שאלות פתוחות: שיפוע ישר ומשמעותו, כולל טנגנס הזווית עם ציר ה-x - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על שיפוע ישר ומשמעותו, כולל טנגנס הזווית עם ציר ה-x, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מחשבים שיפוע בין שתי נקודות, מזהים ישרים מקבילים ומאונכים, ומחשבים זווית בין ישר לציר ה-x. יש שאלות על משולש שקדקודיו נתונים, על מקבילית, על ישר שחותך את הצירים ויוצר משולש עם הראשית, ועל מעגל שעובר דרך ראשית הצירים. השאלות ברמה קלה ובינונית, ואפשר להשתמש בהן לבוחן קצר או לדף חזרה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

23 שאלותקלה: 9בינונית: 14

שאלה 1 · מקבילית במערכת צירים: קודקודים, שטחים וזוויתשאלה מלאה · קלה

אלכסוני המקבילית ABCDABCDABCD נפגשים בנקודה EEE. נתון: D(−3,1)D(-3,1)D(−3,1), C(5,1)C(5,1)C(5,1), E(2,4)E(2,4)E(2,4).
ABCDE

א.

הסבירו מדוע EEE היא אמצע האלכסון ACACAC, ומצאו את שיעורי הקודקוד AAA.

ב.

מצאו את משוואות הישרים ADADAD ו-DCDCDC.

ג.

הנקודה FFF היא אמצע הצלע ADADAD. מצאו את שיעורי FFF, והראו כי FE∥DCFE\parallel DCFE∥DC.

ד.

חשבו את שטחי המשולשים AEFAEFAEF ו-ACDACDACD, והראו כי היחס ביניהם הוא 1:41:41:4.

ה.

חשבו את גודל הזווית ADCADCADC.

שאלה 2 · מקבילית במערכת צירים: קטע אמצעים ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

במקבילית ABCDABCDABCD נקודה FFF היא אמצע הצלע BCBCBC. אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה EEE.
ABCDEF

א.

(1)

הוכיחו כי: FE∥ABFE\parallel ABFE∥AB.

(2)

הוכיחו כי המשולשים CEFCEFCEF ו-CABCABCAB דומים, וחשבו את יחס שטחיהם.

ב.

נתון: A(−3,1)A(-3,1)A(−3,1), E(2,4)E(2,4)E(2,4), B(5,1)B(5,1)B(5,1).

(1)

מצאו את משוואות הישרים BCBCBC ו-ABABAB.

(2)

חשבו את גודל הזווית ABCABCABC.

ג.

(1)

חשבו את שטחי המשולשים CEFCEFCEF ו-CABCABCAB.

(2)

מצאו פי כמה גדול שטח הטרפז ABFEABFEABFE משטח המשולש CEFCEFCEF.

שאלה 3 · זוויות במשולש מתוך שיפועיםשאלה קצרה · קלה

נתון משולש RSTRSTRST שקודקודיו R(−2,1)R(-2,1)R(−2,1), S(6,1)S(6,1)S(6,1), T(0,7)T(0,7)T(0,7).

א.

חשבו את גודל הזווית TRSTRSTRS.

ב.

חשבו את גודל הזווית RSTRSTRST.

שאלה 4 · מעגל דרך ראשית הצירים: זוויות היקפיות, קוטר ומשוואת מעגלשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות: AAA, CCC ו-OOO. OOO היא ראשית הצירים.
המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה-xxx בנקודה AAA. הנקודה BBB נמצאת מחוץ למעגל, על החלק החיובי של ציר ה-xxx. הקטע CBCBCB חותך את המעגל בנקודה EEE (ראו סרטוט).
נתון: ∠EOB=∠EBO\angle EOB=\angle EBO∠EOB=∠EBO.
OACBE

א.

הוכיחו: AC=ABAC=ABAC=AB.

ב.

נתון: A(5,0)A(5,0)A(5,0), C(0,12)C(0,12)C(0,12).

מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

ג.

(1)

הוכיחו כי ACACAC הוא קוטר במעגל.

(2)

מצאו את משוואת המעגל.

ד.

נתון כי שיעור ה-yyy של הנקודה EEE הוא 6.

פי כמה גדול שטח המשולש COBCOBCOB משטח המשולש AEBAEBAEB?

ה.

חשבו את גודל הזווית EOBEOBEOB.

שאלה 5 · מעגל דרך ראשית הצירים: זוויות היקפיות, קוטר ומשוואת מעגלשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות: AAA, CCC ו-OOO. OOO היא ראשית הצירים.
המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה-xxx בנקודה AAA. הנקודה BBB נמצאת מחוץ למעגל, על החלק החיובי של ציר ה-xxx. הקטע CBCBCB חותך את המעגל בנקודה EEE (ראו סרטוט).
נתון: ∠EOB=∠EBO\angle EOB=\angle EBO∠EOB=∠EBO.
OACBE

א.

הסבירו מדוע ∠EOA=∠ECA\angle EOA=\angle ECA∠EOA=∠ECA.

ב.

הוכיחו: AC=ABAC=ABAC=AB.

ג.

נתון: A(8,0)A(8,0)A(8,0), C(0,15)C(0,15)C(0,15).

מצאו את אורך הקטע ACACAC ואת שיעורי הנקודה BBB.

ד.

הסבירו מדוע ACACAC הוא קוטר במעגל, ומצאו את משוואת המעגל.

ה.

נתון כי שיעור ה-xxx של הנקודה EEE הוא 12.5.

מצאו את משוואת הישר CBCBCB ואת שיעור ה-yyy של הנקודה EEE, וחשבו את גודל הזווית EOBEOBEOB.

שאלה 6 · גאומטריה אנליטית: משולש עם צלע בשיפוע 2-, קטע אמצעים וזוויותשאלה מלאה · בינונית

במשולש ABCABCABC הקודקוד BBB מונח על ציר ה-yyy. נתון כי משוואת הצלע ABABAB היא: y=−2x+1y=-2x+1y=−2x+1. שיעור ה-yyy של הקודקוד AAA הוא 9.
ABCDE

א.

חשבו את אורך הצלע ABABAB.

ב.

נתון כי הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx. אורך הצלע BCBCBC הוא 4.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ג.

DDD היא נקודת החיתוך של הישר ACACAC עם ציר ה-yyy.

מצאו את שיעורי הנקודה DDD.

ד.

מנקודה DDD העבירו ישר המקביל לציר ה-xxx החותך את הצלע ABABAB בנקודה EEE.

(1)

הוכיחו כי DEDEDE הוא קטע אמצעים במשולש ABCABCABC.

(2)

חשבו את אורך הקטע DEDEDE.

ה.

חשבו את גודלי הזוויות EBDEBDEBD ו-ABCABCABC.

ו.

מצאו פי כמה גדול שטח הטרפז EDCBEDCBEDCB משטח המשולש AEDAEDAED.

שאלה 7 · משולש במערכת צירים: אמצעים ומקביליתשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתואר משולש ABCABCABC. הקודקוד B(0,2)B(0,2)B(0,2) נמצא על ציר ה-yyy, והצלע ACACAC מקבילה לציר ה-yyy. נתון: A(6,5)A(6,5)A(6,5). הנקודה EEE היא אמצע הצלע BCBCBC, והיא נמצאת על ציר ה-xxx.
ABCE

א.

מצאו את שיעורי הנקודות CCC ו-EEE.

ב.

הנקודה DDD היא אמצע הצלע ACACAC. מצאו את שיעורי DDD, והראו כי ED∥ABED\parallel ABED∥AB.

ג.

מן הנקודה EEE העבירו ישר המקביל לציר ה-yyy, וחותך את הצלע ABABAB בנקודה FFF.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה FFF.

(2)

הסבירו מדוע המרובע FADEFADEFADE הוא מקבילית, וחשבו את שטחו.

ד.

(1)

חשבו את הזווית שהישר EDEDED יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-xxx.

(2)

חשבו את גודל הזווית ∠DEF\angle DEF∠DEF.

שאלה 8 · זוויות מהשיפוע: המשולש שישר יוצר עם הציריםשאלה קצרה · בינונית

הישר y=−3x+6y=-3x+6y=−3x+6 חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת ציר ה-yyy בנקודה BBB. OOO היא ראשית הצירים.

א.

חשבו את הזווית שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-xxx.

ב.

חשבו את זוויות המשולש AOBAOBAOB.

שאלה 9 · גאומטריה אנליטית: מאמצע צלע לקטע אמצעיםשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC הקודקוד BBB מונח על ציר ה-yyy. משוואת הצלע ABABAB היא y=−0.5x+2y=-0.5x+2y=−0.5x+2, ושיעור ה-yyy של הקודקוד AAA הוא 5. הצלע BCBCBC מקבילה לציר ה-xxx, אורכה 6, והקודקוד CCC נמצא מימין לציר ה-yyy.
ABC

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB, וחשבו את אורך הצלע ABABAB.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ג.

מצאו את אמצע הקטע ACACAC, והראו שהוא נמצא על ציר ה-yyy. נסמן אותו ב-DDD.

ד.

מנקודה DDD העבירו ישר המקביל לציר ה-xxx, החותך את הצלע ABABAB בנקודה EEE.

(1)

מצאו את שיעורי EEE, והראו ש-EEE היא אמצע הצלע ABABAB.

(2)

חשבו את אורך הקטע DEDEDE, והשוו אותו לאורך BCBCBC. הסבירו את התוצאה.

ה.

חשבו את גודל הזווית ABCABCABC.

ו.

המשולשים AEDAEDAED ו-ABCABCABC דומים. מהו היחס בין שטח המשולש AEDAEDAED לשטח המשולש ABCABCABC?

שאלה 10 · טרפז ישר זווית במערכת צירים: שוק בשיפוע 3-שאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCDABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC, ∠D=90∘\angle D=90^\circ∠D=90∘). הקודקוד BBB נמצא על ציר ה-yyy, והקודקוד CCC נמצא על החלק השלילי של ציר ה-xxx. הבסיס CDCDCD חותך את ציר ה-yyy בנקודה HHH. נתון: הנקודה E(3,5)E(3,5)E(3,5) נמצאת על הבסיס ABABAB. משוואת שוק הטרפז ADADAD היא: y=−3x+24y=-3x+24y=−3x+24.
ABCDEOH

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

ב.

נתון כי אורך השוק BCBCBC של הטרפז הוא 5.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC.

ג.

מצאו את גודל הזווית CBOCBOCBO (OOO היא ראשית הצירים).

ד.

(1)

מצאו את משוואת הישר CDCDCD.

(2)

מצאו את גודל הזווית CHBCHBCHB.

ה.

חשבו את שטח המשולש CBECBECBE.

עוד 2 שאלות על שיפוע ישר ומשמעותו, כולל טנגנס הזווית עם ציר ה-x

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

זווית בין ישר לציר ה-y (שאלה קצרה · בינונית)
הישר $\ell$ : $y=2x-4$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $H$ . הנקודה $P(-1,-6)$ נמצאת על הישר $\ell$ , והנקודה $Q(0,3)$ נמצאת על ציר ה- $y$ .
מעוין במערכת צירים: אלכסונים מאונכים, זווית ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעוין $ABCD$ . אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה $E$ . נתון כי משוואת הצלע $AB$ היא $y=-x+12$ , שיעור ה- $x$ של הקודקוד $A$ הוא $-3$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מקבילית במערכת צירים: קטע אמצעים ויחס שטחים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 4
במקבילית $ABCD$ נקודה $F$ היא אמצע הצלע $AD$ . אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה $E$ .
מעגל דרך ראשית הצירים: זוויות היקפיות, קוטר ומשוואת מעגל · בגרות 471 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות: $A$ , $C$ ו- $O$ . $O$ היא ראשית הצירים. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ נמצאת מחוץ…
גאומטריה אנליטית: משולש, קטע אמצעים וזוויות מהשיפוע · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 4
במשולש $ABC$ הקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $y$ . נתון כי משוואת הצלע $AB$ היא: $y=-x+4$ . שיעור ה- $y$ של הקודקוד $A$ הוא 10.
טרפז ישר זווית במערכת צירים · בגרות 471 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ , $\angle D=90^\circ$ ). הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ , והקודקוד $C$ נמצא על החלק השלילי של ציר ה- $x$ .…
מעוין במערכת צירים: אלכסונים מאונכים, זווית ומשפט הסינוסים · בגרות 471 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מעוין $ABCD$ . אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה $E$ . נתון כי משוואת הצלע $AB$ היא $y=-1.75x+12.75$ , שיעור ה- $x$ של הקודקוד $A$ הוא $-3$ , ושיעורי…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (6)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

גאומטריה אנליטית: מרובע עם זווית ישרה (שאלה מלאה · בינונית)
במרובע $ABCD$ הצלע $AB$ מאונכת לצלע $BC$ (ראו סרטוט). נתון: $A(4,1)$ , $B(10,3)$ .
גאומטריה אנליטית: טרפז ישר-זווית ואמצע על ציר y (שאלה מלאה · קלה)
במרובע $ABCD$ הצלע $AB$ מאונכת לצלע $BC$ (ראו סרטוט). נתון: $A(-4,2)$ , $B(8,8)$ .
משולש שווה שוקיים במערכת צירים: גובה, קודקודים וישר מקביל (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ $(AB=AC)$ . $AE$ הוא הגובה לבסיס $BC$ . הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ .…
משולש שווה שוקיים במערכת צירים: גובה בשיפוע שלילי, קודקודים וישר מקביל (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ $(AB=AC)$ . $AE$ הוא הגובה לבסיס $BC$ . הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ .…
משולש שווה שוקיים במערכת צירים: מהגובה לקודקודים ולהיקף (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ $(AB=AC)$ . $AE$ הוא הגובה לבסיס $BC$ . הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ .…
מלבן במערכת צירים: הוכחת ניצבות, שטח והקודקוד הרביעי (שאלה מלאה · קלה)
נתון מלבן $ABCD$ . הקודקודים הם $A(-1,0)$ ו- $B(0,3)$ , והצלע $BC$ מונחת על הישר $y=-\frac13x+3$ (ראו ציור).