דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: תהליך מעריכי: שינוי ביחס קבוע או באחוז קבוע - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות פתוחות על תהליך מעריכי - שינוי ביחס קבוע או באחוז קבוע - לכיתה י"ב, 4 יחידות. יש קרינה שעוברת דרך לוחות מגן, חיידקים בתרבית, תוכנית חיסכון מול חוב, שתי קרנות ושני מגרשים שערכם משתנה, ומחיר שעלה וירד באותו אחוז והשאלה מהו האחוז. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה, עם הרבה שאלות קלות לפתיחת הנושא. אפשר לבנות מכאן דף עבודה, בוחן או מבחן, עם פתרון מלא לכל סעיף וייצוא לוורד.

38 שאלותקלה: 17בינונית: 16קשה: 5

שאלה 1 · תהליך מעריכי: שינוי ביחס קבוע או באחוז קבועשאלה קצרה · קלה

קרינה עוברת דרך לוחות מגן זהים. כל לוח בולם אותו אחוז מן הקרינה שפוגעת בו. אחרי מעבר דרך 22 לוחות נותרים 64%64\% מעוצמת הקרינה המקורית.

א.

איזה אחוז מן הקרינה שפוגעת בו בולם כל לוח?

ב.

איזה אחוז מעוצמת הקרינה המקורית נבלם בסך הכול בשלושה לוחות כאלה?

שאלה 2 · תהליך מעריכי: שינוי ביחס קבוע או באחוז קבועשאלה קצרה · בינונית

מספר החיידקים בתרבית גדל בכל שעה באחוז קבוע. כעבור שעה אחת מתחילת הניסוי היו בתרבית 120120 אלף חיידקים, וכעבור 44 שעות מתחילת הניסוי היו בה 207.36207.36 אלף חיידקים.

א.

מצאו בכמה אחוזים גדל מספר החיידקים בכל שעה.

ב.

מצאו כמה חיידקים היו בתרבית בתחילת הניסוי.

שאלה 3 · גדילה מעריכית: מציאת אחוז הריבית מתוך החובשאלה מלאה · קשה

בתחילת שנת 2024 הפקידה דנה 8,000 ₪ בתוכנית חיסכון שבה הסכום גדל ב-3% בכל שנה. באותו יום לווה עומר 2,000 ₪, והחוב שלו גדל בכל שנה באחוז קבוע (עומר לא מחזיר דבר). נסמן ב-tt את מספר השנים מתחילת 2024.

א.

נתון כי כעבור 10 שנים החוב של עומר היה 5,187.485{,}187.48 ₪ (בעיגול לאגורות). מצאו את אחוז הגדילה השנתי של החוב.

ב.

כתבו את הפונקציה f(t)f(t) המתארת את הסכום בחיסכון של דנה, ואת הפונקציה g(t)g(t) המתארת את החוב של עומר.

ג.

מצב החיסכון והחוב נבדק בתחילת כל שנה. בתחילתה של איזו שנה יהיה החוב של עומר, לראשונה, גדול מהחיסכון של דנה?

ד.

נניח שאחוז הגדילה השנתי של החוב של עומר היה p%p\% (במקום האחוז שמצאתם בסעיף א), וכל שאר הנתונים לא השתנו. לאילו ערכים של pp יהיה החוב של עומר גדול מהחיסכון של דנה כבר בתחילת שנת 2034?

שאלה 4 · תהליך מעריכי: שינוי ביחס קבוע או באחוז קבועשאלה קצרה · קלה

מחיר מוצר עלה ב-p%p\%, ולאחר מכן ירד המחיר החדש באותו אחוז, p%p\%. בסוף התהליך היה המחיר נמוך ב-4%4\% מהמחיר המקורי.

א.

מצאו את pp.

ב.

אילו המחיר היה קודם יורד ב-p%p\% ורק אחר כך עולה ב-p%p\%, האם המחיר הסופי היה שונה? נמקו את תשובתכם.

שאלה 5 · גדילה מעריכית: מספר התושבים בשתי עריםשאלה מלאה · בינונית

בתחילת שנת 2024 גרו בעיר א' 120,000 תושבים. מספר התושבים בעיר א' גדל ב-2% בכל שנה.

בסרטוט שלפניכם (ציר אופקי: הזמן בשנים; ציר אנכי: מספר התושבים) מתוארים שני גרפים, I ו-II, שמשמשים בסעיף ד.

III
א.

איזו מבין הפונקציות 1-4 מתארת את מספר התושבים בעיר א' לפי השנים (t)(t) מתחילת 2024?

(1) f(t)=120,000⋅1.2tf(t)=120{,}000\cdot1.2^t (2) f(t)=122,400⋅1.02tf(t)=122{,}400\cdot1.02^t (3) f(t)=120,000⋅1.02tf(t)=120{,}000\cdot1.02^t (4) f(t)=122,400⋅2tf(t)=122{,}400\cdot2^t

ב.

כמה תושבים יגורו בעיר א' כעבור 15 שנה?

ג.

בתחילת שנת 2024 גרו בעיר ב' 30,000 תושבים. מספר התושבים בעיר ב' גדל ב-9% בכל שנה.

מצאו את הפונקציה g(t)g(t) המתארת את מספר התושבים בעיר ב' לפי השנים (t)(t).

ד.

בסרטוט שבגזע השאלה מתוארים הגרפים של הפונקציה f(t)f(t) ושל הפונקציה g(t)g(t). איזו פונקציה מתאר גרף II? נמקו.

ה.

בתחילת כל שנה עורכים בשתי הערים מפקד תושבים.

בתחילתה של איזו שנה יגלה המפקד לראשונה שבעיר ב' גרים יותר תושבים מאשר בעיר א'?

שאלה 6 · גדילה ודעיכה: שתי קרנות והיחס ביניהןשאלה מלאה · קשה

בתחילת שנת 2010 הופקדו 200,000 שקלים בקרן א' ו-125,000 שקלים בקרן ב'. הערך של קרן א' גדל בכל שנה ב-4%, והערך של קרן ב' גדל בכל שנה באחוז קבוע. בתחילת שנת 2020 היה הערך של שתי הקרנות שווה.

א.

מצאו בכמה אחוזים גדל הערך של קרן ב' בכל שנה (עגלו לאחוז שלם).

ב.

בתחילת איזו שנה היה לראשונה הערך של קרן ב' גדול לפחות ב-50% מהערך של קרן א'?

ג.

מתחילת השנה שמצאתם בסעיף ב, הערך של קרן ב' יורד בכל שנה ב-6%, והערך של קרן א' ממשיך לגדול ב-4% בשנה.

בתחילת איזו שנה יהיה לראשונה הערך של קרן א' גדול מהערך של קרן ב'?

ד.

נניח שבמקום ירידה של 6% בשנה, הערך של קרן ב' יורד מתחילת אותה שנה באחוז קבוע אחר. מה צריך להיות אחוז הירידה השנתי כדי שהערך של קרן א' יהיה גדול מהערך של קרן ב' כבר בתחילת שנת 2031?

שאלה 7 · תהליך מעריכי: שינוי ביחס קבוע או באחוז קבועשאלה קצרה · קלה

מחיר מוצר עלה ב-50%50\%, ולאחר מכן ירד המחיר החדש ב-p%p\%. בסוף התהליך היה המחיר נמוך ב-10%10\% מהמחיר המקורי.

א.

מצאו את pp.

ב.

בכמה אחוזים היה צריך לרדת המחיר אחרי העלייה כדי לחזור בדיוק למחיר המקורי?

שאלה 8 · גדילה ודעיכה: ערכי שני מגרשיםשאלה מלאה · בינונית

נתונים שני מגרשים - מגרש א' ומגרש ב'. בתחילת שנת 2015 היה הערך של מגרש א' 310,000 שקלים והערך של מגרש ב' היה 450,000 שקלים. הערך של מגרש א' גדל בכל שנה ב-10%, והערך של מגרש ב' גדל בכל שנה פי qq. כעבור מספר מסוים של שנים היה הערך של מגרש א' שווה לערך של מגרש ב'.

א.

לפניכם שלוש טענות: I. q<1.1q<1.1; II. q=1.1q=1.1; III. q>1.1q>1.1. קבעו מהי הטענה הנכונה. נמקו את קביעתכם.

ב.

נתון כי בתחילת שנת 2023 היה הערך של מגרש א' שווה לערך של מגרש ב'.

(1)

מצאו מה היה הערך של מגרש א' בתחילת שנה זו.

(2)

מצאו בכמה אחוזים גדל הערך של מגרש ב' בכל שנה.

ג.

על פי הצפי, מתחילת שנת 2023 ואילך הערך של מגרש ב' עתיד לרדת בכל שנה באחוז שקטן פי 1.25 מן האחוז שמצאתם בתת-סעיף ב(2).

על פי צפי זה, בתחילת איזו שנה עתיד לרדת לראשונה הערך של מגרש ב' בהשוואה לערך שהיה לו בתחילת שנת 2015?

שאלה 9 · גדילה ודעיכה: משתמשים בשתי אפליקציותשאלה מלאה · קשה

שתי אפליקציות, A ו-B, הושקו באותו יום. מספר המשתמשים באפליקציה A גדל באחוז קבוע בכל שבוע. מספר המשתמשים באפליקציה B גדל בכל שבוע באחוז הגדול פי 2 מן האחוז שבו גדל בכל שבוע מספר המשתמשים באפליקציה A.

ביום ההשקה היו לאפליקציה A 6,400 משתמשים, ולאחר 3 שבועות היו לה 8,518 משתמשים. לאחר 8 שבועות מיום ההשקה היה מספר המשתמשים בשתי האפליקציות שווה.

א.

מצאו בכמה אחוזים גדל מספר המשתמשים באפליקציה A בכל שבוע.

ב.

מצאו כמה משתמשים היו לאפליקציה B ביום ההשקה.

ג.

הראו כי היחס בין מספר המשתמשים ב-B לבין מספר המשתמשים ב-A גדל בכל שבוע באותו אחוז, ומצאו אחוז זה (בשמונת השבועות הראשונים).

ד.

לאחר 8 שבועות החל מספר המשתמשים באפליקציה A לקטון: בכל שבוע קטן מספר המשתמשים ב-A באותו האחוז שבו גדל לפני כן. מספר המשתמשים באפליקציה B המשיך לגדול כמו קודם.

לאחר כמה שבועות שלמים מיום ההשקה היה לראשונה מספר המשתמשים באפליקציה B גדול מפי 2 ממספר המשתמשים באפליקציה A?

שאלה 10 · גדילה מעריכית: מתי החוב יעבור את הפיקדוןשאלה מלאה · קלה

יוסי הפקיד בבנק 5,000 ₪, והסכום בפיקדון גדל ב-2% בכל שנה. באותו יום לווה רון מהבנק 2,000 ₪, והחוב שלו גדל ב-10% בכל שנה (רון לא מחזיר דבר). נסמן ב-tt את מספר השנים מיום ההפקדה.

א.

כתבו את הפונקציה f(t)f(t) המתארת את הסכום בפיקדון של יוסי, ואת הפונקציה g(t)g(t) המתארת את החוב של רון.

ב.

כמה כסף יהיה בפיקדון של יוסי כעבור 10 שנים?

ג.

האם כעבור 10 שנים החוב של רון כבר גדול מהסכום בפיקדון של יוסי? נמקו.

ד.
(1)

הראו כי החוב של רון גדול מהסכום בפיקדון של יוסי כאשר (1.11.02)t>2.5\left(\frac{1.1}{1.02}\right)^t>2.5.

(2)

כעבור כמה שנים שלמות יהיה החוב של רון, לראשונה, גדול מהסכום בפיקדון של יוסי?

עוד 15 שאלות על תהליך מעריכי: שינוי ביחס קבוע או באחוז קבוע

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. דעיכה ואחריה גדילה: מספר הדגים באגם (שאלה מלאה · בינונית)

    מתחילת שנת 2020, מספר הדגים באגם מסוים קטן בכל חודש באחוז קבוע. לאחר 6 חודשים מספר הדגים באגם היה 62% ממספר הדגים בתחילת שנת 2020.

  2. אחוז הירידה בשנתיים לעומת פעמיים האחוז השנתי (שאלה קצרה · קשה)

    בספרייה A נרשם בכל שנה מספר הספרים שהושאלו בה במהלך השנה (מספר ההשאלות השנתי). משנת 2012 מספר ההשאלות השנתי בספרייה A קטן בכל שנה באחוז…

  3. גדילה ודעיכה: נדבקים בשלושה יישובים (גרסת תרגול) (שאלה מלאה · קלה)

    לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף לפי ימים בשלושה יישובים: א, ב ו-ג. מספר הנדבקים ביישוב א הוא…

  4. גדילה ודעיכה: חיידקים בשתי תרביות (שאלה מלאה · בינונית)

    בניסוי במעבדה גידלו חיידקים בשתי תרביות, P ו-Q. מספר החיידקים בתרבית P גדל באחוז קבוע בכל שעה. מספר החיידקים בתרבית Q גדל בכל שעה באחוז…

  5. היחס בין שני תהליכים מעריכיים משתנה פי מספר קבוע (שאלת ביניים · קשה)

    במעבדה גידלו שתי תרביות חיידקים, A ו-B. בתחילת הניסוי היו בתרבית A 3,2003{,}200 חיידקים, ומספר החיידקים בה גדל בכל שעה ב-50%50\%. בתרבית B היו…

  6. גדילה ודעיכה: שתי דירות שערכן השתווה (שאלה מלאה · קלה)

    בתחילת שנת 2014 היה הערך של דירה א' 840,000 שקלים והערך של דירה ב' היה 580,000 שקלים. הערך של דירה א' גדל בכל שנה ב-6%, והערך של דירה ב' גדל…

  7. גדילה ודעיכה: צבאים בשתי שמורות (שאלה מלאה · בינונית)

    בשמורה A חיים צבאים. מתחילת שנת 2008 מספר הצבאים בשמורה זו קטן בכל שנה באחוז קבוע.

  8. דעיכה ואחריה גדילה: מים במאגר (שאלה מלאה · קלה)

    מתחילת שנת 2018, כמות המים במאגר מסוים קטנה בכל חודש באחוז קבוע. לאחר 2 חודשים כמות המים במאגר הייתה 81% מכמות המים בתחילת שנת 2018.

  9. גדילה ודעיכה: השאלות ספרים בשתי ספריות (שאלה מלאה · בינונית)

    בספרייה A נרשם בכל שנה מספר הספרים שהושאלו בה במהלך השנה (מספר ההשאלות השנתי). משנת 2012 מספר ההשאלות השנתי בספרייה A קטן בכל שנה באחוז…

  10. גדילה ודעיכה: אוכלוסייה בשתי ערים (שאלה מלאה · קלה)

    בתחילת שנת 2010 גרו בעיר X 120,000 תושבים. מתחילת 2010 מספר התושבים בעיר X קטן ב-3% בכל שנה.

  11. גדילה מעריכית: שני יישובים שמתאחדים (שאלה מלאה · בינונית)

    האוכלוסיות בשני יישובים סמוכים, יישוב א' ויישוב ב', גדלות בצורה מעריכית. ב-1/1/2005 ביישוב א' חיו 36,000 תושבים וביישוב ב' 12,000 תושבים. עד…

  12. תהליך מעריכי: שינוי ביחס קבוע או באחוז קבוע (שאלה קצרה · קלה)

    בתרבית מעבדה מספר החיידקים גדל ב-20% בכל שעה.

  13. ירידה באחוז קבוע: האם יורדים בכל שנה אותו מספר? (שאלה קצרה · בינונית)

    בתחילת שנת 2010 גרו בעיר X 120,000 תושבים. מתחילת 2010 מספר התושבים בעיר X קטן ב-3% בכל שנה.

  14. קריאת אחוז הירידה מתוך הפונקציה (שאלה קצרה · קלה)

    שני מטופלים קיבלו תרופות שונות. כמות התרופה בדם קטנה בכל שעה באחוז קבוע. הפונקציה f(t)=8⋅(0.9)tf(t)=8\cdot(0.9)^t מתארת את כמות התרופה (במיליגרם) בדם…

  15. זיהוי תהליך מעריכי מטבלה: מנה קבועה לעומת תוספת קבועה (שאלת ביניים · בינונית)

    בתחילת כל שנה נספר מספר המנויים בשני מועדוני כושר, מועדון A ומועדון B. לפניכם התוצאות בתחילת השנים 2020-2023: באחד המועדונים מספר המנויים…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (7)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.