיר א' גדלה ב-2% בכל שנה. גם אוכלוסיית עיר ב' גדלה באחוז קבוע בכל…

  26. גדילה ודעיכה: שתי תרופות בדם (שאלה מלאה · בינונית)

    נועה נטלה שתי תרופות - תרופה א ותרופה ב - באותו הרגע. הכמות של כל אחת מן התרופות בדם נמדדה במיליגרמים (מ"ג). הכמות ההתחלתית של תרופה א בדם…

  27. ירידה בערך של טלפון: הערך אחרי 3 שנים (שאלה קצרה · קלה)

    שני טלפונים נקנו באותו היום. הטלפון הראשון עלה 4,000 שקלים, והערך שלו יורד בכל שנה ב-20%.

  28. גדילה ודעיכה: שתי דגימות רדיואקטיביות (שאלה מלאה · בינונית)

    במעבדה יש שתי דגימות של חומרים רדיואקטיביים - דגימה A ודגימה B. החוקרים מדדו את המסה ההתחלתית של כל אחת מן הדגימות באותו הזמן. המסה נמדדה…

  29. מחיר מגרש: עלייה ואחריה ירידה באחוז קבוע (שאלה מלאה · בינונית)

    רחל קנתה מגרש במחיר 850 אלף שקלים. מחיר המגרש עלה באחוז קבוע כל שנה, ולאחר 7 שנים הגיע ל-1.2 מיליון שקלים. מאותו רגע מחיר המגרש התחיל לרדת…

  30. כמות חומר רדיואקטיבי אחרי 10 ימים ואחוז הירידה המצטבר (שאלה קצרה · בינונית)

    כמות של חומר רדיואקטיבי קטנה בכל יום ב-4%. בתחילת ניסוי היו במעבדה 250 גרם של החומר.

  31. האם יגיעו ל-600 משתמשים בתוך 8 ימים? (שאלה קצרה · בינונית)

    מספר המשתמשים באפליקציה א' הוא A(t)=300⋅(1.1)tA(t)=300\cdot(1.1)^t, ובאפליקציה ב' הוא B(t)=60⋅(1.3)tB(t)=60\cdot(1.3)^t (tt - מספר הימים).

  32. צפיות בסרטון: נוסחת הגדילה, תוספת יומית וסף (שאלת ביניים · בינונית)

    סרטון חדש הועלה לרשת. בסוף יום ההעלאה היו לסרטון 2,0002{,}000 צפיות. מאז, מספר הצפיות הכולל בסרטון גדל פי 33 בכל יום.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (30)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.