שאלות פתוחות: השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על השוואה בין שני תהליכים ועל תהליך רב-שלבי בגדילה ודעיכה, לכיתה י"ב, 4 יחידות. יש שתי ערים שאחת גדלה והשנייה קטנה, שני חומרים רדיואקטיביים עם זמני מחצית חיים שונים, שתי מניות ושתי מכוניות שערכן יורד בקצב שונה, וחיסכון שממנו מושכים סכום בכל סוף שנה. התלמידים מוצאים מתי הכמויות ישתוו ומה קורה כשהקצב משתנה באמצע. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. מורים יכולים להרכיב מכאן מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

115 שאלותקלה: 31בינונית: 65קשה: 19

שאלה 1 · השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבישאלה קצרה · קלה

שני חומרים רדיואקטיביים, חומר א' וחומר ב', מתפרקים בקצב מעריכי. ברגע מסוים (t=0t=0t=0) הייתה כמות שני החומרים זהה. זמן מחצית החיים של חומר א' הוא 444 שעות, וזמן מחצית החיים של חומר ב' הוא 666 שעות. בגרף מתוארות כמויות שני החומרים (כחלק מהכמות ההתחלתית) כפונקציה של הזמן בשעות.
חומר א'חומר ב'
02468101214160.00.20.40.60.81.0

כעבור כמה שעות תהיה כמות חומר א' רבע מכמות חומר ב'?

שאלה 2 · השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבישאלה קצרה · בינונית

מספר התושבים בעיר א' הוא 120120120 אלף, והוא קטן ב-2%2\%2% בכל שנה. מספר התושבים בעיר ב' הוא 808080 אלף, והוא גדל ב-3%3\%3% בכל שנה. בסרטוט שלפניכם מתוארים הגרפים של מספרי התושבים (באלפים) בשתי הערים לפי הזמן ttt (בשנים).
אב

א.

מצאו כעבור כמה שנים יהיה מספר התושבים בשתי הערים שווה.

ב.

כעבור כמה שנים שלמות לכל המוקדם יהיה מספר התושבים בעיר ב' גדול פי 222 לפחות ממספר התושבים בעיר א'?

שאלה 3 · גדילה ודעיכה: שלושה יישובים שנפגשים ברגע אחדשאלה מלאה · קשה

לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף לפי ימים בשלושה יישובים.
ביישוב א' מספר הנדבקים הוא X(t)=200⋅(1.1)tX(t)=200\cdot(1.1)^tX(t)=200⋅(1.1)t, וביישוב ב' הוא Y(t)=25⋅(1.32)tY(t)=25\cdot(1.32)^tY(t)=25⋅(1.32)t.
ביישוב ג' מספר הנדבקים בבדיקה הראשונית (t=0t=0t=0) היה גדול פי 40 ממספר הנדבקים ביישוב ב', ומאז הוא קטן באופן מעריכי.
(ציר אופקי: מספר הימים; ציר אנכי: מספר הנדבקים.)
IIIIII
IIIIII

א.

התאימו לכל אחד מן היישובים א', ב' ו-ג' את הגרף שלו מבין הגרפים I-III. נמקו.

ב.

לאחר כמה ימים מספר הנדבקים ביישובים א' וב' שווה?

ג.

נתון כי ברגע שבו מספר הנדבקים ביישובים א' וב' השתווה, גם ביישוב ג' היה אותו מספר נדבקים. בכמה אחוזים קטן מספר הנדבקים ביישוב ג' בכל יום?

ד.

הוחלט לסגור את בתי הספר בכל יישוב שבו מספר הנדבקים יהיה NNN או יותר בזמן כלשהו במהלך 10 הימים הראשונים (0≤t≤100\le t\le100≤t≤10). מצאו את כל הערכים של NNN שעבורם בתי הספר ייסגרו ביישוב אחד בלבד. נמקו.

שאלה 4 · השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבישאלה קצרה · קלה

אדם הפקיד 10,00010{,}00010,000 שקלים בתוכנית חיסכון הנושאת ריבית דריבית שנתית קבועה של 5%5\%5%. בכל סוף שנה, מיד לאחר הוספת הריבית, הוא מושך סכום קבוע מהחשבון.

א.

האדם מושך בכל סוף שנה 500500500 שקלים. חשבו כמה כסף יהיה בחשבון כעבור שנתיים מיום ההפקדה.

ב.

נניח שבמקום זאת האדם מושך בכל סוף שנה 800800800 שקלים. חשבו כמה כסף יהיה בחשבון כעבור שנתיים מיום ההפקדה.

שאלה 5 · השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבישאלה קצרה · בינונית

ביום מסוים היה מחיר מניה A 505050 שקלים ומחיר מניה B 202020 שקלים. מחיר מניה A עלה ב-6%6\%6% בכל חודש, ומחיר מניה B עלה בכל חודש באחוז קבוע. כעבור 121212 חודשים היו מחירי שתי המניות שווים.

א.

בכמה אחוזים עלה מחיר מניה B בכל חודש? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

ב.

מאותו רגע שבו היו המחירים שווים החל מחיר מניה B לרדת בכל חודש באחוז קבוע, השווה למחצית האחוז שמצאתם בסעיף א. כעבור כמה חודשים שלמים מתחילת הירידה יהיה מחיר מניה B לראשונה נמוך מ-202020 שקלים?

שאלה 6 · גדילה ודעיכה: מתי התחיל החיסוןשאלה מלאה · קשה

ביישוב מסוים התגלה נגיף, וביום הגילוי היו ביישוב 80 חולים. מספר החולים עלה בקצב מעריכי קבוע, וכעבור 4 חודשים היו ביישוב 125 חולים. ביום מסוים, כשהנגיף עדיין התפשט, חוסנה כל האוכלוסייה. מאותו יום ירד מספר החולים בקצב מעריכי קבוע, כך שבכל חודשיים קטן מספר החולים פי 2. 10 חודשים אחרי גילוי הנגיף היו ביישוב 100 חולים.

א.

פי כמה עלה מספר החולים בכל חודש לפני החיסון, ובכמה אחוזים ירד בכל חודש אחרי החיסון?

ב.

כמה חודשים אחרי גילוי הנגיף חוסנה האוכלוסייה?

ג.

מה היה המספר הגדול ביותר של חולים ביישוב?

ד.

במשך כמה חודשים היה מספר החולים ביישוב גדול מ-150?

שאלה 7 · גדילה ודעיכה: משתמשים בשלוש אפליקציותשאלה מלאה · קלה

לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר המשתמשים בשלוש אפליקציות לפי ימים.
מספר המשתמשים באפליקציה א' הוא A(t)=300⋅(1.1)tA(t)=300\cdot(1.1)^tA(t)=300⋅(1.1)t, ובאפליקציה ב' הוא B(t)=60⋅(1.3)tB(t)=60\cdot(1.3)^tB(t)=60⋅(1.3)t.
באפליקציה ג' מספר המשתמשים קטן באופן מעריכי: בהתחלה היו בה 2,500 משתמשים, ולאחר 4 ימים - 1,024 משתמשים.
(ציר אופקי: מספר הימים; ציר אנכי: מספר המשתמשים.)
IIIIII
IIIIII

א.

התאימו לכל אחת מן האפליקציות א', ב' ו-ג' את הגרף שלה מבין הגרפים I-III. נמקו.

ב.

כמה משתמשים היו באפליקציה ב' לאחר 5 ימים?

ג.

הראו כי בזמן שבו מספר המשתמשים באפליקציות א' וב' שווה מתקיים (1311)t=5\left(\frac{13}{11}\right)^t=5(1113​)t=5, ומצאו באיזה יום זה קרה.

ד.

בכמה אחוזים קטן מספר המשתמשים באפליקציה ג' בכל יום?

ה.

האם באפליקציה א' או באפליקציה ב' יהיו 600 משתמשים או יותר במהלך 8 הימים הראשונים? נמקו.

שאלה 8 · השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבישאלה קצרה · בינונית

שתי מכוניות, מכונית א' ומכונית ב', נקנו באותו יום ובאותו מחיר. ערכה של מכונית א' ירד ב-20%20\%20% בשנה הראשונה, ובכל שנה שאחריה הוא יורד ב-10%10\%10%. ערכה של מכונית ב' יורד ב-14%14\%14% בכל שנה.

מצאו את המספר השלם הקטן ביותר של שנים מיום הקנייה שבו ערכה של מכונית א' גבוה מערכה של מכונית ב'.

שאלה 9 · גדילה מעריכית: מציאת אחוז הריבית מתוך החובשאלה מלאה · קשה

בתחילת שנת 2024 הפקידה דנה 8,000 ₪ בתוכנית חיסכון שבה הסכום גדל ב-3% בכל שנה. באותו יום לווה עומר 2,000 ₪, והחוב שלו גדל בכל שנה באחוז קבוע (עומר לא מחזיר דבר). נסמן ב-ttt את מספר השנים מתחילת 2024.

א.

נתון כי כעבור 10 שנים החוב של עומר היה 5,187.485{,}187.485,187.48 ₪ (בעיגול לאגורות). מצאו את אחוז הגדילה השנתי של החוב.

ב.

כתבו את הפונקציה f(t)f(t)f(t) המתארת את הסכום בחיסכון של דנה, ואת הפונקציה g(t)g(t)g(t) המתארת את החוב של עומר.

ג.

מצב החיסכון והחוב נבדק בתחילת כל שנה. בתחילתה של איזו שנה יהיה החוב של עומר, לראשונה, גדול מהחיסכון של דנה?

ד.

נניח שאחוז הגדילה השנתי של החוב של עומר היה p%p\%p% (במקום האחוז שמצאתם בסעיף א), וכל שאר הנתונים לא השתנו. לאילו ערכים של ppp יהיה החוב של עומר גדול מהחיסכון של דנה כבר בתחילת שנת 2034?

שאלה 10 · גדילה ודעיכה: מגפה ומבצע חיסוניםשאלה מלאה · קלה

בתחילת חודש ינואר התגלתה מגפה בעיר מסוימת, ובאותו יום היו בעיר 625 חולים. במשך 4 חודשים עלה מספר החולים בכל חודש ב-20%. בסוף 4 החודשים התחיל מבצע חיסונים, ומאותו יום ירד מספר החולים בקצב מעריכי קבוע. חודשיים אחרי תחילת מבצע החיסונים היו בעיר 729 חולים.

א.

כמה חולים היו בעיר ביום שבו התחיל מבצע החיסונים?

ב.

מצאו את האחוז הקבוע שבו ירד מספר החולים בכל חודש מאז תחילת מבצע החיסונים.

ג.

כמה חודשים עברו מיום גילוי המגפה ועד היום שבו היו בעיר 100 חולים?

ד.

אילו לא היה מבצע חיסונים, ומספר החולים היה ממשיך לעלות ב-20% בכל חודש, כמה חולים היו בעיר 6 חודשים אחרי גילוי המגפה?

עוד 67 שאלות על השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

גדילה ודעיכה: עצים נגועים בשלושה מטעים (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר העצים הנגועים במזיק לפי ימים בשלושה מטעים. הפונקציה המתארת את מספר העצים הנגועים בכל…
ריבית דריבית: מסלול משתנה ופירעון מוקדם (שאלה מלאה · קשה)
בנק מלווה כסף לחברות בריבית שנתית קבועה (ריבית דריבית, גם על חלק משנה).
גדילה מעריכית: מתי החוב יעבור את הפיקדון (שאלה מלאה · קלה)
יוסי הפקיד בבנק 5,000 ₪, והסכום בפיקדון גדל ב-2% בכל שנה. באותו יום לווה רון מהבנק 2,000 ₪, והחוב שלו גדל ב-10% בכל שנה (רון לא מחזיר דבר).…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
מספר התושבים בשכונה א' גדל לפי $A(t)=600\cdot(1.03)^t$ , ומספר התושבים בשכונה ב' גדל לפי $B(t)=150\cdot(1.18)^t$ , כאשר $t$ הוא מספר השנים…
גדילה ודעיכה: שלושה יישובים, יחס בין תהליכים ודעיכה משתי מדידות (שאלה מלאה · קשה)
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף לפי ימים בשלושה יישובים: א, ב ו-ג. מספר הנדבקים ביישוב א הוא…
ריבית דריבית: פיקדון ושני מסלולי הלוואה (שאלה מלאה · קלה)
בנק מלווה כסף ללקוחותיו בריבית קבועה של 3% לשנה (ריבית דריבית).
גדילה ודעיכה: משתמשי אפליקציה ואפליקציה מתחרה (שאלה מלאה · בינונית)
ביום ההשקה של אפליקציה חדשה היו לה 120 אלף משתמשים. מספר המשתמשים עלה בקצב מעריכי קבוע, וכעבור 6 חודשים היו לאפליקציה 300 אלף משתמשים. ביום…
גדילה ודעיכה: שתי קרנות והיחס ביניהן (שאלה מלאה · קשה)
בתחילת שנת 2010 הופקדו 200,000 שקלים בקרן א' ו-125,000 שקלים בקרן ב'. הערך של קרן א' גדל בכל שנה ב-4%, והערך של קרן ב' גדל בכל שנה באחוז…
גדילה ודעיכה: נדבקים בשלושה יישובים (גרסת תרגול) (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף לפי ימים בשלושה יישובים: א, ב ו-ג. מספר הנדבקים ביישוב א הוא…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
בבריכה מסוימת גדל שטח האצות פי 1.5 בכל שבוע, במשך 3 שבועות. בסוף השבוע השלישי הוסף לבריכה חומר ניקוי, ומאותו יום קטן שטח האצות ב-20% בכל…
דעיכה ואחריה גדילה: מתי הכוורת חוזרת לכמות ההתחלתית (שאלה מלאה · קשה)
מתחילת שנת 2018, כמות הדבש בכוורת דבורים מסוימת קטנה בכל חודש באחוז קבוע. כמות הדבש לאחר 5 חודשים הייתה 70% מכמות הדבש לאחר חודש אחד. בתחילת…
דעיכה ואחריה גדילה: מים במאגר (שאלה מלאה · קלה)
מתחילת שנת 2018, כמות המים במאגר מסוים קטנה בכל חודש באחוז קבוע. לאחר 2 חודשים כמות המים במאגר הייתה 81% מכמות המים בתחילת שנת 2018.
גדילה מעריכית: מספר התושבים בשתי ערים (שאלה מלאה · בינונית)
בתחילת שנת 2024 גרו בעיר א' 120,000 תושבים. מספר התושבים בעיר א' גדל ב-2% בכל שנה. בסרטוט שלפניכם (ציר אופקי: הזמן בשנים; ציר אנכי: מספר…
דעיכה מעריכית: בניית שני תהליכים מנתונים והשוואה ביניהם (שאלה מלאה · קשה)
חוקר עוקב אחרי שני קרחונים A ו-B שמפשירים. בתחילת המדידות שקל קרחון A 8 אלפי טונות, ובכל שנה הוא איבד 3% ממשקלו בשנה שלפניה. בתחילת המדידות…
דעיכה מעריכית: תרופה בדם של שני מטופלים (שאלה מלאה · קלה)
שני מטופלים קיבלו תרופות שונות. כמות התרופה בדם קטנה בכל שעה באחוז קבוע. הפונקציה $f(t)=8\cdot(0.9)^t$ מתארת את כמות התרופה (במיליגרם) בדם…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
בתחילת שנת 2025 היו בבריכה א' 6,000 דגים, ומספרם קטן ב-4% בכל שנה. באותו זמן היו בבריכה ב' 1,200 דגים, ומספרם גדל ב-6% בכל שנה. את הדגים…
גדילה ודעיכה: מתי משתוות שתי משתלות, ומאיזה קצב מכירה (שאלה מלאה · קשה)
בשתי משתלות - משתלה א' ומשתלה ב' - החלו לשתול צמחים באותו היום. ביום זה שתלו במשתלה א' 600 צמחים, ובמשתלה ב' שתלו $a$ צמחים. מספר הצמחים…
גדילה ודעיכה: שתי בריכות דגים עם כמויות התחלתיות ידועות (שאלה מלאה · קלה)
בשתי בריכות דגים - בריכה א' ובריכה ב' - החלו לגדל דגים באותו היום. ביום זה היו בבריכה א' 500 דגים ובבריכה ב' 300 דגים. מספר הדגים בבריכה א'…
ריבית דריבית: קרן הלוואות ומסלול בריבית משתנה (שאלה מלאה · בינונית)
קרן הלוואות לעסקים קטנים מלווה כסף בריבית קבועה.
גדילה ודעיכה: משתמשים בשתי אפליקציות (שאלה מלאה · קשה)
שתי אפליקציות, A ו-B, הושקו באותו יום. מספר המשתמשים באפליקציה A גדל באחוז קבוע בכל שבוע. מספר המשתמשים באפליקציה B גדל בכל שבוע באחוז הגדול…
גדילה: אצות בשתי בריכות (שאלה מלאה · קלה)
בבריכה A יש 2,000 אצות, ומספר האצות בה גדל ב-5% בכל יום. בבריכה B יש 1,200 אצות, ומספר האצות בה גדל ב-10% בכל יום.
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
בנק מציע הלוואה לשנתיים בשני מסלולים. מסלול א - ריבית של 0.5% בשנה הראשונה ו-2.9% בשנה השנייה. מסלול ב - ריבית שנתית קבועה. חברה לוותה…
דעיכה בשני קצבים קשורים וניפוח בחזרה לנפח המקורי (שאלה מלאה · קשה)
ביום הקנייה נפח כדור ים היה 2,500 סמ"ק ונפח סירה מתנפחת היה 10,000 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, הנפח של כל אחד מהם קטן באחוז קבוע בכל יום. האחוז…
דעיכה של גלגל ים ומזרן ים: נפח, אחוז וזמן (שאלה מלאה · קלה)
ביום הקנייה נפח גלגל ים היה 4,000 סמ"ק ונפח מזרן ים היה 8,000 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, נפח הגלגל קטן ב-5% בכל יום, ונפח המזרן קטן באחוז קבוע…
גדילה ודעיכה: מזיקים בשלוש חלקות שדה (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר המזיקים לפי ימים בשלוש חלקות בשדה: א, ב ו-ג. הפונקציה המתארת את מספר המזיקים בכל יום…
גדילה: מתי שירות הסטרימינג יעקוף (שאלה מלאה · קשה)
בתחילת שנת 2025 היו לשירות סטרימינג A 40 מיליון מנויים, ולשירות סטרימינג B היו 15 מיליון מנויים. מספר המנויים של A עולה ב-8% בכל שנה. מספר…
גדילה: משתמשים בשתי אפליקציות (שאלה מלאה · קלה)
בתחילת שנת 2024 היו לאפליקציה A 2 מיליון משתמשים, ולאפליקציה B 0.5 מיליון משתמשים. מספר המשתמשים באפליקציה A גדל ב-10% בכל שנה, ומספר…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
בעיר א גרים היום 20,000 תושבים, ומספר התושבים בה גדל ב-6% בכל שנה. בעיר ב גרים היום 50,000 תושבים, ומספר התושבים בה גדל ב-2% בכל שנה.
גדילה ודעיכה: צבי ים - ירידה, שיקום והשוואה (שאלה מלאה · קשה)
בתחילת שנת 2005 היו באזור חוף A 84,000 צבי ים, ומספרם קטן ב-6% בכל שנה. באותה עת היו באזור חוף B 76,700 צבי ים, ומספרם קטן בכל שנה באחוז…
גדילה ודעיכה: אוכלוסייה בשתי ערים (שאלה מלאה · קלה)
בתחילת שנת 2010 גרו בעיר X 120,000 תושבים. מתחילת 2010 מספר התושבים בעיר X קטן ב-3% בכל שנה.
גדילה ודעיכה: ערכי שני מגרשים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מגרשים - מגרש א' ומגרש ב'. בתחילת שנת 2015 היה הערך של מגרש א' 310,000 שקלים והערך של מגרש ב' היה 450,000 שקלים. הערך של מגרש א'…
גדילה ודעיכה: שתי מושבות חיידקים (שאלה מלאה · קשה)
בניסוי טיפלו בשתי מושבות חיידקים, א ו-ב, החל מאותו הרגע. בכל שעה קטן מספר החיידקים בכל אחת מן המושבות באחוז קבוע (בכל מושבה באחוז שונה).…
גדילה ודעיכה: ירידת ערך של שני טלפונים (שאלה מלאה · קלה)
שני טלפונים נקנו באותו היום. הטלפון הראשון עלה 4,000 שקלים, והטלפון השני עלה 3,000 שקלים. בכל שנה יורד הערך של כל אחד מן הטלפונים באחוז קבוע…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
בתחילת שנה מסוימת נקנו שתי מכוניות. מכונית א' נקנתה ב-150,000 שקלים, ומכונית ב' נקנתה ב-110,000 שקלים. הערך של מכונית א' יורד בכל שנה ב-12%,…
מחיר דירה בשני שלבים: מתי היה גבוה ב-20% ממחיר הקנייה (שאלה מלאה · קשה)
דנה קנתה דירה. במשך 8 השנים הראשונות מחיר הדירה עלה באחוז קבוע בכל שנה, ובסך הכול עלה ב-30%. מאז מחיר הדירה יורד באחוז קבוע בכל שנה, ובדיוק…
מחיר דירה: 4% עלייה בשנה ואחר כך 5% ירידה בשנה (שאלה מלאה · קלה)
מחיר דירה ביום הקנייה היה 800 אלף שקלים. במשך 6 השנים הראשונות מחיר הדירה עלה ב-4% בכל שנה. מיד לאחר מכן מחיר הדירה התחיל לרדת ב-5% בכל שנה.
דעיכה ואחריה גדילה: מספר הדגים באגם (שאלה מלאה · בינונית)
מתחילת שנת 2020, מספר הדגים באגם מסוים קטן בכל חודש באחוז קבוע. לאחר 6 חודשים מספר הדגים באגם היה 62% ממספר הדגים בתחילת שנת 2020.
שני חומרים רדיואקטיביים: מנה משתי מדידות ומועד השוויון (שאלה מלאה · קשה)
במעבדה נמצא חומר רדיואקטיבי $X$ שכמותו קטנה בצורה מעריכית. 6 ימים אחרי תחילת ניסוי נמדדו 90 גרם של החומר $X$ , ו-15 ימים אחרי תחילת הניסוי…
גדילה מעריכית: מתי שתי ערים ישתוו (שאלה מלאה · קלה)
ב-1/1/2010 חיו בעיר א' 40,000 תושבים ובעיר ב' 25,000 תושבים. אוכלוסיית עיר א' גדלה ב-2% בכל שנה. גם אוכלוסיית עיר ב' גדלה באחוז קבוע בכל…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
מחירה של מניה ירד בכל חודש ב-4% במשך 10 חודשים, ולאחר מכן עלה בכל חודש ב-3%. מחירה ההתחלתי של המניה היה 200 שקלים.
עיר מתכווצת ועיר גדלה: מתי האיחוד משתלם (שאלה מלאה · קשה)
ב-1/1/2010 חיו בעיר א' 60,000 תושבים ובעיר ב' 24,000 תושבים. אוכלוסיית עיר א' קטנה באחוז קבוע בכל שנה, ובשש השנים שעד 1/1/2016 היא קטנה…
דעיכה מעריכית: שני אגמים מתייבשים (שאלה מלאה · בינונית)
באזור מדברי יש שני אגמים A ו-B. במשך השנים האגמים מתייבשים, וכמות המים בהם קטנה. חוקר מדד את כמות המים בכל אחד מן האגמים בסוף כל קיץ במשך 12…
מועד נוסף עם אותו מחיר בתהליך של עלייה ואחריה ירידה (שאלה קצרה · קשה)
דנה קנתה דירה. במשך 8 השנים הראשונות מחיר הדירה עלה באחוז קבוע בכל שנה, ובסך הכול עלה ב-30%. מאז מחיר הדירה יורד באחוז קבוע בכל שנה, ובדיוק…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
בשני מחסנים יש מלאי של שקי מלט, והמלאי קטן בכל שבוע באחוז קבוע. הפונקציה $f(t)=12\cdot(0.93)^t$ מתארת את המלאי במחסן הראשון, והפונקציה…
ירידה, תוכנית הגנה ועקיפה בין שתי אוכלוסיות צבים (שאלת ביניים · קשה)
בתחילת שנת 2005 היו באזור חוף A 84,000 צבי ים, ומספרם קטן ב-6% בכל שנה. באותה עת היו באזור חוף B 76,700 צבי ים, ומספרם קטן ב-3% בכל שנה.
גדילה ודעיכה: שתי בריכות דגים, שלב גידול ושלב דיג (שאלה מלאה · בינונית)
בשתי בריכות דגים - בריכה א' ובריכה ב' - החלו לגדל דגים באותו היום. ביום זה היו בבריכה א' 800 דגים, ובבריכה ב' היו $a$ דגים. מספר הדגים…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
דנה הפקידה 20,000 שקלים בחיסכון א', שבו הסכום גדל ב-3% בכל שנה. באותו יום הפקיד יוסי 15,000 שקלים בחיסכון ב', שבו הסכום גדל ב-5% בכל שנה.…
גדילה ודעיכה: מחירי שתי מניות, שלב ירידה ושלב עלייה (שאלה מלאה · בינונית)
אנליסטית עקבה אחר המחירים של שתי מניות - מניה א' ומניה ב' - החל מאותו היום. ביום זה היה מחירה של מניה א' 150 שקלים, ומחירה של מניה ב' היה…
גדילה ודעיכה: חיידקים בשתי תרביות (שאלה מלאה · בינונית)
בניסוי במעבדה גידלו חיידקים בשתי תרביות, P ו-Q. מספר החיידקים בתרבית P גדל באחוז קבוע בכל שעה. מספר החיידקים בתרבית Q גדל בכל שעה באחוז…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
בתחילת שנה מסוימת היו לעיתון מודפס 31,104 מנויים, ולעיתון מקוון היו 12,500 מנויים. מאז, מספר המנויים לעיתון המודפס קטן בכל שנה ב-10%, ומספר…
דעיכה של שני בלונים וניפוח מחדש (שאלה מלאה · בינונית)
נועה קנתה בלון כחול ובלון אדום. ביום הקנייה נפח הבלון הכחול היה 3,000 סמ"ק ונפח הבלון האדום היה 7,500 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, הנפח של כל אחד…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
ערכה של מכונית A היה 120,000 ש"ח וערכה של מכונית B היה 90,000 ש"ח. ערכה של מכונית A יורד ב-12% בכל שנה, וערכה של מכונית B יורד באחוז קבוע…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
במושבה A יש 500 חיידקים, ומספרם גדל ב-30% בכל שעה. במושבה B יש באותו זמן 2,000 חיידקים, ומספרם גדל ב-10% בכל שעה.
גדילה: מכוניות חשמליות בשתי ערים (שאלה מלאה · בינונית)
בתחילת שנת 2024 בדקה רשות התחבורה את מספר המכוניות החשמליות בשתי ערים, עיר A ועיר B. על פי הצפי של הרשות, מספר המכוניות החשמליות בעיר A יעלה…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
בתחילת שנת 2025 היו לרשת A 60 אלף לקוחות, ולרשת B היו 25 אלף לקוחות. מספר הלקוחות של רשת A גדל ב-4% בכל שנה, ומספר הלקוחות של רשת B גדל…
גדילה: שני צמחים פולשים בשמורת טבע (שאלה מלאה · בינונית)
בתחילת שנת 2022 מדדו פקחים בשמורת טבע את השטח שמכסים שני צמחים פולשים, צמח A וצמח B. על פי הצפי של הפקחים, השטח שמכסה צמח A יגדל ב-6% בכל…
גדילה ודעיכה: צבאים בשתי שמורות (שאלה מלאה · בינונית)
בשמורה A חיים צבאים. מתחילת שנת 2008 מספר הצבאים בשמורה זו קטן בכל שנה באחוז קבוע.
גדילה ודעיכה: השאלות ספרים בשתי ספריות (שאלה מלאה · בינונית)
בספרייה A נרשם בכל שנה מספר הספרים שהושאלו בה במהלך השנה (מספר ההשאלות השנתי). משנת 2012 מספר ההשאלות השנתי בספרייה A קטן בכל שנה באחוז…
גדילה ודעיכה: שתי תרופות בדם (שאלה מלאה · בינונית)
נועה נטלה שתי תרופות - תרופה א ותרופה ב - באותו הרגע. הכמות של כל אחת מן התרופות בדם נמדדה במיליגרמים (מ"ג). הכמות ההתחלתית של תרופה א בדם…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
שתי מכוניות, A ו-B, נקנו באותו היום. מחיר הקנייה של מכונית A היה נמוך ממחיר הקנייה של מכונית B. ערכה של כל אחת מן המכוניות ירד בכל שנה באחוז…
גדילה ודעיכה: שתי דגימות רדיואקטיביות (שאלה מלאה · בינונית)
במעבדה יש שתי דגימות של חומרים רדיואקטיביים - דגימה A ודגימה B. החוקרים מדדו את המסה ההתחלתית של כל אחת מן הדגימות באותו הזמן. המסה נמדדה…
מחיר מגרש: עלייה ואחריה ירידה באחוז קבוע (שאלה מלאה · בינונית)
רחל קנתה מגרש במחיר 850 אלף שקלים. מחיר המגרש עלה באחוז קבוע כל שנה, ולאחר 7 שנים הגיע ל-1.2 מיליון שקלים. מאותו רגע מחיר המגרש התחיל לרדת…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
מחיר מניה היה 250 שקלים. במשך 3 שנים מחיר המניה עלה ב-6% בכל שנה, ובשנתיים שאחריהן ירד ב-8% בכל שנה.
גדילה מעריכית: שני יישובים שמתאחדים (שאלה מלאה · בינונית)
האוכלוסיות בשני יישובים סמוכים, יישוב א' ויישוב ב', גדלות בצורה מעריכית. ב-1/1/2005 ביישוב א' חיו 36,000 תושבים וביישוב ב' 12,000 תושבים. עד…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · בינונית)
במעבדה גדלות שתי מושבות חיידקים. במושבה X יש בתחילת הניסוי 3,000 חיידקים, ומספרם גדל ב-12% בכל שעה. במושבה Y יש בתחילת הניסוי 8,000 חיידקים,…
השוואת שני תהליכי דעיכה לפני רגע השוויון ואחריו (שאלה קצרה · בינונית)
נועה קנתה בלון כחול ובלון אדום. ביום הקנייה נפח הבלון הכחול היה 3,000 סמ"ק ונפח הבלון האדום היה 7,500 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, הנפח של כל אחד…
מחיר מגרש בתהליך של עלייה ואחריה ירידה (שאלת ביניים · בינונית)
רחל קנתה מגרש במחיר 850 אלף שקלים. מחיר המגרש עלה באחוז קבוע כל שנה, ולאחר 7 שנים הגיע ל-1.2 מיליון שקלים. מאותו רגע מחיר המגרש התחיל לרדת…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

גדילה ודעיכה: נדבקים בשלושה יישובים · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 3
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף הקורונה לפי ימים בשלושה יישובים. הפונקציה המתארת את מספר הנדבקים בכל יום ביישוב א' היא…
גדילה ודעיכה: התפשטות נגיף ומתן חיסון · בגרות 472 חורף 2022, שאלה 3
בתחילת שנת 2020 התגלה נגיף ביישוב מסוים. מספר החולים ביישוב עלה בקצב מעריכי קבוע. כשהתגלה הנגיף היו ביישוב 104 חולים בנגיף, וכעבור חמישה חודשים היו ביישוב 200…
גדילה מעריכית: פיקדון והלוואה בבנק · בגרות 472 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3
בבנק מסחרי יש שני סוגים של חוב: חוב של הבנק ללקוח (כאשר הלקוח מפקיד כסף בבנק) וחוב של הלקוח לבנק (כאשר הבנק מלווה כסף ללקוח). בבנק מסחרי מסוים, כאשר הבנק חייב…
ריבית דריבית: הלוואות בנקאיות ומסלול בריבית משתנה · בגרות 472 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 3
אחד הבנקים מלווה כסף לגופים מסחריים בריבית קבועה.
גדילה ודעיכה: נדבקים בנגיף בשלושה יישובים · בגרות 472 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף הקורונה לפי ימים בשלושה יישובים: א, ב ו-ג. הפונקציה המתארת את מספר הנדבקים בכל יום ביישוב א…
גדילה ודעיכה: ערכי שתי דירות · בגרות 472 קיץ 2024 מועד א', שאלה 3
נתונות שתי דירות - דירה א' ודירה ב'. בתחילת שנת 2014 היה הערך של דירה א' 980,000 שקלים והערך של דירה ב' היה 620,000 שקלים. הערך של דירה א' גדל בכל שנה ב-7%,…
דעיכה ואחריה גדילה: כמות הדבש בכוורת · בגרות 472 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 3
מתחילת שנת 2018, כמות הדבש בכוורת דבורים מסוימת קטנה בכל חודש באחוז קבוע. לאחר 8 חודשים כמות הדבש בכוורת הייתה 45% מכמות הדבש בתחילת שנת 2018.
דעיכה מעריכית: הפשרת שני קרחונים וגידול מספר כלבי הים · בגרות 472 חורף 2024, שאלה 3
בים הצפוני יש שני קרחונים A ו-B. במשך השנים הקרחונים מפשירים ומאבדים ממשקלם. חוקרת מדדה את המשקל של כל אחד מן הקרחונים בכל קיץ במשך 10 שנים. לפניכם סרטוט המתאר…
גדילה ודעיכה: שתי משתלות, שלב שתילה ושלב מכירה · בגרות 472 קיץ 2025 מועד א', שאלה 3
בשתי משתלות - משתלה א' ומשתלה ב' - החלו לשתול צמחים באותו היום. ביום זה שתלו במשתלה א' 600 צמחים, ובמשתלה ב' שתלו $a$ צמחים. מספר הצמחים במשתלה א' גדל ב-5% בכל…
גדילה ודעיכה: האזנות לשני שירים · בגרות 472 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 3
שני שירים A ו-B הועלו ביום מסוים לאותה רשת חברתית. מספר ההאזנות לשיר A גדל באחוז קבוע בכל יום. מספר ההאזנות לשיר B גדל בכל יום באחוז הגדול פי 2 מן האחוז שבו גדל…
דעיכה של שני גופים מתנפחים: גלגל ים ומזרן ים · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 3
אמיר קנה גלגל ים ומזרן ים. ביום הקנייה נפח הגלגל היה 3,700 סמ"ק ונפח המזרן היה 7,400 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, נפח הגלגל ונפח המזרן קטנו באחוז קבוע בכל יום (כל אחד…
גדילה: משתמשים בשני כלי בינה מלאכותית · בגרות 472 קיץ 2026 מועד א', שאלה 3
בתחילת שנת 2025 בדקו חוקרים את מספר האנשים שמשתמשים בשני כלים של בינה מלאכותית, כלי A וכלי B. על פי הצפי של החוקרים, מספר המשתמשים בכלי A יעלה ב-10% בכל שנה.…
גדילה ודעיכה: פינגווינים בשני אזורים · בגרות 472 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 3
באזור A חיים פינגווינים. מתחילת שנת 2000 מספר הפינגווינים באזור זה קטן בכל שנה באחוז קבוע.
גדילה ודעיכה: שתי ריבות מתקררות · בגרות 472 חורף 2026, שאלה 3
יעל הכינה שתי ריבות - ריבת תות וריבת שזיפים. היא מדדה את הטמפרטורה ההתחלתית של כל אחת מן הריבות באותו הזמן, ואז הכניסה אותן מייד למקרר. הטמפרטורה של הריבות…
מחיר דירה: עלייה באחוז קבוע ואחריה ירידה באחוז קבוע · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 3
יוסי קנה דירה במחיר 1.12 מיליון שקלים. מחיר הדירה עלה באחוז קבוע כל שנה. לאחר 9 שנים מחיר הדירה הגיע ל-1.51 מיליון שקלים. בדיוק באותו זמן חל משבר כלכלי שגרם…
גדילה מעריכית: שתי ערים שמתאחדות · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 3
האוכלוסיות בשתי ערים סמוכות א' ו-ב' גדלות בצורה מעריכית. ב-1/1/2000 בעיר א' חיו 50,000 תושבים ובעיר ב' 20,000 תושבים. עד 1/1/2010 גדלה האוכלוסייה בעיר א' ב-15%.…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (22)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

גדילה בשני מפעלי מחזור: נוסחה וגרף (שאלה מלאה · בינונית)
במפעל א' ממחזרים בקבוקים. מספר הבקבוקים שממחזרים במפעל א' גדל בכל שנה ב-3%. בשנת 2000 מוחזרו במפעל א' 500,000…
גדילה במספר המבקרים בשתי שמורות: נוסחה וגרף (שאלה מלאה · קלה)
בשמורת טבע א' סופרים בכל שנה את המבקרים. מספר המבקרים בשמורה א' גדל בכל שנה ב-4%. בשנת 2015 ביקרו בשמורה א'…
גדילה מעריכית: תושבים בשתי ערים (שאלה מלאה · בינונית)
מספר התושבים בעיר א' גדל בכל שנה ב- $6\%$ .
גדילה מעריכית: חברים בשני מועדונים (שאלה מלאה · קלה)
מספר החברים במועדון ספורט א' גדל בכל שנה ב- $9\%$ .
גדילה מעריכית: שני מפעלי שוקולד - נוסחה מול גרף (שאלה מלאה · בינונית)
במפעל א' מייצרים חפיסות שוקולד. מספר חפיסות השוקולד שמייצרים במפעל א' גדל בכל שנה ב- $4\%$ . בשנת 2000 ייצרו…
גדילה מעריכית: מבקרים בשני מוזיאונים - נוסחה מול גרף (שאלה מלאה · קלה)
מספר המבקרים במוזיאון א' גדל בכל שנה ב- $3\%$ . בשנת 2016 ביקרו במוזיאון א' $188{,}000$ מבקרים.
חישוב הכמות אחרי t יחידות זמן בנוסחה Aₜ=A₀·qᵗ (שאלה קצרה · קלה)
בתחילת 2020 היו בבריכת דגים $2{,}000$ דגים. במשך שנתיים גדל מספר הדגים ב- $30\%$ בכל שנה. מתחילת 2022, בגלל…
חישוב הכמות אחרי t יחידות זמן בנוסחה Aₜ=A₀·qᵗ (שאלה קצרה · קלה)
בתאריך 1.1.2018 היו בעיר $2{,}500$ משקי בית שהשתמשו באנרגיה סולארית. עד 1.1.2022 גדל מספרם ב- $6\%$ בכל שנה,…
דעיכה מעריכית: שתי תרופות בגרף אחד (שאלה מלאה · בינונית)
במחקר רפואי בודקים את כמות החומר הפעיל בדם לאחר לקיחה של שתי תרופות: תרופה א' ותרופה ב'. קצב ההתפרקות בדם של…
דעיכה מעריכית: חנקן בקרקע משני סוגי דשן (שאלה מלאה · קלה)
בחווה חקלאית בודקים את כמות החנקן בקרקע לאחר פיזור של שני סוגי דשן: דשן א' ודשן ב'. כמות החנקן של כל אחד מן…
דעיכה מעריכית: מקדם משתי נקודות וכמות התחלתית הפוכה (שאלה מלאה · קלה)
במטע מרססים את הקרקע בחומר הדברה. כמות חומר ההדברה א' בקרקע קטנה בכל יום באותו אחוז. בגרף שלפניכם מתוארת כמות…
גדילה ודעיכה: ריקון בריכת מבוגרים ומילוי בריכת ילדים (שאלה מלאה · בינונית)
בקיבוץ יש שתי בריכות שחייה: בריכת מבוגרים ובריכת ילדים. ביום מסוים החליטו לרוקן את בריכת המבוגרים ולמלא את…
גדילה ודעיכה: תרבית חיידקים עם חומר מחטא ותרבית בחממה (שאלה מלאה · קלה)
במעבדה גידלו שתי תרביות חיידקים. ביום מסוים הכניסו חומר מחטא לתרבית א', ואת תרבית ב' העבירו לחממה שבה החיידקים…
גדילה מעריכית: שני סוגי בצק שנפחם משתווה (שאלה מלאה · בינונית)
במאפיית "הלחמניה" אופים חלות ועוגות. לשם כך מכינים שני סוגי בצק: בצק לחלות, ובצק לעוגות. הנפח של שני סוגי הבצק…
גדילה מעריכית: שתי תרביות חיידקים שמשתוות (שאלה מלאה · קלה)
במעבדה מגדלים שתי תרביות חיידקים: תרבית א ותרבית ב. מספר החיידקים בכל אחת מן התרביות גדל בצורה מעריכית. הגידול…
גדילה ודעיכה: הפקת נפט בשתי מדינות שכנות (שאלה מלאה · בינונית)
כמות הנפט שמפיקים במדינה מסוימת גדלה בכל שנה באחוז קבוע. בדיאגרמה שלפניכם מוצגת כמות הנפט (במיליוני טונות)…
גדילה ודעיכה: נוסעים ברכבת ובאוטובוס (שאלה מלאה · קלה)
מספר הנוסעים בקו רכבת מסוים גדל בכל שנה באחוז קבוע. בדיאגרמה שלפניכם מוצג מספר הנוסעים (באלפים) בקו זה בשנים…
חישוב הכמות אחרי t יחידות זמן בנוסחה Aₜ=A₀·qᵗ (שאלה קצרה · קלה)
באגם מסוים חיים שני סוגים של דגים. מספר הדגים מסוג א' גדל בכל שנה ב-12%. בתחילת שנת 2021 היו באגם 2,500 דגים…
השוואה בין שני תהליכים מעריכיים: טבלה וההפרש ביניהם לאורך הזמן (שאלה קצרה · קלה)
בשנת 2020 קנתה משפחה שתי מכוניות. מכונית א' עלתה 150,000 שקלים, וערכה יורד בכל שנה ב-15%. מכונית ב' עלתה…
גדילה ודעיכה: מכונית אספנות ומכונית משפחתית (שאלה מלאה · בינונית)
המחיר של מכונית אספנות גדל בכל שנה באחוז קבוע, והמחיר של מכונית משפחתית קטן בכל שנה באחוז קבוע. הגרפים I-II…
גדילה ודעיכה: יצירת אמנות וסירת מנוע (שאלה מלאה · קלה)
הערך של יצירת אמנות גדל בכל שנה באחוז קבוע, והערך של סירת מנוע קטן בכל שנה באחוז קבוע. הגרפים I-II שלפניכם…
השוואה בין שני תהליכים מעריכיים: טבלה וההפרש ביניהם לאורך הזמן (שאלה קצרה · קלה)
בתחילת שנת 2020 גרו ביישוב א' 20,000 תושבים, וביישוב ב' 24,000 תושבים. מספר התושבים ביישוב א' גדל ב- $5\%$ בכל…